1、考研数学（数学三）模拟试卷 396 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 2y+y=ex 有特解形式 ( )（A）y *=Ax(A0)（B） y*=(A+Bx)ex(B0)（C） y*=(A+Bx+Cx2)ex(C0)（D）y *=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D0)2 f(x)= 在区间(一，+)内零点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）无穷多3 已知线性非齐次方程组 A34=b(*)有通解 k1(1，2 ，0，一 2)T+k2(4，一 1，一 1，一 1)T+(1，0，一 1，1) T，其中 k1，k 2 是任意常数，
2、则满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是 ( )（A）(2 ，2，1，1) T（B） (1，1，2，2) T（C） (一 2，一 2，一 1，一 1)T（D）(2 ，2，一 1，一 1)T4 设 A= ，且 AA则参数 a ( )（A）a= 一 10（B） a=10（C） a一 10（D）a10 5 设随机变量 XN(0，1)，Y=maxX ，0)，则 ( )（A）Y 为离散型随机变量（B） Y 为连续型随机变量（C） X 与 Y 相互独立（D）Cov(X,Y)= 6 设随机变量 X ，且 PX=1，Y=1=PX=1，y=一1，则 X 与 Y ( )（A）必不相关（B）必独立（C）必不独立
3、（D）必相关7 已知随机变量 X 的概率密度为 fx(z)，则 Y=aX+b(a0)的概率密度 fY(y)等于( )8 设 X1，X 2，X N 是取自总体 X 的简单随机样本， E(X)=，D(X)= 2(20)，X与 S2 分别是样本均值与样本方差，则( )（A）S 2 一定是 2 的矩估计（B） S2 一定是 2 的最大似然估计（C） E(S2)=2（D）E(S)=二、填空题9 _10 曲线 的渐近线是 y=_11 差分方程 yt+1+2yt=5t2 的通解为_12 设生产某产品的固定成本为 10，而当产量为 x 时的边际成本函数为MC=4020x+3x 2，边际收益函数为 MR=32+
4、10x，则总利润函数 L(x)=_13 设 ， 均为 n 维非零列向量，且 T0设矩阵 A=TE，且满足方程A23A=4E，则 T=_14 二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)= 则概率_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy 为某二元函数 u(x，y) 的全微分 () 求 f(x)； ()求 u(x，y)的一般表达式16 设 A= ()求 A的对应于 i(i=1，2，3)的特征值； ()求 Ax=3 的通解； ()求 A17 设 A= ，其中 s，n 是
5、正整数，证明 ATA 是实对称阵，并就正整数 s，n 的情况讨论矩阵 ATA 的正定性18 一等边三角形 ROT(如图)的边长为 1，在三角形内随机地取点 Q(X，Y)(意指随机点(X，Y) 在三角形 ROT 内均匀分布)求：( ) 点 Q 到底边 OT 的距离的概率密度；( )PY ()f X|Y (xy)19 设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= ，其中 ， 是未知参数利用总体 X 的如下样本值：一 05，03，一 02，一 06，一01，04，05，一 08，求 的矩估计值与最大似然估计值20 设四维向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，1，2，b) T， 3(3，1， a
6、，a) T，=(1，3，10，a+b) T 问(1)当 a，b 取何值时， 不能由1， 2， 3 线性表出；(2)当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3 线性表出，并写出此时的表达式20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=3x12+ax22+3x324x 1x28x 1x34x 2x3，其中2 是二次型矩阵 A 的一个特征值21 用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换；22 如果 A 2+kE 是正定矩阵，求 k 的取值范围22 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi (i=1，2，n)，求23 D(Yi)(i=1， 2
7、，n)；24 Cov(Y1，Y n)；25 PY1+Yn0)25 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 其中 1 是未知参数，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本26 求 的矩估计量；27 求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 396 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为右边 ex 指数上的 1 是二重特征根，故特解的形式为y*=Ax2ex(A0)，即选项(C)中 C0的形式故选(C)2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为偶函数，f(0) 0， 内f(x)至少有 1 个零点又当 x0 时，
8、所以在区间(0，+)内 f(x)至多有 1 个零点，故在区间(0，+) 内 f(x)有且仅有 1 个零点，所以在(一 ，+) 内有且仅有 2 个零点3 【正确答案】 D【试题解析】 方程组(*)的通解是解得 k1=1，k 2=0，代入通解，得方程组(*)满 足 x1=x2，x 3=x4 的解是(2，2，一 1，一 1)T，故应选(D)4 【正确答案】 A【试题解析】 由 AA，A 应有特征值 1=1， 2=3=2 对应 2=3=2 有 2 个线性无关特征向量，即有 r(2E 一 A)=1 故 r(2EA)=1a=一 10应选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 Y=maxx ，0= Y 的取
9、值范围为0，+)。 当 y0 时，FY(y)=0； 当 y0时， F Y(y)=PYy=PYy，X0+PYy ，X， 故 FY(y)= 在 y=0 处不连续且不是阶梯形，所以既不是离散型又不是连续型 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=E(XY)=E(X maxX，0) =+xmaxx，0(x)dx (其中 (x)为标准正态概率密度) =0x0 (x)dx+ 0+x2(x)dx (其中 (x)为标准正态概率密度) = +x0(x)dx+0+x2(x)dx = 0。 则 X 与Y 不独立，选(D) 6 【正确答案】 A【试题解析】 设 PX=1，Y=1=P(X=1，Y=一 1=p， 则得联
10、合分布EY=0，E(XY)=0， Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=0，X 与 Y 不相关选(A)。 注意 p= 时 X 与Y 独立，选项(c)不成立7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一维离散型随机变量函数的概率密度，属于基础题Y=aX+6 的分布函数为故应选(D)8 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查总体方差的矩估计量与最大似然估计量以及样本方差的期望，是一道有一定难度的综合题由于总体方差 2 的矩估计量与最大似然估计都是 ，所以(A)、 (B)错误由于故应选(C)进一步分析，由 E(S2)=D(S)+E(S) 2，得 E(S) 2=E(S2)D(S) 2从而 E(S
11、)，所以(D)错误二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 10+72x+15x 2x 3【试题解析】 因为边际成本函数是可变成本的微分，而总成本=固定成本+ 可变成本则总成本函数 C(x)=10+ （4020t+3t 2）dt=1040x10x 2+x3 边际收益函数是总收益函数的微分，所以总收益函数 R(x)= (32+10t)dt=32x+5x2，总利润=总收益总成本，所以，总利润函数 L(x)=R(x)C(x)=(32x+5x 2)(10 40x10x 2+x3) =10+72x+15x 2x 313 【正确答
12、案】 5【试题解析】 T 的特征值为 0，0，0，a T，则 A=TE 的特征值为 1，1，1，a T1 设 A=(0)，则 23=4，解得 =1 或者=4 又因为 ， 均为 n 维非零列向量，且 aT0，所以 aT1=4，即 aT=514 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由题意知， du=xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy， 即 =f(x)+x2y 由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u 的二阶混合偏导数连续，所以有 即有 x(1+2y)一 f(x)=f(x)+2xy， f(x)+f(x)=x连同已
13、知 f(0)=0，可求得 f(x)=x 一 1+ex()由()知 du=(xy2+yyex)dx+(x 一 1+ex+x2y)dy求 u(x，y)有多种方法 凑微分法 du=(xy 2+yyex)dx+(x1+ex+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一 yexdx+exdy)一 dy =d (xy)2+xy+yex 一 y，所以 u(x，y)= (xy)2+xy+yxy+C(C 为任意常数)16 【正确答案】 () 因 1， 2， 3 是 A 的特征向量，假设对应的特征值分别是1， 2， 3，则有()A 是33 的非零矩阵(a 11=10)，r(A)1 A 1=0，
14、A 2=0，且 1， 2 线性无关，所以 r(A)1则 r(A)=1， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系又因 A3=(一 1)3，故 A(一 3)=3，Ax= 3 有特解一 3，从而 Ax3 的通解为 k11+k22 一 3，其中 k1，k 2 是任意常数( )直接由题设条件解出未知的 aij(i=2，3，j=1 ，2，3)，从而求出 A因 r(A)=1，故 (a21，a 22，a 23)=k(1，一 2，3)，(a 31，a 32，a 33)=l(1，一 2，3)，即两端第 2 个分量，第 3 个分量分别相等，得 k=一 2，l= 一 2故 A= 。17 【正确答案】 (A TA)T=AT
15、(AT)T=ATA，则 ATA 是实对称矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性相关(向量个数 s向量的维数 n)，故 Ax=0 有非零解，即存在 x0， 使得 Ax=0，从而使 xTATAx=0，故当 sn 时，A TA 不是正定矩阵 当 s=n 时，范德蒙德行列式A0，A 是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A TA 是正定矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性无关(当 s=n 时，A 的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0 只有零解，即任给 x0，均有 Ax0，从而有(Ax)TAx=xTATAx0，从而 ATA 是正定矩阵 故当 sn时，A TA 是正定矩阵18 【正
16、确答案】 () 因三角形 ROT 的面积为 ，故(X，Y) 的概率密度为点 Q(X，Y)到底边 OT 的距离就是Y，因而求 Q 到 OT 的距离的概率密度，就是求(X，Y) 关于 Y 的边缘密度，19 【正确答案】 由 f(x；，)0 ，有 0，0 又 +F(x；，)dx= 10dx+01dx=+=1，(2)似然函数L()=f(x1；)f(x 2；) f(x 8；)=a 5(1 一 )3两边取自然对数， ln L()=5ln+3ln(1一 )20 【正确答案】 设 =x11+x22+x33?对增广矩阵 =(1， 2， 3)作初等行变换 (1)当a 6， a+2b40 时，r(A)r 不可由 1
17、， 2， 3 线性表示(2)当a 6， a+2b4=0 时21 【正确答案】 ，由已知可得2EA=0 a=6由EA=0(7)( 2514)=0 1=2=7， 3=2对于 1=2=7，(7EA)x=0， 1=(1，2，0)T， 2=(1，0，1) T对于 3=2，(2EA)x=0， x3=(2，1，2)因为 1， 2不正交，由 Schmidt 正交化，有22 【正确答案】 A=77(2)=98 所以 A*的特征值为14，14，49 从而 A*+kE,的特征值为 k14，k14，k+49 因此 k14 时，A *+kE 正定23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 因为X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布， E(Y 1+Yn)=26 【正确答案】 X 的数学期望27 【正确答案】 记 X1，X 2，X n 的值为 x1，x 2，x n，则它的似然函数
