1、考研数学（数学二）模拟试卷 419 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(，y) 则 f(，y)在点(0，0)处( )（A）连续，但不可偏导（B）可偏导，但不连续（C）连续、可偏导，但不可微（D）可微2 设 D 为有界闭区域，z f(，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足：0，则( )（A）f(，y)在 D 取到最小值和最大值（B） f(，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值（C） f(，y)在 D 内取到最大值取不到最小值（D）f(，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值3 设 f(t) arctan(1 2y 2)ddy，
2、则 为( )（A）（B）（C）（D）4 设 f()在 0 的邻域内三阶连续可导，且 f(0)f( 0)0，f( 0)0，则下列结论正确的是( ) （A） 0 为 f()的极大值点（B） 0 为 f()的极小值点（C） (0，f( 0)为曲线 yf()的拐点（D）( 0，f( 0)不是曲线 yf()的拐点5 设 f()连续，则 f(y)dy 为( )（A）0（B） f(b)（C） f(b)f(a)（D）f(by)f(ay)6 若 f()C1，)，在 1，) 内可导，f(1) 0，f()k0，则在(1，)内f()0( )（A）至少有一个根（B）只有一根（C）没有根（D）有无根无法确定7 设 A 为
3、三阶矩阵，特征值为 1 21， 32，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P1( 1 3， 2 3， 3)，则 P1-1AP1( )（A）（B）（C）（D）8 设 A 是 mn 矩阵，r(A)n，则下列结论不正确的是( )（A）若 ABO，则 BO（B）对任意矩阵 B，有 r(AB)r(B)（C）存在 B，使得 BA E（D）对任意矩阵 B，有 r(BA)r(B)二、填空题9 _10 _11 设 f()为连续函数，且 2y 2z 2 yf(yt)dt ，则 _12 摆线 (a0，0t2) 绕 轴旋转一周所成曲而的表面积为_13 微分方程 y y( 0)的通解为_ 14 设 A 为三
4、阶矩阵，其特征值为 12， 2 31，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令 P(4 1， 2 3， 22 3)，则 P-1(A*3E)P 为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f()在0，1上可导，且 f(0)0，0f()1，证明： 01f()d2 01f3()d16 设抛物线 ya 2bc 过点(0，0)及(1，2) ，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 轴所围成的面积最小17 设 f(u)二阶连续可导，z f(e siny)，且 e 2ze 3siny，求 f()18 设 L： y 21(0 ，y0)，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成面
5、积的最小值19 已知微分方程 (y)z，作变换u 2y 2，v ， lnz( y)，其中 (u，v)，求经过变换后原方程化成的关于 ，u，v 的微分方程的形式20 计算二重积 (y)d，其中区域 D 是由直线 2，y0，y2 及曲线 所围成的平面区域21 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多长时间 ?22 设 ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程AXB
6、有解，有解时求出全部解23 设二次型 f(1， 2， 3)X TAX 经过正交变换化为标准形 f2y 12y 22y 33，又A* ，其中 (1，1， 1)T ( )求矩阵 A； ()求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 XQY，二次型 f(1， 2， 3)X TAX 化为标准形考研数学（数学二）模拟试卷 419 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 (，y)0f(0 ，0)得 f(，y)在 (0，0)处连续， 由0 得 f(0，0)0， 再由得 fy(0，0) ， 即 f(，y)在(0，0)处可偏导且 f(0，0)0，f y
7、(0，0) 令 ，A f (0，0)0，B f y(0，0) ，则 zA(0)B(y0)yarctan ，故 f(，y)在(0，0)处可微故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(，y)，A ， 因为 ACB 2 0，所以 D 内任意一点都不是最值点，故f(，y)在 D 内既取不到最小值又取不到最大值，故选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(t) arctan(1 2y)ddy 02d0trarctan(1r 2)dr 2 0trarctan(1r 2)dr，故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 由极限的保号性，存在 0，当 0 0 时， 0 当 (0，
8、0)时，f()0；当 (0， 0)时，f()0，则( 10，f( 0)为曲线 yf()的拐点，选C5 【正确答案】 C【试题解析】 abf(y)dy abf(y)d(y) a+b+yf(u)du， 则 f(y)dyf(u)duf(b) f(a)，选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 当 1 时，由 f()f(1) f()(1)k(1)得 f()f(1)k(1)，于是 f() 因为 f()在1，)上连续且 f(1)0，所以 f()0 在(1， )内至少有一个根 又因为 f()k0，所以 f()单调增加，于是 f()0 在(1， )内有且仅有一个根，因此选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 A
9、 *的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P( 1， 2， 3)，则故选A8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 r(A) n，所以方程组 AX0 只有零解，而由 ABO 得 B 的列向量为方程组 AX0 的解，故若 ABO，则 BO； 令 BX0，ABX0 为两个方程组，显然若 BX0，则 ABX0，反之，若 ABX0，因为 r(A)n，所以方程组 AX0 只有零解，于是 BX0，即方程组 BX0 与 ABX0 为同解方程组，故 r(AB)r(B)； 因为 r(A)n，所以 A 经过有限次初等行变换化为 ，即存在可逆矩阵 P 使得 PA ，令 B(E n O
10、)P，则 BAE； 令A ，B(1 1 1)，r(A)1，但 r(BA)0r(B)1，选 D二、填空题9 【正确答案】 e【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 f()f(y)(y)【试题解析】 2y 2z 2 yf(yt)dt 两边对 求偏导得 22z f()， 再将 2y 2z 2 yf(yt)dt 两边对 y 求偏导得 2y2z f(y)， 两式相加得f() f(y)(y)12 【正确答案】 【试题解析】 对，d 0，2a，ds 2y ，13 【正确答案】 arcsin lnC【试题解析】 由 y y 得令 u ，则，解得 arcsinulnxC ，原方程的
11、通解为 arcsin ln C14 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 的特征值为 12， 2 31，所以 A*的特征值为1 1， 2 32，A *3E 的特征值为 4，1， 1，又因为 41， 2 3， 22 3也为 A 的线性无关的特征向量，所以 41， 2 3， 22 3 也是 A*3E 的线性无关的特征向量，所以 P-1(A*3E)P 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 () 0f(t)dt2 0f3(t)dt，(0)0 ()2f() 0f(t)dtf 3()f()2 0f(t)dtf 2() 再令 h()2 0f(t)dtf 2()，h(0)0
12、，h()2f()1f() 由 f(0)0，0f()1 得 f()0(01)， 则 h()2f()1f()0(0 1)， 由 得 h()0(01) ，从而 ()0(0 1)， 再由 得 ()0(01)， 于是 (1)0，即 01()d2 01f3()d16 【正确答案】 由抛物线 ya 2bc 过点(0，0)及(1，2)得 c0，ab2 或b2a，c0 因为 a0，所以 b0，由 a2b0 得 10， 2 0 S(a) ，令 S(a)0 得 a4，从而 b6，故a4，b 6，c 017 【正确答案】 e siny.f(esiny)， e siny.f(esiny)e 2sin2y.f(e sin
13、y)，e cosy(esiny)， e sinyf(esiny)e 2r cos2yf(e cosy)， 由e 2ze 3siny 得 e2f(e siny)e 2zsiny， 或 ffe siny，于是有f()f() 显然 f()C 1e-C 2e18 【正确答案】 设 F(，y，)y( y 21)， 令 F y0， Fy2y0， F y 210， 由 D 210，得1(1 舍去) ， 代入 ，得 y ，再代入，得 于是最小面积为 S2 19 【正确答案】 lnz(y)两边关于 求偏导得 1； lnz( y)两边关于 y 求偏导得 1，代入原方程整理得020 【正确答案】 设曲线 与 y 轴
14、围成的平面区域为 D0，21 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，因为 V r3，S 4r 2，所以 S 由题设得 kS(k0)，即V 0，其中 V0 为燃烧前的体积 解得，再由条件 ，得所以，令 V0，得 t6，即完全燃尽需要 6s22 【正确答案】 令 X( 1， 2， 3)，B ( 1， 2， 3)，矩阵方程化为A(1， 2， 3)( 1， 2， 3)，即当 a1，b 2，c 2 时，矩阵方程有解， 此时方程组 A1 1的通解为 (k 为任意常数)； 方程组 A2 2 的通解为(l 为任意常数)； 方程组 A3 3 的通解为(t 为任意常数)， 于是X (其中 k，l，t 为任意常数 )23 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 12， 21， 31，A2，伴随矩阵 A*的特征值为 11， 22， 32由 A* 得 AA*A，即A2 ，即 (1，1， 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 12 的特征向量 令( 1， 2， 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 21 ， 31 的特征向量，因为 A为实对称矩阵，所以 T0，即 1 2 30，于是 21， 31 对应的线性无关的特征向量为
