1、考研数学（数学二）模拟试卷 424 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f() ，g()在 0 连续且满足 g()12o()(0) 又 F()fg()，则 F(0)（A）4e（B） 4（C） 2（D）2e2 下列反常积分中收敛的是（A） （B） （C） （D） 3 设函数 f()在( ，)上连续，且分别在(，0)与(0，)上二次可导，其导函数 f()的图像如图 (1)所示，则 f()在( ， )有（A）一个极大值点与两个拐点（B）一个极小值点与两个拐点（C）一个极大值点，一个极小值点与两个拐点（D）一个极大值点，一个极小值点与三个拐点4 微分方程
2、y4y2cos 22 的特解可设为_ （A）AB 1cos4B 2sin4（B） AB 1cos4B 2sin4（C） B1cos2B 2sin22（D）B 1cos4B 2sin45 设 D 是由直线 0，y0， y1 在第一象限所围成的平面区域，则J _（A）e1（B） e1（C）（D）6 设函数 F(，y) 在( 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(0，y 0)F (0，y 0)0，F y(0，y 0)0，F (0，y 0)0由方程 F(，y)0 在 0 的某邻域确定的隐函数 yy()，它有连续的二阶导数，且 y(0)y 0，则（A）y()以 0 为极大值点（B） y()以 0
3、 为极小值点（C） y()在 0 不取极值（D） 0，y( 0)是曲线 yf()的拐点7 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，AX0 是 n 元齐次方程组。则 ( )正确（A）如果 1， 2， 3 都是 AX0 的解，并且线性无关，则 1， 2， 3 为 AX0的一个基础解系（B）如果 1， 2， 3 都是 AX0 的解，并且 r(A)n3，则 1， 2， 3 为AX0 的一个基础解系（C）如果 1， 2， 3 等价于 AX0 的一个基础解系则它也是 AX0 的基础解系（D）如果 r(A)n3，并且 AX0 每个解都可以用 1， 2， 3 线性表示，则1， 2， 3 为 AX0 的一个
4、基础解系8 下列矩阵中不相似于对角矩阵的是（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设曲线 的极坐标方程为 re ，则 在点 处的法线的直角坐标方程是_10 设 n 为正整数，则 0 sinnd _11 已知 是 f()当 0 的一个原函数，则 2f()d_12 设 D 是以点 A(1，1) ，B(1，1)，C(1，1)为顶点的三角形区域，则 Isin(y)4ddy _13 设 f()在0，)上连续，在(0，) 内可导，当 (0，)时 f()0 且单调上升，g(y)为 yf()的反函数，它们满足 0tf()d f(0)f(t)g(y)dyt 3(t0)，则 f()的表达式是_14 已知 A ，则
5、A-1_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f()在0 ，)内可导，且 f(1)2若 f()的反函数 g()满足g(t)dtln，求 f()16 从抛物线 y 21 上的任意一点 P(t，t 21)引抛物线 y 2 的两条切线， ()求这两条切线的切线方程； ()证明该两条切线与抛物线 y 2 所围面积为常数17 ()设 f()4 33 2 6，求 f()的极值点；( )设有 0y dt，它的反函数是 yy()，求 yy()的拐点18 计算二重积分 I sin(y) ddy，其中 D：02，y219 ()设 zz(，y) ，y0 有连续的二阶偏导数且满足 作变换 u
6、 2 ，v2 ，证明 0 ()求方程的解20 一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为 v0，穿出铁板时的速度为 v1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为 t1子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数 k0 ()求子弹在铁板内的运动速度 v 与时间 t 的函数关系 vv(t)； ()求铁板的厚度21 若函数 f()在0 ，1上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)f(1) 0，f()0，且 f()在 0，1上的最大值为 M求证： ()f()0( (0，1)； () 自然数 n，存在唯一的 n(0， 1)，使得 f(n) 22 设 1， 2， s 和 1， 2， t 都是 n
7、 维列向量组，记矩阵 A( 1， 2， s)，B( 1， 2， t) 证明：存在矩阵 C，使得 ACB 的充分必要条件是 r(1， 2， ， s； 1， 2， t)r( 1， 2， s) 设已知矩阵方程AXB 有解，求 a，b并求它的一个解23 已知 ，判断 A 与 B 是否相似?要说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 424 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 先求 g(0)由 g()在 0 连续及 g()120()(0)由复合函数求导法及变限积分求导法故应选 A2 【正确答案】 B【试题解析】 找出其中两个收敛的收敛 因此
8、选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 设 a，b ，c，d 各点如图(2)所示，由题设可得下表：(注意，表中对应于 0 处注有“拐点”是指对应的( 0，f( 0)为曲线 yf() 的一个拐点) 这表明函数 f()有一个极大值点，一个极小值点以及三个拐点，结论 D 正确4 【正确答案】 A【试题解析】 方程右端的非齐次项 f()2cos 21cos4， 相应齐次方程的特征方程是 240， 特征根 10， 24 利用解的叠加原理：相应于非齐次项f1()1，有形式为 y1*()A( 10 为单特征根)的特解，A 为待定常数；相应于非齐次项 f2()cos4，有形式为 y2*()B 1cos4B 2
9、sin4 的特解，B 1，B 2 为待定常数因此，原方程的特解可设为 AB 1cos4B 2sin4 应选 A5 【正确答案】 D【试题解析】 选用极坐标变换 D 的极坐标表示：于是因此选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 按隐函数求导法，y()满足 令 0，相应地 yy 0 由 F(0，y 0)0，F y(0，y 0)0 得 y(0) 0将上式再对 求导并注意yy()即得再令 0，相应地 yy 0，y( 0)0 得因此 0 是 yy()的极小值点故选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 缺少 nr(A) 3 的条件 选项 B 缺少 1， 2， 3 线性无关的条件 选项 C 例如
10、1， 2 是基础解系 1 2 3，则 1， 2， 3 和 1， 2 等价，但是 1， 2， 3 不是基础解系 要说明选项 D 的正确，就要证明 1， 2， 3 都是AX0 的解，并且线性无关方法如下： 设 1， 2， 3 是 AX0 的一个基础解系，则由条件， 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示，于是 3r(1， 2， 3)r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)r(1， 2， 3)3， 则r(1， 2， 3r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)r( 1， 2， 3)3， 于是 1， 2， 3 线性无关，并且和 1， 2， 3 等价，从而都是 AX0 的解8 【正确答案】 C【
11、试题解析】 选项 A 矩阵的 3 个特征值两两不同，选项 D 是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵选项 C 矩阵的秩为 1，它的特征值都为 0，其重数 33C 矩阵的秩因此 C不相似于对角矩阵选项 B 矩阵的秩也为 1，它的特征值为 0，0，6，0 的重数 23B 矩阵的秩因此相似于对角矩阵二、填空题9 【正确答案】 y 【试题解析】 的参数方程是 点 的直角坐标是 在此点的切线的斜率为法线的斜率为 1，因此 在点 处的法线方程为 y 10 【正确答案】 2【试题解析】 Isint以 为周期， +sinT dt 为常数，于是11 【正确答案】 (ln1)(ln2)C【试题解析】 由题设知 用
12、分部积分法求不定积分，得 2f()d 2f()2f()d (1ln) 1ln2(ln 1)d(ln1) 1ln(ln1) 2C (ln1)(ln2)C12 【正确答案】 8【试题解析】 D 如图所示，连 将 D 分成 DD 1D2，D 1，D 2 分别关于 ，y 轴对称， sin(y)对 ，y 均为奇函数D 的面积 .2.22 因此 I 4d4.2813 【正确答案】 f() 2(0)【试题解析】 由定积分的几何意义知： 0t)f()d由曲线 yf()，y 轴及直线t0 所围成的曲边梯形的面积， f(0)f(t)g(y)dy由曲线 g(y)，y 轴(yf(0)及直线 yf(t)所围成的曲边三角
13、形的面积 g(y) 与 yf() 互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为 t 与 f(t)，如下图所示于是 0tf()d f(0)f(t)g(y)dytf(t) 因此 tf(t)t 3，f(t)t 2(t0)， 即 f() 2(0)14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 在题设等式中令 1，由于 f(1)2，则等式自然成立现将题设等式两端对 求导，利用变上限定积分求导公式，复合函数求导公式及反函数的概念可得所求函数的导数满足的关系式，再由定解条件即可求出 f()将题设等式两端对 求导数，得 gf(ln1)
14、f(ln1). ln 1 将上式对 从 1 到 积分即得题设等式，因此上式与原等式等价 因 f()与 g()互为反函数，所以 gf(u)u，代入上式，得 (ln1)f(ln1) ln1，即 f(ln1) 令 ln1u，则有e u-1，且 f(u)e u-1，积分得 f(u)e u-1C利用已知函数值 f(1)2 可确定常数C1，故 f()e 1 116 【正确答案】 () 抛物线 y 2 在点( 0， 02)处的切线方程为 y 022 0( 0)，即 y2 0 02 若它通过点 P，则 t 212 0t 02，即 022 0tt 210， 解得 0 的两个解 1t1， 2t1 从而求得从抛物线
15、 y 21 的任意一点P(t，t 21)引抛物线 y 2 的两条切线的方程是 L1：y2 1 12；L 2：y2 2 22 () 这两条切线与抛物线 y 2 所围图形的面积为 S(t) 2(2 1 12)d 2 (22 22)d， 下证 S(t)为常数 求出 S(t)得 S(t)为常数17 【正确答案】 () 先求 f()126 66(21)(1) 由 f()6(2 1)( 1) 可知 1 为 f()的极大值点， 为 f()的极小值点 () 由变限积分求导法得 ，又由反函数求导法得，再由复合函数求导法得 在定义域中考察 yy()：得只有拐点(0，0) 18 【正确答案】 D 如图(1)所示因被
16、积函数分块表示，要分块积分以 y 为分界线将 D 分成上、下两部分，分别记为 D1 与 D2，DD 1D2，见图(2) 在 D1 中，y2；在 D2 中，0y ，于是19 【正确答案】 代入原方程得z(u)(v) 其中 (u)，(v)为任意二次连续可微函数，于是原方程的解是 z( 2 )(2 )20 【正确答案】 () 首先考察子弹在铁板内的运动速度 vv(t)满足的规律子弹在铁板内所受阻力为kv 2，于是由牛顿第二定律得 m kv 2 其中 m 为子弹的质量以入射时为起始时间，得初始条件 v(0)v 0 解这个变量可分离的微分方程得 积分得 v 由初值得 c ，于是 v 令 tt 1 得()
17、铁板的厚度 d 即子弹在铁板内所走过的距离21 【正确答案】 () 由题设条件及罗尔定理， a(0，1)，f(a) 0由 f()0( (0，1) 推出 f()在(0，1)则 f()在0，a ，在a ，1 f()f(0) 0(0a)， f()f(1) 0(a 1)， 得 f()0( (0，1) ()由题设知存在 M(0，1)使得 f(M)M0 先证 是 f()的某一中间值 因 f(M)0，由拉格朗日中值定理，存在n(0， M)使得 亦即 f(M) f( n) 这里 f()在 n， M连续，再由连续函数中间值定理得，存在n(n， M) (0，1) ，使得 f(n) 最后再证唯一性 由 f() 0(
18、0，1)推出 f()在(0，1)单调减少，则在区间(0，1)内 f() 的点是唯一的，即 n22 【正确答案】 根据向量组秩的性质， r(1， 2， s； 1， 2， t)r( 1， 2， s) 1， 2， t 可以用 1， 2， s 线性表示 如果矩阵 C 使得 ACB，记 C 的(i ，j)位元素为 cij 则 jc 1j1c 2j2c sjs，j1，2，s 从而 1， 2， t 可以用1， 2， s 线性表示 反之，如果 1， 2， ， t 可以用 1， 2， s 线性表示，设 jc 1j1c 2j2c sjs，j1，2，s 记 C 的(i，j) 位元素为 cij的 st 的矩阵，则由矩
19、阵乘法的定义，ACB 得a2，b4 此时 则矩阵 是AXB 的一个解23 【正确答案】 关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手 EA (1)( 223) (1) 2(3)， A 的特征值为 1，1，3 E B(3)( 221) (3)(1) 2 B 的特征值也是1，1，3 再看 3 它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看 r(AE) 和 r(BE)是否为 1r(AE) 1，因此 A 有属于特征值1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 r(BE) 2，因此 B没有两个属于特征值1 的线性无关的特征向量，B 不相似于对角矩阵 由相似关系的传递性，A 与 B 不相似
