1、考研数学（数学二）模拟试卷 403 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 x0 时 f(x)是 g(x)的( ) （A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价的无穷小（D）等价无穷小2 曲线 r=aeb(a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )（A）（B）（C）（D）3 设 f(x)，g(x) 在点 x=0 的某邻域内连续当 f(x)具有一阶连续导数，且满足时，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小值点（B） x=0 为 f(x)的极大值点（C） (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(
2、0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程在开区间(a，b) 内的根有( )个（A）0（B） 1（C） 2（D）无穷多5 设 其中 f(t)是连续函数，则 等于( )（A）a 2（B） a2f(A)（C） 0（D）不存在6 设 0f(x)+f(x)sinxdx=4，f(0)=1，则 f()=( )（A）-3（B） 0（C） 2（D）37 与矩阵 合同的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）8 设 A，B 均为 n 阶方阵，且 A 为可逆矩阵，B 为不可逆矩阵，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则( )（A）A *+B*必为可逆
3、矩阵（B） A*+B*必为不可逆矩阵（C） A*B*必为可逆矩阵（D）A *B*必为不可逆矩阵二、填空题9 =_。10 =_.11 方程 x+y=ax2+by2+cz3(a+b0)确定了隐函数 y=f(x)，其中 a，b，c 均为常数，则在点(0 ，0) 处曲线的曲率是_12 =_。13 设 z=z(u)，且 u=(u)+yxp(t)dt，其中 z(u)为可微函数，且 (u)连续，(u)1，p(t) 连续，则 =_.14 设矩阵 A，B 满足 A*.BA=2BA 一 8E，其中 ,E 为单位矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，则 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f
4、(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，若在(0，1)内有 x1x 2，使证明：在(0，1)内存在 1， 2，使 F(1)F(2)16 设 0a b，f(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(x)0，求证：存在，(a，b)，使得17 设 y=y(x)由 确定，求当18 设 其中 为可微函数，求 dz19 求星形线 的质心20 设 g(x)0 为已知连续函数，在圆域 D=(x，y)x 2+y2a2(a0)上计算积分：其中 , 为正常数21 设 (I)求 f(x)在(0 ，+) 上的最小值点；( )判断 f(x)在(0 ，+)上是否存在最大值? 并说明理由21 已知三阶矩阵 B0
5、，且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解：22 求 值；23 证明B =0 23 已知 1=1，3，5，-1 T， 2=2，7，a，4 T， 3=5，17，一 1，7 T24 若 1,2,3 线性相关，求 a 的值；25 当 a=3 时，求与 1,2,3 都正交的非零向量 4；26 当 a=3 时，证明 1,2,3,4 可表示任一个四维列向量考研数学（数学二）模拟试卷 403 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因分母为 x 的(2+1)2=6 阶无穷小量，而分子为 x 的 4 阶无穷小量，因而 f(x)是 g(x)的低阶
6、无穷小仅 B 入选2 【正确答案】 A【试题解析】 仅 A 入选3 【正确答案】 C【试题解析】 由 可见在 x=0 的左、右两侧f(x)变号因此(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点仅 C 入选4 【正确答案】 B【试题解析】 由闭区间a，b上连续函数的零点定理知，F(x)在(a ，b) 内至少有一根又因 F(x)在a ，b上单调增加，则 F(x)在a，b 内至多有一个根因而，由零点定理和函数的单调性可知 F(x)在(a，b)内有唯一实根仅 B 入选5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 0f(x)+f(x)sinxdx0f(x)sinxdx+0f(x)sinx
7、dx =0f(x)sinxdx+0sinxdf(x) =0f(x)sinxdx+sinxf(x) 0 0f(x)cosxdx =0f(x)sinxdx 0cosxdf(x) =0f(x)sinxdxf(x)cosx 0+0f(x)sinxdx =f(0)cos0 一 f()cos=f(0)+f()=4， 即 f()=4 一 f(0)=41=3 仅 D 入选。7 【正确答案】 C【试题解析】 也可用正惯性指数 p 是否相同来判定事实上，易看出 A1 的正惯性指数为 1，A 2 为 1，A 4 为 0，都与 A 的正惯性指数不等故 A1，A 2，A 4 与 A 不合同，仅 A3 与 A 合同，即仅
8、 C 入选8 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 为可逆矩阵，故秩(A)=n，因而秩(A *)=n，而 B 为不可逆矩阵，故秩(B *)n 一 1，从而秩(B *)1。于是秩(A *B*)=秩(B *)1，故 A*B*必为不可逆矩阵仅 D 入选二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 在所给方程两边对 x 求导，得到 1+y=2ax 一 2byy+3cx2 两边再对 x 求导，得到 y=2a+2b(yy+y2)+6cx 将 x=0，y=0 代入式求得 y (0,0)=一 1，再将 x=0，y=0 ，y=一 1 代入式 ，得到 y (0,0)=2(a+b)，则所求曲率
9、为12 【正确答案】 这是求积和式的极限，将它转化成积分和，利用定积分定义求该极限13 【正确答案】 设 F(x，y，u)=u (u)一 yxp(t)dt，14 【正确答案】 在所给方程的两边左乘 A，则 AA*BA=2ABA 一 8A，即一2BA=2ABA 一 8A，在此方程两边右乘 A 一 1，则一 2B=2AB 一 8E，即 AB+B=4E， (A+E)B=4E ，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 移项有 f(x0)一 f(x1)f(x2)一f(x0) 利用拉格朗日中值定理，有 f(x0)一 f(x1)=f(1)(x0x1) f(x2)f(x 0)
10、=f(2)(x2 一 x0) 将式、式代入式 ，有 f(1)(x0x 1)f(2)(x2 一 x0)，因 x0 一x1=x2 一 x0，故有 f(1)f(2)16 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)，使又由柯西中值定理知，存在(a， b)，使 综合式、式即得17 【正确答案】 于是再对 3ty+ysintey 一 t2=0 求 于是有18 【正确答案】 19 【正确答案】 设该曲线的全长为 l，质心为 ，则曲线的质心坐标计算公式为 可用上述公式计算曲线的质心，其中 ds 为弧微分当 s0，l时，对应于于是20 【正确答案】 由于积分区域 D 关于直线 y=x 对称，故对连续函
11、数 f(x，y)，有21 【正确答案】 (I)由定积分的几何意义知， (这是以原点为圆心，半径为 x 的圆在第一象限部分的面积)再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分：当 0x1 时，所以 f(x)在(0，+) 上不存在最大值。22 【正确答案】 因 B0，故 B 中至少有一个非零列向量，于是推出所给齐次方程组 AX=0 有非零解，故其系数矩阵的秩(A) 3，则其三阶子式必等于 0，即23 【正确答案】 因 B 的每一个列向量都是方程组的解，故有 AB=0 由 A0，则必有B =0 事实上，若B0，则 B 可逆，在 AB=0 两边右乘 B 一 1 必有 ABB一 1=OB 一 1，A=0
12、，这与 A0 的事实矛盾，故B =024 【正确答案】 由 1,2,3 线性相关，得秩( 1,2,3)3由于所以 a=一 325 【正确答案】 设 4=x1，x 2,x3，x 4T，则有( 1， 4)=0， 2， 4)=0， ( 3， 4)=0，即 而 所以X=x1，x 2,x3，x 4T=4=k19，-6，0，1 ，其中 k0 为任意常数26 【正确答案】 由于 所以x11+22+43+x44= 有解，即任一四维列向量必可由 1,2,3,4 线性表出或由(I)知 a=3 时， 1,2,3 必线性无关，那么如果 k11+k22+k33+k44=0，用 4 左乘上式两端并利用 4T1 一 4T2=4T3=0，有 k4T4=0，故必有 k4=0于是k11+k22+k33=0，从而 1,2,3,44 必线性无关而 5 个四维向量必线性相关，因此任一个四维列向量都可由 1,2,3,4 线性表出
