1、考研数学（数学二）模拟试卷 407 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 由下列各条件可以得出 的是( )（A）对任意 0，存在正整数 N，当 nN 时，有（B）存在一个 0，对任意正数 N，当 nN 时，有x n 一 a（C）对任意正整数 N0，存在 0，当 nN 时，x n 一 a（D）对任意 0，存在正整数 N，当 nN 时，有无穷个 xn，使x n 一 a2 若 f(x)=一 f(-x)，在(0，+) 内 f(x)0，f(x) 0，则 f(x)在(一，0)内( )（A）f(x)0，f(x) 0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(
2、x)0（D）f(x)0，f(x) 03 下列计算正确的是( ) （A）（B）（C）（D）4 =( )（A）2（B）（C）（D）5 设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F xx(x0，y 0)0由方程 F(x， y)=0 在 x0 的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x0)=y0，则 ( )（A）y(x)以 x=x0 为极大值点（B） y(x)以 x=x0 为极小值点（C） y(x)在 x=x0 不取极值（D）(x 0，y(x 0)是曲线 y=y(x)的拐点6
3、设 则 f(x)在( 一，+)内( )（A）没有零点（B）只有一个零点（C）恰有两个零点（D）恰有三个零点7 下列矩阵中属于正定矩阵的是( )（A）（B）（C）（D）8 要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 若当 x0 时，f(x)= 0x-sinxln(1+t)dt 是与 xn 同阶的无穷小量，则 n=_10 已知 存在，且 ，则 f(x)=_11 设 f(x)是 一 a，a 上的连续函数，则 I=-aa(x+ecosx)f(x)+(xecosx)f(一 x)ldx=_12 方程 y+16y=sin(4x+a)(a 是常数)的特
4、解形式为 y*=_13 设 f(x)可导，且 又 则a=_14 已知 ，设 A=T，其中 T 是 的转置，则An=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算 其中 D 为由直线 y=2，y=0 ，x=一 2 及半圆 所围成的区域15 设 xOy 平面的第一象限中有曲线 F：y=y(x) ，过点 ，又M(x，y) 为 F 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 F 的切线在 x 轴上的截距之差为 16 导出 y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；17 求曲线 F 的表达式18 已知 f(x)=arctan(x 一 1)2，且 f(0)=0，求 01f(x)dx19
5、已知 f(x)在 x=0 点可导且 f(0)=0，f(0)=1，试求 其中D：x 2+y2t220 设 f(x)在a，b(a b) 上连续，在 (a，b)内可导求证：在 (a，b)内存在点 ，使得21 求微分方程 2x3y=y(2xy)的通解22 计算二重积分 其中 D：x 2+y2423 设 1,2,3,4， 为四维列向量， A=1,2,3,4，已知 Ax= 的通解为 x=1，-1，2，1 T+k11，2，0，1 T+k2-1，1，1，0 T， 其中1，2，0，1 T，一1，1，1，0 T 为对应齐次方程组的基础解系，k 1，k 2 为任意常数令 B=1,2,3，试求 BY= 的通解24 设
6、 A 为三阶实对称矩阵， 1=8， 2=3=2 是其特征根已知对应于 1=8 的特征向量为 1=(1，k，1) T，对应 2=3=2 的一个特征向量为 2=(一 1，1，0) T试求参数 k 及 2=3=2 的另一个特征向量和矩阵 A考研数学（数学二）模拟试卷 407 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 A 中条件虽与极限定义稍有不同，但注意 0 时，有 ，只是近于 0 的速度慢些但由 全可以保证 xn 数列与 a 无限接近仅 A 入选一般地，对于 的函数 f()，只要满足当 0 时，有 f()0 ，因而将 A 中条件 换为
7、 f()，结论仍成立2 【正确答案】 C【试题解析】 可把 f(x)视为在( 一，+) 内的奇函数：已知在 (0，+) 内 f(x)0，f(x)0，利用上述性质，则 f(x)在对称区间 (一，0)内，必有 f(x)0， f(x)0例如 f(x)=x3，有 f(x)=一 f(一 x)=一(一 x3)=x3，在(一 ，0) 内， f(x)=3x2 0， f(x)=6x0对比四个选项知，仅 C 成立3 【正确答案】 D【试题解析】 因 所以 f(x)为连续函数且为奇函数，故 -11f(x)dx=0选项 D 正确至于 A，因 为广义积分，按定义有而等式右端的两个广义积分都是发散的例如， A 不正确至于
8、 B，因分母 cos2x 在 2 0，处取值为 0，因而 B 中被积函数那样提公因式是不允许的C 也是一个广义积分按定义： 然而右边两个广义积分也是分别发散，按牛顿一莱布尼茨公式计算是错误的4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 按隐函数求导法知；y(x)满足 令 x=x0，相应地y=y0，因 Fx(x0，y 0)=0， F y(x0，y 0)0，故 y(x0)=0将上式再对 x 求导，并注意y=y(x)，即得 再令 x=x0，相应地 y=y0由 y(x0)=0，F(x 0，y 0)0，得到得 y(x0)0因此，x=x 0 是 y=y(x)的极小值点仅 B 入选6
9、【正确答案】 C【试题解析】 求 f(x)，分析其单调性区间由于因此 x=一 1 是 f(x)的最小值点，且又 由连续函数的介值定理知，在(一，一 1)与(一 1，+)内必存在 f(x)的零点又因 f(x)在(一 ，一 1)与 (一 1， +)均单调，所以在每个区间上也只能有一个零点因此， f(x)在(一，+)内恰有两个零点仅 C 入选7 【正确答案】 B【试题解析】 C 中矩阵的元素 a33=一 10，必不正定；A 中矩阵的二阶顺序主子式 =一 10，必不正定；D 中矩阵的三阶顺序主子式A = 一 10，必不正定由排除法可知，仅 B 入选8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 1 与 2
10、 线性无关(分量不成比例)，故有 3 一秩(A)2，从而秩(A)1显然只有 A 满足要求仅 A 入选二、填空题9 【正确答案】 因当 x0 时，ln(1+x)为 x 的一阶无穷小，xsinxx 36 为 x 的3 阶无穷小量，由上述结论知 0x-sinxln(1+t)dt 必为(1+1)3=6 阶无穷小为使 x0 时，f(x)=0x-sinxln(1+t)dt 与 xn 是同阶的无穷小，则 n 必等于 610 【正确答案】 在所给等式两端求 x1 时的极限注意到 ，利用11 【正确答案】 因(x+e cosx)f(x)+(xecosx)f(一 x)=xf(x)+f(一 x)+ecosxf(x)
11、一 f(x)，而 f(x)+f(-x)， f(x)一 f(一 x)分别为偶函数和奇函数，x，e cosx 分别为奇函数和偶函数，故 xf(x)+f(一 x)与 ecosxf(x)一 f(一 x)都为奇函数，所以 I=012 【正确答案】 令 f(x)=sin(4x+)=e0x(sin4xcos+sinacos4x) =e0x(Asin4x+Bcos4x) 则 =0，w=4，其中 A=cos，B=sin 为常数需考察 iw=4i 是否是特征方程的根，由 r2+16=0，得到 r1,2=4i因而4i 为特征方程的根，其特解形式为y*=x(Acos4x+Bsin4x)13 【正确答案】 由拉格朗日中
12、值定理得到 f(x+1) f(x)=f()(x+1 一 x)=f()，xx+1 而 因 xx+1 ，故当 x时，必有 于是于是 ea=e3，故 a=114 【正确答案】 A n=(T)n=(T)(T)( T)=T(T)(T)( T)=T(T)=(T)n-1(T)，易求得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 先求出 F 在点 M(x，y)处的切线方程Yy(x)=y(x)(Xx)，其中(X ， Y)是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上截距 又弧段 AM 的长度为 由题意得这是积分、微分方程两边对 x 求导可化为二阶微分方程： 又由
13、条件 及式令 x=0得 因此初值问题为 方程与 是等价的17 【正确答案】 下面求解方程这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以y 为自变量得 分离变量得到 两边积分得将上面两式相减，得 将坐标点 代入式求得 则式 即为曲线 F 的表达式18 【正确答案】 分部积分两次得19 【正确答案】 因为20 【正确答案】 将待证等式改写为 作辅助函数 F(x)=xe 一x，则 F(x)在a，b上连续， (a，b)内可导，且 F(x)=e 一 xxe 一 x由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使21 【正确答案】 原方程可化为22 【正确答案】 为去掉被积函数的绝对值符号，先找出使 x2+y2 一
14、 2x=0 的点，而x2+y2 一 2x=0 是一个圆，以其圆周为边界线，将 D 分成两部分：D1：2xx 2+y24，D 2：x 2+y22x故23 【正确答案】 由式知，1，2，0，1 T，一 1，1，1，0 T 为 Ax=0 的基础解系，1 ，一 1，2，1 T 为 Ax= 的一特解，故 n 一秩(A)=4 一秩(A)=2， 即 秩(A)=2，且有 =1 一 2+23+4， 1+22+03+4=0， 1+2+3+04=0于是有 3=1 一2， 4=一 1 一 22 因秩(A)=秩( 1,2,3,4) 2，故 1， 2 线性无关，从而秩(B)=秩(1,2,3)=2由 =1 2+23+4=1
15、 一 2+2(1 2)+(一 12 2)=21-52+03 易知2，一 5，0 T 为 BY= 的特解又 n=3，n 一秩(B)=32=1 ，故 BY= 的基础解系只含一个解向量 由 1 一 2 一 3=0 知，1，一 1，一 1T 为 BY=0 的非零解，可作为基础解系，故 BY= 的通解为 y=2，5，0 T+k1，一 1，一 1T，其中 k 为任意常数24 【正确答案】 因 1， 2 为实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故它们正交于是有 1T2=(1，k，1)( 一 1，1，0) T=一 1+k+0=0，即 k=1，则1=(1， 1，1) T设 A 的属于 2=3=2 的另一个特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T因 A为实对称矩阵，属于二重特征值的特征向量中必有两个线性无关为保证它们线性无关，可进一步要求它们正交，即 2T3=0，则及基础解系的简便求法即得基础解系为 3=(1，1，一 2)T再由 A(1,2,3)=(A1，A 2，A 3)=(11， 22， 33)，得到 A=(11， 22， 33)(1,2,3)一 1
