1、考研数学二-396 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)为定义在(0，+)上的正函数， 在区间(0，+)上单调递减，则 （分数：4.00）A.f(a+b)f(a)+f(b)B.f(a+b)f(a)+f(b)C.f(x)在(0，+)单调递减D.f(x)在(0，+)单调递增2.若 f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内必有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)03
2、.函数 f(x)在0，+)上连续，并满足条件 则_ A B C A 为正数 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)是奇函数， （分数：4.00）A.不连续B.连续，左、右两侧导数都不存在C.连续，右导数存在，但左导数不存在D.可导5.f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：4.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零6.设 f(x)为连续函数，f(2)=2， （分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.已知三阶实矩阵 A=(a ij ) 33 满足条件：|A|=1，a 33 =-1，a ij =A ij (i，j=
3、1，2，3)，其中A ij 为 a ij 的代数余子式，则方程组 的解是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列说法正确的是 _（分数：4.00）A.若向量组()线性无关，则 r=sB.若向量组()线性相关，则 rsC.不论怎样，都有 rsD.不论怎样，都有 rs二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若函数 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：4.00）10.设函数 z=z(x，y)由方程 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z
4、确定，则 （分数：4.00）11.设函数 y=f(x)由参数方程 （分数：4.00）12.若 y 1 =sinx，y 2 =1+sinx，y 3 =e 2x +sinx 是 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=f(x)的三个解，则 f(x)= 1 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 2AB+A+4B=0，且 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16.求微分方程 xy“+y“=x 2 +1 满足条件 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)=x 4 +x 3 -1求
5、 f(x)全部零点的个数，并估计每个零点所在区间，使估计区间的长度不超过 0.5 （分数：10.00）_18.设函数 z=z(x，y)由方程 x+y=z+e z 确定，且 （分数：10.00）_19.已知 f(x)，g(x)在闭区间a，b上连续，证明：存在 (a，b)满足 （分数：10.00）_20.设 f(t)，g(t)，y(t)均为区间a，b上的连续函数，f(t)0，并且满足 证明：在a，b上成立不等式 （分数：11.00）_21.设有直角三角形的闸板，两直角边和为 l，将其竖直放入水中，使一条直角边与水面重合，另一直角边垂直向下，问两直角边成何比例时，三角形闸板承受水压力最大?设水的密度
6、为 1，求出此最大压力 （分数：11.00）_22.设线性非齐次方程组 （分数：11.00）_23.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 n 维向量，且 1 0，A 1 =2 1 ，A 2 = 1 +2 2 ，A 3 = 2 +2 3 ，问 1 ， 2 ， 3 是线性相关还是线性无关的?证明你的结论 （分数：11.00）_考研数学二-396 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)为定义在(0，+)上的正函数， 在区间(0，+)上单调递减，则 （分数：4.00）A.f(a+b)f(a)+f(b)B.f(a+b)f
7、(a)+f(b) C.f(x)在(0，+)单调递减D.f(x)在(0，+)单调递增解析：解析 在(0，+)上单调递减，又 f(x)，a，b 均为正数，则 2.若 f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内必有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 f(x)是奇函数，则 f(0)=0，f“(x)是偶函数，f“(x)是奇函数 所以，由在(-，0)内 f“(x)0，f“(x)0，得出在(0，+)内 f“(x)=f“(-x)0，f“
8、(x)=-f“(-x)03.函数 f(x)在0，+)上连续，并满足条件 则_ A B C A 为正数 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知得 其中 0 1 ， 2 x 类似地推导下去，可得 0f(x)x n f( n )，0 1 ， 2 ， n x，n=1，2， 由此可知，当 x0，1)时，f(x)0由连续性可得 类似可推出，当 x1，2)时，f(x)0，如此类推，可知当 x0，+)时，f(x)0 因此有 4.设 f(x)是奇函数， （分数：4.00）A.不连续B.连续，左、右两侧导数都不存在C.连续，右导数存在，但左导数不存在D.可导 解析：解析 令 t=e 1-cos
9、x -1，当 x0 时，t0 + ，f(0)=0 因为 所以 由于 所以 f(x)在 x=0 处右连续 由于 f(x)是奇函数，也有 因此 f(x)在 x=0 处连续 又 5.f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：4.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析：解析 由 6.设 f(x)为连续函数，f(2)=2， （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 7.已知三阶实矩阵 A=(a ij ) 33 满足条件：|A|=1，a 33 =-1，a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij 为 a ij
10、的代数余子式，则方程组 的解是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 思路一： |A|按第 3 行展开，利用 a 33 =-1=A 33 ，且|A|=1，得 则 因为|A|=1，由 得 其中 所以 思路二： 因为 a ij =A ij ，i，j=1，2，3，所以 A * =A T ，又|A|=1，可得 A -1 =A T ，AA T =E， 即 A 为三阶正交矩阵，则方程 的解 为 A -1 的第三列，即 A 的第三行，即 因 A 为正交矩阵，则 x 是单位向量，已知 a 33 =-1，则有 a 31 =a 32 =0，故 8.向量组()： 1 ， 2 ， r 线性
11、无关，且可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列说法正确的是 _（分数：4.00）A.若向量组()线性无关，则 r=sB.若向量组()线性相关，则 rsC.不论怎样，都有 rsD.不论怎样，都有 rs 解析：解析 向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则 r( 1 ， 2 ， r )r( 1 ， 2 ， s )s 因为向量组()线性无关，所以有 r( 1 ， 2 ， r )=r故 rs，与()是否线性相关无关，故 C 不正确 若向量组()线性无关，则有 r( 1 ， 2 ， r )=rr( 1 ， 2 ， s )=s，但不能推出 r=s
12、，所以 A 不对 若向量组()线性相关，则有 r( 1 ， 2 ， r )=rr( 1 ， 2 ， s )s，从而rs，所以 B 不准确 综上，正确答案为 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若函数 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：4.00）解析：-5 解析 10.设函数 z=z(x，y)由方程 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 确定，则 （分数：4.00）解析：1 解析 令 F(x，y，z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z)=0，则 11.设函数 y=f(x)由参数方程 （分数：4.00）解析： 解析 由参数方程，得 1
13、2.若 y 1 =sinx，y 2 =1+sinx，y 3 =e 2x +sinx 是 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=f(x)的三个解，则 f(x)= 1 （分数：4.00）解析：f(x)=-sinx-2cosx 解析 依题可知，齐次方程 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=0 的两个线性无关解为 13. （分数：4.00）解析： 解析 14.A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 2AB+A+4B=0，且 （分数：4.00）解析： 解析 由 2AB+A+4B=0，得 A(2B+E)+2(2B+E)=2E (A+2E)(2B+E)=2E， 则 三、解答题(总题数：
14、9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_正确答案：()解析：16.求微分方程 xy“+y“=x 2 +1 满足条件 （分数：10.00）_正确答案：()解析：思路一： 当 x0 时，原方程化为 由通解公式得 由题设知，其有可微解，必有 C=0，所以 由于 根据 得 所以 思路二： 因解在(-，+)内可微，上式令 x=0，得 则 17.设函数 f(x)=x 4 +x 3 -1求 f(x)全部零点的个数，并估计每个零点所在区间，使估计区间的长度不超过 0.5 （分数：10.00）_正确答案：()解析：首先，因为 f(0)=-10， 所以在(-，0)和(0，+)内至少各有一个零点又 f“
15、(x)=4x 3 +3x 2 =x 2 (4x+3)，只有两个驻点 x 1 =0， 且 x 0 (0，+) + f“(x) 负 0 正 0 正 f(x) f(0)0 + 在 内有一个零点；在(0，+)内有一个零点，共有两个零点 因为 f(-2)=70，f(-1)=-10， 18.设函数 z=z(x，y)由方程 x+y=z+e z 确定，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 由于 x 与 y 对称，则有 所以 19.已知 f(x)，g(x)在闭区间a，b上连续，证明：存在 (a，b)满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 记 则 F(a)=0，F“(x)=f(x)；G(b
16、)=0，G“(x)=-g(x) 作辅助函数： 和 (x)=F(x)G(x)则有 且 (a)=(b)=0 将罗尔定理用于函数 (x)=F(x)G(x)，从而 “()=0即 ()=F“()G()+G“()F()=0， 由此推出 20.设 f(t)，g(t)，y(t)均为区间a，b上的连续函数，f(t)0，并且满足 证明：在a，b上成立不等式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 记 则 R(a)=0，只需证明 由已知条件可知 R(t)为a，b上的连续函数，且 R“(t)=f(t)y(t) 由不等式 得 即有微分不等式 R“(t)-f(t)R(t)f(t)g(t) 将上述不等式两端同乘以
17、得 因为 at，对上述不等式两端分别取a，t上的积分，注意到 R(a)=0，则 将上述不等式两端同除以 得 因此 21.设有直角三角形的闸板，两直角边和为 l，将其竖直放入水中，使一条直角边与水面重合，另一直角边垂直向下，问两直角边成何比例时，三角形闸板承受水压力最大?设水的密度为 1，求出此最大压力 （分数：11.00）_正确答案：()解析：以垂直向下直角边顶点为坐标原点，垂直向上方向为 y 轴，xOy 平面与三角板所在平面相平行建立坐标系，如图所示 设水平直角边与垂直向下直角边的边长分别为 a 与 ka， 则 a+ka=l，斜边所在直线方程为 y=kx 记 P(k)为闸板承受的水压力，横向
18、分割三角形域， 则有 xdy 表示面积微元，ka-y 为水深，如此有微分关系 dP(k)=g(ka-y)xdy=gk 2 (ax-x 2 )dx， 于是 解得驻点 k=2，且 P“(k)在驻点两侧变号(先正后负)，因此最大压力为 22.设线性非齐次方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：对增广矩阵作初等行变换 当 a1，r(A)=r(A b)=4，(*)有唯一解，其解为 x 4 =0， 故其解为 当 a=1、b-1 时，r(A)=2r(A b)=3，无解； 当 a=1、b=-1 时，r(A)=2=r(A 23.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 n 维向量，且 1 0，A 1 =2 1 ，A 2 = 1 +2 2 ，A 3 = 2 +2 3 ，问 1 ， 2 ， 3 是线性相关还是线性无关的?证明你的结论 （分数：11.00）_正确答案：()解析：结论：线性无关 由题意知(A-2E) 1 =0，(A-2E) 2 = 1 ，(A-2E) 3 = 2 对任意常数 K 1 ，K 2 ，K 3 ，令 K 1 1 +K 2 2 +K 3 3 =0， 式两边左乘以 A-2E 得 K 2 1 +K 3 2 =0， 式两边左乘 A-2E 得 K 3 1 =0， 由 1 0，得 K 3 =0 代回式，得 K 2 =K 1 =0 故 1 ， 2 ， 3 线性无关
