1、考研数学（数学二）模拟试卷 408 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数中，在 x=0 处既连续又可导的是( ) （A）（B）（C）（D）2 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且 x00 是函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 必为 f(x)的驻点（B）一 x0 必为 f(x)的极小值点（C）一 x0 必为一 f(一 x)的极小值点（D）对任何 x(一，+)，都有厂(x)f(x 0)3 若 f(0，0)=0，当(x，y)(0，0)时，f(x ，y)为如下四式之一，则 f(x，y)在点(0，0)处连续的是 ( )（A）（B）（C）（D
2、）4 设 f(x)是连续可导函数，当 0a xb 时，恒有 xf(x)f(x)，则( )（A）af(x) xf(A)（B） bf(x) xf(B)（C） xf(x) bf(B)（D）xf(x)af(A)5 设 f(x)=0，f(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得( )（A）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0+)内单调增加（B）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0+)内单调减少（C）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0内单调减少，而在x 0，x 0+)内单调增加（D）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0内单调增加，而在x 0，x 0+)内单调减少6 微分方程 y+y=一
3、2x 的通解为 ( )（A）-2x+c 1cosx+c2sinx（B） 2x+c1cosx+C2sinx（C） -2x+cosx+sinx（D）-2x+c 1cosx+sinx7 设 若矩阵 X 满足 Ax+2B=BA+2X，则 X4=( )（A）（B）（C）（D）8 设 A 为三阶非零方阵，而 且 AB=0，则 t=( )（A）4（B） -4（C） 7（D）-7二、填空题9 =_10 已知 ，则 dz=_.11 已知函数 在 x=0 有一阶导数，则A=_，B=_12 设 x一 1，则 -1x(1 t)dt=_.13 积分 13dxx-12siny2dy=_14 设 A 是三阶可逆矩阵，如果
4、A 一 1 的特征值是 1，2，3，则A的代数余子式A11+A23+A33=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明：16 设 f(x)是周期为 T 的非负连续函数，求证17 计算 D：x 2+y22x18 设 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，证明：19 计算 20 求 f(x，y， z)=2x+2yz2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值21 求解微分方程 yy一(y) 2+(y)3=022 设 1,2,3 是线性方程组 的解向量，试证 1 一 2， 1 一 3 线性相关22 设 A 是 n 阶反对称矩阵，A *为 A 的伴随矩阵23 证明：A
5、可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时， A*为对称矩阵；24 举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子；25 证明：如果 是 A 的特征值，那么一 也必是 A 的特征值考研数学（数学二）模拟试卷 408 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A， ，而 f(0)=0，所以在 x=0 处连续因为为振荡型，在 x=0 处不存在，故 f(x)在 x=0 处不可导对于C，易知 f(x)在 x=0 处不连续对于 D， 处不存在，即 f(x)在 x=0 处不可导对于 B， 故其在 x=0 处连续又因为因 f+(0)=f-(0)=
6、1故 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=1仅 B 入选2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)在 x0 处不一定可导，A 不成立设 f(x)=sinx，它在 x0=2 取得极大值，但是-f(x)=一 sinx 在一 x0=一 2 取值为一 sin(一 2)=1 ，也是极大值，不能选 B由于极大值未必是最大值，因而不能选 D由于 y=-f(-x)的图形与y=f(x)的图形关于原点对称，当 x0 是 f(x)的极大值点时，一 x0 必是一 f(一 x)的极小值点仅 C 入选3 【正确答案】 C【试题解析】 因 所以 C 中函数在点(0，0)处连续4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知
7、，当 0axb 时，xf(x)f(x)因而在(a ，b)内 F(x)0，即 F(x)单调减少，故 亦即 bf(x) xf(B) 仅 B 成立5 【正确答案】 C【试题解析】 由 及极限的保号性得到：存在 0，使当 x(x0 一 ，x 0+)且 xx0 时，有 于是当 x(x0，x 0时，由xx00，必有 f(x)一 f(x0)0， 即 f(x)0同法可知，当 xx0，x 0+)时，由xx00，必有 f(x)一 f(x0)0， 即 f(x)0故 f(x)在x 0 一 ，x 0)内单调减少，在x 0， x0+)内单调增加仅 C 入选6 【正确答案】 A【试题解析】 因 r2+1=0，故 r=i=0
8、i所以 y+y=0 的通解为 e0x(c1cosx+c2sinx)=c1cosx+c2sinx又 y*=-2x 满足 y+y=一 2x，为一特解，故所求的通解为 y=-2x+c1cosx+2sinx 仅 A 入选7 【正确答案】 B【试题解析】 易知 A 一 2E 可逆，由题设的矩阵方程易得到 (A 一 2E)X=B(A 一2E)，于是 X 一(A 一 2E)一 1=B(A 一 2E)，则 XB因而8 【正确答案】 D【试题解析】 用反证法证B=0事实上，如 B0，则 B 可逆由 AB=O得到 ABn 一 1=OB 一 1，即 A=O，与 A 为非零矩阵矛盾，故B =0 由 B=1+2+t+4
9、=0 得 t=一 7仅 D 入选二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 因连续是可导的必要条件，所以 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)，而 f(00)=2A，f(0+0)=一 2B，f(0)=一 2B，故 A=一 B又由 f (0)=f+(0)，可得 1+2A=9+6B又因 A=一B，故 96A=1+2A，于是 A=1，B= 一 112 【正确答案】 当一 1x0 时，t=一 t，则13 【正确答案】 积分区域 D 如图所示交换原积分的积分次序得到14 【正确答案】 因为 A 一 1 的特征值为 1，2，3，所以 A 一 1=123=6，三、解答题解答应写出
10、文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 则 由于所以 f(x)0，即 f(x)在(0， 2)内严格单调递减因此，16 【正确答案】 任取 x0，存在 T，使 nTx(n+1)T，所以当 f(x)为非负连续函数时，有 0nTf(x)dx0xf(t)dt0(n+1)Tf(t)dt17 【正确答案】 这里积分区域 D 关于 x 轴对称，其中第一项的被积函数关于 y 是偶函数，第二项的被积函数关于 y 是奇函数，故根据对称性可得18 【正确答案】 利用分部积分法得到 01(1x)f(x)dx= 01x(1 一 x)df(x)=x(1-x)f(x) 01 一 01(1 一 2x)f(x)d
11、x=01(2x 一 1)df(x)=(2x1)df(x)(2x1) 012 01f(x)dx=f(0)+f(1)2 01f(x)dx 即19 【正确答案】 20 【正确答案】 f(x，y，z) 在有界闭区域 上连续，一定存在最大值、最小值第一步，先求 f(x，y，z) 在 上的驻点由 得 f(x，y，z)在 上无驻点，因此 f(x，y， z)在 上的最大值、最小值都只能在 的边界上达到第二步，求f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大值、最小值令 F(x，y，z，)=2x+2yz2+5+(x2+y2+z22)，解方程组由式、式 得 x=y；由式得 z=0 或 =1将 x=y，
12、z=0 代入式得 x=y=1， z=0当 =1 时，由式、式、式也得 x=y=一 1，z=0因此得驻点 P1(一 1，一 1，0)与P2(1，1，0)经计算得知 f(P1)=1，f(P 2)=9因此，f(x，y，z)在 上的最大值为9，最小值为 121 【正确答案】 令 y=p，则 于是原方程变为22 【正确答案】 记 则所给线性方程组为Ax=b因为 1,2,3 是 Ax=b 的解，故 Aai=b(i=1， 2，3)，从而 A(1 2)=0，A( 1 3)=0即 1 一 2， 2 一 3 都是齐次方程组 Ax=0 的解向量由于A=0，有一子式 则秩(A)=2，故 Ax=0 只有一个线性无关的解
13、，因此 1 一 2， 2 一 3 线性相关23 【正确答案】 由反对称矩阵定义知，A T=一 A，故 A= A T=A=(一 1)n A，即1 一(一 1)nA=0 若 n=2k+1，必有A=0，所以 A可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=一 A，由(A *)T= (AT)*有 (A *)T=(AT)*=(一 A)* 又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=2k+1 时，有 (A *)T=(一 A)*=(一 1)n-1A*=(一 1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵24 【正确答案】 例如, 是四阶反对称矩阵，且不可逆25 【正确答案】 若 是 A 的特征值，有E 一 A=0，那么一 E 一A=( 一 EA)T=一 E 一 AT=一 E+A= 一(E A)=(一 1)nE一 A=0，所以一是 A 的特征值
