1、考研数学（数学二）模拟试卷 423 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把当 0 时的无穷小量 ln(1 2)ln(1 4)， tantdt，yarctan 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， ， （C） ， （D）， 2 设 f()是( ，)上的连续奇函数，且满足 f()M ，其中常数 M0，则函数 F() 0t f(t)dt 是( ，)上的（A）有界奇函数（B）有界偶函数（C）无界偶函数（D）无界奇函数3 设 f()，g()二阶可导，又 f(0)0，g(0)0，f(0)0，g(0)0，令 F() 0f(
2、t)g(t)dt，则（A）0 是函数 F()的极小值点（B） 0 是函数 F()的极大值点（C） (0，F(0)是曲线 yF()的拐点但 0 不是 F()的极值点（D）0 不是函数 F()的极值点，(0，F(0)也不是曲线 yF()的拐点4 设函数 f()在区间( 1，1)内二次可导，已知 f(0)0，f(0)1，且 f()0 当(1，1)时成立，则（A）当 (1，0)时 f()，而当 (0，1)时 f() （B）当 (1，0)时 f() ，而当 (0，1) 时 f()（C）当 (1，0)与 (0，I) 时都有 f() （D）当 (1，0)与 (0，1)时都有 f() 5 下列函数在指定区间上
3、不存在原函数的是（A）f() 0tdt，1，2（B）（C）（D）6 设 f(，y) 有连续的偏导数且 f(，y)(yd dy)为某一函数 u(，y)的全微分，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）7 3 阶实对称矩阵 A 相似于矩阵 ， 是实数则 A2A E 是正定矩阵的充分必要条件是（A）0（B） 1（C） 12（D）18 已知向量组 1， 2， 3 和 1， 2， 3， 4 都是 4 维实向量，其中 r(1， 2， 3)2，r( 1， 2， 3， 4)1，并且每个 i 与 1， 2， 3 都正交则r(1， 2， 3， 4)（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 设曲线厂的极坐
4、标方程为 re ，则 在点( )处的法线的直角坐标方程是_10 设 f()则 f()_11 设 yf() 二阶可导，f()0，它的反函数是 (y)，又 f(0)1，f(0) ，f(0)1，则 _12 设 ysin 4，则 y(n)_ 13 设 f(，y) ，则 dr(，y)_14 已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则(A *)*的特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f()在 1 的某邻域内连续，且有4 ()求 f(1)， 及 f(1)； ()若又设 f(1) 存在，求 f(1)16 设有抛物线 C1： 2ay 和圆 C2： 2y 22y
5、()确定 a 的取值范围，使得C1，C 2 交于三点 O，M，P( 如图) ； ()求抛物线 C1 与弦 MP 所围平面图形面积S(a)的最大值； ()求上述具有最大面积的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积 V17 设 f(t)连续，区域 D，y) 1，y1，求证： f(y)ddy -22f(t)(2t)dt18 设 1ab，函数 f()ln 2，求证 f()满足不等式 ()0f()2(1) ()f()f(b) 2f (ba) 219 一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆 AB 的中垂线上，且与 AB 的距离为 a试求：()杆 AB 与质
6、点 C 的相互吸引力；()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功20 求 f(，y，z)yz 25 在区域力： 2y 2 z22 上的最大值与最小值21 ()设 f()在(0，) 可导，f() 0( (0，)，求证 f()在(0，)单调上升 ( )求证： f() 在(0，)单调上升，其中 n 为正数 ()设数列 n ，求22 已知四元齐次方程组() ，的解都满足方程式( )1 2 30 求 a 的值 求方程组()的通解23 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1 1 323 3，A 24 14 2 3
7、，A 32 13 3 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A*6E 的秩考研数学（数学二）模拟试卷 423 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 我们分别确定当 0 时，、 、 分别是 的几阶无穷小当 0时 ln(1 2)ln(1 4) 2， 因为 ln(1 2) 2，ln(1 4) 40( 2)可知 0 时， 这表明当 0 时， 是关于 的 2 阶无穷小量， 是关于 的 4 阶无穷小量，而 是关于 的 3 阶无穷小量按题目的要求，它们应排成， ， 的次序故应选 C2 【正确答案】 A【试题解析】 首先，由于被积函数 t
8、 f(t)是(，)上的偶函数，故 F()是(， )上的奇函数其次，对任何 0，有利用F()的对称性，当 0 时上面的不等式也成立从而，函数 F()还是(，)上的有界函数故应选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 先求导数 F()f()g() F(0)0 再求二阶导数 F()f()g()f()g() F(0)0 于是还要考察 F()在 0 处的三阶导数： F()f()g()2f()g()f()g () F(0)2f(0)g(0)0 因此(0，F(0)是曲线 yF() 的拐点且 0 不是 F()的极值点故应选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，曲线 yf()在原点处的切线方程为 y，而
9、曲线yf()在区间(1，1)内是凸弧由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论D 正确，故应选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B 中的函数在给定区间上均连续，因而存在原函数选项C、D 中的函数除点 0 外均连续，0 是它们的间断点不同的是，选项 C 中点 0 是函数 f()的第二类间断点，选项 D 中 0 是函数 f()的第一类间断点，指定的区间均含 0因此选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 du f(，y)ydf(，y)dy由于它们均连续 故应选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 A 的特征值为 3，2，1，A 2AE 的特征值12，6，A 2AE 是正定矩阵的
10、充分必要条件为 A2AE 的特征值全大于 0，得 08 【正确答案】 B【试题解析】 构造矩阵 A( 1， 2， 3)，则 i 都是与 1， 2， 3 正交说明 i 都是4 元方程组 AT0 解再由 r(1， 2， 3)2，得 r(AT)r(A)2，于是 AT0的解集合的秩为 2，从而 r(1， 2， 3， 4)2二、填空题9 【正确答案】 y 【试题解析】 的参数方程是 点( )的直角坐标是 在此点的切线的斜率为 法线的斜率为 1，因此 在点( )处的法线方程为 y 10 【正确答案】 【试题解析】 当 0 时，由 0 知是“1 ”型未定式，故当 0 时，应用定积分定义求极限，有11 【正确
11、答案】 【试题解析】 由反函数求导公式得再由复合函数求导法得12 【正确答案】 【试题解析】 先用三角函数恒等式将 sin4 分解再由归纳法，有13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 6，12，18【试题解析】 利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特征值 A1(2)36，于是 A*的特征值为6，3，2，A *36则(A *)*的特征值为6，12，18三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由条件知 lnf(1)13sin 20 f(1)3sin 2f(1)00 f(1)0 又在 0 的某空心邻域内 f(1) 3sin 2
12、0，现利用等价无穷小因子替换：当 0 时， ln1f(1)3sin 2 f( 1)3sin 2，()方由 f(1) f()在 1 的某邻域内可导16 【正确答案】 () 由 得 ayy 22y 解得 y0，y2a ，由0y2a 2，可得 0 a2此时 C1 与 C2 的三交点是 0(0，0)，M(，2a)，P( ，2a) ()由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积 S(a) (0a2) 要使S(a)最大，只要 f(a)a(2 a)3 最大(0a2)由于是 f(a)(2a) 33a(2a)22(2 a)2(12a) 时，f( )最大此时所求面积的最大值 S max ()由旋转体的体积计算
13、公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去二倍抛物旋转体的体积)为17 【正确答案】 先将二重积分 I f(y)ddy 化为累次积分 I 1 1d-11f(y)dy 令 y t ，则 I 1 1d1 1 f(t)dt 1 1d1 1 f(t)dt 进一步化为定积分 将 I 表示为 I f(t)ddt， 其中 Dt1t1，11 ，如图所示现交换积分次序(改为先对 后对 t 积分)，分块积分得 I -20dt-1t+1f(t)d 02dtt-11f(t)d -20f(t)(t2)dt 02f(t)(2t)dt -22f(t)(2 t)dt 18 【正确答案】 (I)求出 f()ln 22ln ，f(
14、) 0(1) ， f (3)() 0( 1)，f (3)(1)0 f ()在1，)单调下降 f() f(1) 2(1)() 用泰勒公式在0 处展开，有分别取被展开点 a ，b，得+得 由题( )，f()2(1) f( 1)f ( 2)4 f(a)f(b) (ba) 219 【正确答案】 () 假定杆 AB 与质点 C 的位置如图所示，根据对称性，引力 F是沿 y 轴负方向的由于 AB 的线密度为 Ml，于是，位于，d 上微元的质量即为 d，它与质点 C 的引力在 y 轴方向的分力为如下图所示：因此，引力的大小为其中 k 为引力常数 ()根据()中的计算，当质点 C 位于坐标 y 处时，引力的大
15、小为 ，于是所求功为20 【正确答案】 f(，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值 第一步，先求 f(，y，z)在 内的驻点 由 f(，y，z)在 内无驻点，因此f(，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步，求 f(，y，z)在 的边界 2y 2z 22 上的最大、最小值， 从边界方程 2y 2z 22 解出z22 2y 2 代入 f(，y，z)得 f(，y，z) y 2y 23 g(，y) 转化为求 g(，y)在区域D： 2y 22 的最大、最小值 先求 g(，y)在 D 内驻点，解方程组相应地 再看 D 的边界 2y 220还用拉格朗日乘子法，令 H(，y，
16、)y 2y 23( 2y 22)，解方程组 由前二个方程得 y，代入第三个方程后得 y 1 因此得驻点(，y)(1，1)，(1， 1)，又 g(1，1)3，g(1，1)7 因此 g(，y)在区域 D，也就是f(，y，z)在区域 的最大值为 7，最小值为 21 【正确答案】 () 对 0 1 2，在 1， 2上可用拉格朗日中值定理得，(1， 2) (0，) 使得 f( 2)f( 1)f()( 2 1)0 f(2)f( 1) f()在(0， ) ()令 g()lnf() ln(n1)(0)，考察g()在(0 ， ) f()e g()在(0，) ()用()的结论对 n 进行适当放大与缩小因此 n 1
17、22 【正确答案】 条件即 () 和()的联立方程组和()同解， 也就是矩阵 B和 A 的秩相等 对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由 A 变来的显然 a0 时 r(A)1，r(B)2，因此 a0因为 a0所以 r(A)3要使得 r(B)3a12得()的通解：c( 1，1，2，2) T，c 任意23 【正确答案】 记 P( 1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 是线性无关，所以 P 是可逆矩阵 AP(A 1，A 2，A 3)( 13 23 3，4 14 2 3，2 13 3) ( 1， 2， 3) 记 B ，则
18、 APPB，即 P-1APB，A 与 B 相似，特征值一样 E B ( 1)(2)(3) 得 A 的特征值为1，2，3 先求 B 的特征向量，用 P 乘之得到 A 的特征向量( 如果 B ，则P-1AP ，即 A(P)(P ) 对于特征值 1：B 的属于特征值 1 的特征向量(即(B E) 0 的非零解)为 c(1，1，1) T，c0 则 A 的属于特征值 1 的特征向量为 c(1 2 3)T，c0 对于特征值 2：B 的属于特征值 2 的特征向量(即(B 2E) 0 的非零解 )为 c(2，3，3) T，c0 则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c(213 23 3)T， c0 对于特征值 3：B 的属于特征值 3 的特征向量(即(B 3E) 0 的非零解 )为 c(1，3，4) T，c0 则 A 的属于特征值 3 的特征向量为 c(13 24 3)T，c0 由 A 的特征值为 1，2，3，A 6于是 A*的特征值为 6，3，2，A *6E 的特征值为 0，3，4 于是 A*6E ，r(A *6E) 2
