1、考研数学（数学二）模拟试卷 409 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0xarctan(t 一 x)2dt，g(x)= 0sinx(3t2+t3cost)dt，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶而非等价无穷小。2 曲线 y=(x+2) 渐近线的条数为 ( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。3 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)= xyf(x，y)dxdy，其中 D 为区域0x1，0y1，则 =( )4 设 D 是由抛物线 y=x2 与曲线 y= 围
2、成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 (x，y)dxdy=( )5 下列结论中正确的是( )6 设 y1= +ex 是某二阶常系数非齐次线性微分力程的解，则该方程的通解是( )7 设 A、B 为两个 n 阶方阵，现有 4 个命题：若 A、B 为等价矩阵，则 A、B 的行向量组等价；若 A、B 的行列式相等。即|A|=|B|，则 A、B 为等价矩阵；若 Ax=0 与 Bx=0 均只有零解，则 A、B 为等价矩阵；若 A、B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的基础解系中所含向量个数相同。以上命题正确的是( )（A），。（B） ，。（C） ，。（D），。8 设 A 是 54 矩
3、阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(1，1，一 2，1)T， 2=(0，1， 0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量的极大线性无关组是( )（A） 1， 3。（B） 2， 4。（C） 2， 4。（D） 1， 2， 4。二、填空题9 设 =_。10 设 f(x)= =_。11 设函数 f，g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)，则 =_。12 微分方程 y“+ =0 的通解为_。13 设有曲线 y= ，过原点作其切线，则以曲线、切线及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的表面积为_。14 设 A，B 为三阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1=1， 2=
4、一 1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)满足 f(1)=0，f(1)=2，求 。16 求不定积分 。17 设函数 z=z(x，y)且有二阶连续偏导数，且满足方程=0。令 x=eu+v，y=e uv，将自变量换为 u，v，试推导出z 关于 u，v 应满足的方程。18 设函数 y=f(x)二阶可导，f(0)=f(0)=0，f“(0)=1 。记曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线与 x 轴的交点坐标为(u，0)，与 y 轴的交点坐标为(0，v)，求。19 设曲线 L 的参数方程为 x=(t)=tsint
5、，y=(t)=1 一 cost(0t2)。()求证：由 L 的参数方程可以确定连续函数 y=y(x)，并求它的定义域；()求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 )，轴旋转一周所成旋转体的体积 V。20 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明 abxf(x)dx abf(x)dx。21 设函数 f(x)=sinx 一 0x(x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)是连续函数，求 f(x)的表达式。22 设线性方程组 已知(1，一 1，1，一 1)T 是该方程组的一个解，试求 ()方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； ()该方程组满足 x2=x3 的全部解。23 设二二次
6、型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=3x12+ax22+3x32 一 4x1x28x1x34x2x3，其中一2 是二次型矩阵 A 的一个特征值。 ()试用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换； () 如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值。考研数学（数学二）模拟试卷 409 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故由无穷小量比较的定义知，f(x)是 g(x)的同阶而非等价无穷小，故应选 D。2 【正确答案】 C【试题解析】 故 y=e(x+1)为曲线的斜渐近线。3 【正确答案】 C【试题解析】 因此
7、应选 C。4 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D 如右图所示：可知两曲线的交点为 (一 1，1)和(1，1)。 若先对 y 积分，再对 x 积分，则 虽然积分区域关于 y 轴对称，但 f(x，y)的奇偶性并不清楚，故选项 A 不对。 若先对 x 积分，再对 y 积分，则 故选 B。5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 由解的结构定理，知 y13=ex 是对应的齐次方程的解。y1 一 y2= 一 ex 也是对应的齐次方程的解，从而 Y= 与 ex 线性无关，即对应的齐次方程的通解为y=C1 +C2ex。比较四个选项，只有 A 选项符合非齐次线性微分方程的解的
8、结构，故选 A。7 【正确答案】 D【试题解析】 A、B 为 n 阶方阵，因此 A、B 等价r(A)=r(B)，而两个矩阵的秩相等，并不能得到其行向量组一定等价，如 A= ，则 r(A)=r(B)，即 A、 B 等价，但 A、B 的行向量组并不等价，可见命题不成立；|A|=|B|，推导不出 r(A)=r(B)，即推导不出 A、B 等价，命题也不成立；若 Ax=0与 Bx=0 均只有零解，则 r(A)=r(B)=n，从而 A、B 为等价矩阵，命题成立；若A、B 相似，则 r(A)=r(B)，从而 Ax=0 与 Bx=0 基础解系中所含向量个数分别为 n一 r(A)与 nr(B)，显然是相同的，命
9、题 成立。对照四个选项知，应选 D。8 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0 知 1+2 一 23+4=0。 (1) 由 A2=0 知 2+4=0。 (2) 因为nr(A)=2，所以 r(A)=2，所以可排除 D。 由(2)知 2， 4 线性相关，故应排除B。 把 (2)代入(1)得 1 一 23=0，即 1， 3 线性相关，排除 A。 如果 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)=r(23， 2， 3，一 2)=r(2， 3)=1 与 r(A)=2 相矛盾，所以选 C。二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 10 【正确答案】 1 一 e1【试题解析】 积分区域如右
10、图11 【正确答案】 f 2【试题解析】 由=f2。12 【正确答案】 =C1x+C2，其中 C2，C 2 为任意常数【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 设切点为(x 0，代入切线方程，可得 x0=2，y 0=1，因此切线方程为 y= (0x2)绕 x轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为14 【正确答案】 18【试题解析】 由|2E+A|=(一 1)3|一 2EA|=0，知|一 2EA|=0，故 =一 2 为 A 的一个特征值。因 AB，故 A，B 有相同特征值，即 1=1， 2=一 1， 3=一 2。|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|E+2B|=29=18。三、解答题解答应写
11、出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由已知 x=(u，v) ，y=(u ，v)，z=z(x，y)，因此由复合函数求导的链式法则得18 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)。由于已知条件是函数二阶可导，所以不能用洛必达法则，只能凑二阶导数的定义，由定义可知19 【正确答案】 (1)由已知可得 (t)=1 一 cost0，(0)=0，(2)=2，则 (t)在0，2 上单调增加，且值域为(0)，(2)=0 ，2。 由 x=(t)=tsint 在0，2上连续可知其在0，2上存在连续的
12、反函数 t=1(x)，且定义域为0，2。所以y(x)=1(x)在0，2上连续。 ()由旋转体的体积公式(绕 y 轴旋转)，有 V=202xydx=202(t 一 sint)(1 一 cost)2dt=202t(1 一 cost)2dt，令 t=2ws，则 V=202(2s)(1 一 coss)2ds=4202(1 一 coss)2dsV， 上式中， 02sint(1 一 cost)2dt=sint(1 一 cost)2dt=0 由周期函数与奇函数的积分性质直接得出。20 【正确答案】 由于 f(x)单调增加，所以 f(2)f(1)，故 I0，得证。21 【正确答案】 由方程 f(x)=sinx
13、 一 0x(x 一 t)f(t)dt 可知 f(0)=0，且 f(x)可导。 方程两边对 x 求导，得 f(x)=cosx 一 0xf(t)dt，且 f(0)=1，由 f(x)连续可知 f(x)可导，再对上式求导，得 f“(x)+f(x)=一 sinx，该二阶非齐次线性微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2+1=0解得 =i，所以齐次微分方程的通解为 F(x)=C1sinx+C2cosx，由于 i 是特征方程的根，所以设特解为 f*(x)=x(Acosx+Bsinx)，22 【正确答案】 将解(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组，得 =。对应的齐次线性方程组的基础解系为 =(一 2，1
14、，一 1，2) T，故方程组的全部解为对应的齐次线性方程组的基础解系为 =(1，一 3，1，0) T，=(一 1，一 2，0，2)T，故方程组的全部解为23 【正确答案】 得到矩阵 A 的特征值是 1=2=7， 3=一 2。 对 =7，解齐次方程组(7E 一 A)x=0 得基础解系 1=(1，一 2，0) T， 2=(1，0，一 1)T。 对 =一 2，解齐次方程组(一 2E 一 A)x=0 得基础解系 3=(2，1，2) T。因为 1， 2 不正交，故需施密特(Schmidt)正交化，有()因为矩阵 A 的特征值为 7，7，一 2。所以|A|=一 98，那么 A*的特征值为一14，14，49。从而 A*+kE 的特征值为 k 一 14，k 一 14，k+49。因此，k14 时，A*+kE 正定。
