1、考研数学（数学二）模拟试卷 410 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =2，则( )（A）a=1 ，b=一 。（B） a=1，b=一 2。（C） a=0，b=一 。（D）a=0 ，b=一 2。2 函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是( )（A）若 f(x)=0，则 f(x0)必是一极值。（B）若 f“(x)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点。（C）若极限 一 f(x0)存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有 一 f(x0)=f(x0)。（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0
2、 的某邻域内有界。3 当 x0 时，f(lnx)= ，则 22xf(x)dx=( )4 累次积分 d0cosf(cos，sin)d 采用直角坐标系可表示为( )5 若 y=xex+x 是微分方程 y“一 2y+ay=bx+c 的解，则( )（A）a=1 ，b=1，c=1。（B） a=1，b=1，c=一 2。（C） a=一 3，b=一 3，c=0 。（D）a= 一 3，b=1，c=1。6 设函数 z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且 =一 2，则( )（A）f x(0，0)不存在。（B） fx(0， 0)存在且不为零。（C） f(x，y)在(0，0)点取极大值。（D）f(x，y)在(0，0)
3、点取极小值。7 已知线性方程组 Ax=k1+2 有解，其中 A=，则 k=( )（A）1。（B）一 1。（C） 2。（D）一 2。8 设 1， 2， 3， 4， 5 都是四维列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，非齐次线性方程组Ax=5 有通解 k+=k(1，一 1，2，0) T+(2，1，0，1) T，则下列关系式中不正确的是( )（A）2 1+2+45=0。（B） 542331=0。（C） 12+235=0。（D） 54+432=0。二、填空题9 数列极限 I= =_。10 不定积分 I=e2arctanx =_。11 设函数 f(x)在 x=4 处连续，且 =一 4，则曲线 y=f(x
4、)在点(4，f(4)处的切线方程是_。12 设 u= sin(x2+y2)，其中 z=z(x，y)是由方程 3x2+2y2+z2=6 确定的隐函数，且z(1， 1)=1，则 =_。13 曲线 的点处的法线斜率为_。14 已知 =(3，一 1，2) T， =(1，2，1) T，E 是 3 阶单位矩阵，A=E+ T，则 A1=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限 。16 设区域 D 为 x2+y2，试计算二重积分 sin(x2+y2)+sin(x2 一 y2)+sin(x+y)dxdy。17 设 f(x)在0，a上非负，f(0)=0，f“(x) 0，(X ，Y) 为
5、y=f(x)，y=0 及 x=a 围成区域的形心，证明 X 。18 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，且 f(1)= xe1xf(x)dx，其中 k1。证明：存在 (0，1)使 f()=(1 一 )f()成立。19 设函数 y=y(x)在 R 上具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。 ()将 x=x(y)满足的微分方程 =0 变换成 y=y(x)满足的微分方程；(1I)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解。20 设 z=u(x，y)e ax+y， +z=0。21 设抛物线 y=ax2+bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已
6、知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 ，试确定 a，b，c，使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小。22 已知 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，满足 A1=一 13233，A 2=41+2+3，A 3=1+33。 () 求矩阵 A 的特征值； ()求矩阵A 的特征向量； () 求矩阵 A*一 6E 的秩。23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x1+x2+x3+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 的秩为 1，且(0，1，一 1)T 是二次型矩阵的特征向量。 ()求参数 a，b； ()求正交变换 x=Qy，把二次型化为标准形 f(
7、x1，x 2，x 3)； ( )求 f(x1，x 2，x 3)的合同规范形。考研数学（数学二）模拟试卷 410 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不一定正确，反例：f(x)=x 3，x=0 时 f(0)=0，此点非极值点。选项 B 不一定正确，需加条件：f“(x) 在 x0 点两侧异号。 选项 C 所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的。同时 n 趋近于无穷一般专指正无穷，所以式中的 只是趋近于 0+的。 选项 D 可微的函数必连续，从而函数在该点的某邻域内必然有界。故
8、选 D。3 【正确答案】 B【试题解析】 令 lnx=t，则 x=et，因此可得故选 B。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，=cos 表示圆 x2+y2=x 的上半部分，积分区域如右图所示：5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是微分方程 y“一 2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应齐次方程的解，其特征方程 r2 一 2r+a=0 有二重根 r1=r2=1，则 a=1；x 是非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y“一 2y+ay=bx+c 知 b=1，c=一 2。故选 B。6 【正确答案】 C【试题解析】 由 =一 2，z=f(x ，y)在点(0，0)处
9、连续可知 f(0，0)=0。 而由 =一 20 及极限的保号性可知，存在点(0 ，0) 的某个去心邻域，有 0，则 f(x，y)0，又 f(0，0)=0，由极值的定义可知 f(x，y)在点(0，0)处取极大值。故选 C。7 【正确答案】 D【试题解析】 将 Ax=k1+2 的增广矩阵作初等行变换，Ax=k1+2 有解r(A)=r(A|k 1+2)，得 k=一 2，故选 D。8 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组有通解 k+ 可知 5=(1， 2， 3， 4)(k+) =(1， 2， 3， 4) =(k+2)1+(1 一 k)2+2k3+4。即 5 一(k+2) 1 一(1一 k)2
10、一 2k3 一 4=0，其中 k 是任意常数，即 1， 2， 3， 4， 5 线性相关，且在此线性组合中必须含 4 和 5，选项 C 没有 4，故 C 不正确。当 k=0 时选项 A成立；k=1 时选项 B 成立； k=一 2 时选项 D 成立。故选 C。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 xe 2arctanx+C，C 为任意常数【试题解析】 令 t=arctanx，则 dt= 。 I=e 2t(1+tant)2dt=e2t(sec2t+2tant)dt =e2tsec2tdt+2e2ttantdt =e2td(tant)+2e2ttantdt =e2ttant+C
11、。 故 I=xe2arctanx+C，C 为任意常数。11 【正确答案】 y=4x 一 12【试题解析】 令 5 一 x=4+x，则x=1 一 x，代入可得所以曲线 y=f(x)在点 (4，f(4)处的切线方程是 y=f(4)(x 一 4)+f(4)，即 y=4x 一 12。12 【正确答案】 2e(cos2 一 sin2)【试题解析】 根据复合函数求导公式又由于z=z(x，y) ，因此在所给隐函数方程两边同时对 x 求导，可得 6x+2z =0。在上面两式中代入 x=1，y=1 和 z=1，可得出 =2e(cos2 一 sin2)。13 【正确答案】 1+【试题解析】 14 【正确答案】 【
12、试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 与积分变量 t 无关，所以可以将它提到积分号的外面，有 此为型未定式极限，且分子分母都可导，由洛必达法则、积分上限的函数求导数、以及两函数乘积的求导公式，得16 【正确答案】 由于积分区域关于两个坐标轴都是对称的，因此只要被积函数关于 X，y 有一个是17 【正确答案】 18 【正确答案】 故 kf(1)=ke1f()，即 f(1)=e1f()。 再令 (x)=xe1xf(x)，则 (0)=0，(1)=f(1)，所以 (1)=f(1)=()，由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)，使得 ()=0，即19
13、 【正确答案】 y“一y=sinx。 ()微分方程 y“一 y=sinx 对应的齐次微分方程的特征方程为 2 一1=0解得 =1。 故对应的齐次微分方程的通解为 Y=C1ex+C2ex，设特解为y*=asinx+bcosx，代入方程 y“一 y=sinx 中，解得 a=一 ，b=0。所以非齐次微分方程的通解为20 【正确答案】 根据复合函数求导法则，21 【正确答案】 由题设知曲线过点(0，0)，得 c=0，即 y=ax2+bx。如右图所示，从 xx+dx 的面积 dS=ydx，所以由于 y=ax2+bx 绕 x 轴旋转一周，则 xx+dx 的体积 dV=y2dx，所以旋转体体积22 【正确答
14、案】 () 由已知条件可得 A( 1， 2， 3)=(一 13233，4 1+42+3，一 21+33)=(1， 2， 3) 。记 B=，P 1=(1， 2， 3)，由 1， 2， 3 线性无关可知矩阵 P1 可逆，且P11AP1=B，所以 A 与 B 相似。 矩阵 B 的特征多项式 |EB|=( 一 1)( 一 2)( 一3)，所以矩阵 B 的特征值是 1，2，3，从而矩阵 A 的特征值也是 1，2，3。 ()由(iEB)x=0 可得对应于特征值 1=1， 2=2， 3=3 的一个特征向量分别为 1=(1，1，1) T， 2=(2，3，3) T， 3=(1，3，4) T。令 P=P1P2，则
15、 P 的列向量就是矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的特征向量，而 P=(1， 2， 3)(1， 2， 3)=(1+2+3，2 1+32+33， 1+32+43)，所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的特征向量分别为 k 1(1+2+3)，k 2(21+32+33)，k3(1+32+43)，k i0(i=1， 2，3)。 ( )因为矩阵 A 的特征值为 1，2，3，所以由A*A=|A|E 可知 A*的特征值为 6，3，2，则 A*一 6E 的特征值为 0，一 3，一 4，故秩 r(A*一 6E)=2。23 【正确答案】 () 二次型的矩阵为 A= ，二次型的秩为 1，从而该矩阵的秩为 1，也即该矩阵各行各列是成比例的，由此可得 a=b=1 或 a=b=一 1。令 x=Qy 可将二次型化为 f=3y32。()f(x 1，x 2，x 3)的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0，因此合同规范形为 z12。
