1、考研数学（数学二）模拟试卷 425 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 0是 g(f()的（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点2 下列等式或不等式中正确的共有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 设函数 f() 则下列结论正确的是（A）f()有间断点（B） f()在(，) 上连续，但在( ，) 内有不可导的点（C） f()在(，) 内处处可导，但 f()在( ，)上不连续（D）f()在 (，)上连续4 设 f()，g()在点 0 处可导且 f(0)g( 0)0， f(0)g(0)0，则（A） 0 不是
2、 f()g()的驻点（B） 0 是 f()g()的驻点，但不是 f()g()的极值点（C） 0 是 f()g()的驻点，且是 f()g()的极小值点（D） 0 是 f()g()的驻点，且是 f()g()的极大值点5 设 f() a(a 为常数) ，则（A）当 a 3 或 a0 时，f() 不可能无零点（B）当 a0 时，f()不可能仅有一个零点（C）当 a3 时，f()不可能仅有一个零点（D）当3a 0 时，f()不可能仅有两个零点6 下列二元函数在点(0，0)处可微的是（A）（B）（C）（D）7 设 A ，要使得 A 正定，a 应该满足的条件是（A）a2（B） a2（C） 0a2（D）a08
3、 n 维向量组() 1， 2， ， s 和() 1， 2， t 等价的充分必要条件是（A）r()r( ) ，并且 st（B） r() r()n（C） r() r()，并且()可以用()线性表示（D）() 和 ()都线性无关，并且 st二、填空题9 设 f()arctan(1)，且 f(0)0，则 01f()d_10 已知 zz(，y)满足 ，z(，0)e ， sin, 则 z(，y)_11 函数 F() (，)的值域区间是_12 设 F() ，则 F() _13 设 f(，y)为连续函数，且 f(，y) ，其中 D：u 2v 2a2(a0) ，则 f(，y)_14 设实对称矩阵 A 要使得 A
4、 的正，负惯性指数分别为 2，1，则 a满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：te -t，y2t e -2t(t0) () 证明该参数方程确定连续函数 yy()，1，) () 证明 yy()在1，)单调上升且是凸的 () 求 yy()的渐近线16 ()求积分 f(t) 01ln d( t) ()求17 设 f() ()讨论 f()的连续性，若有间断点并指出间断点的类型； ()判断 f()在(，1是否有界，并说明理由18 设 uu(，y)在全平面有连续偏导数， ()作极坐标变换 rcos ，yrsin，求 的关系式； ()若
5、0 ( (，y)，求证：u(，y)u(0， 0)为常数19 求二重积分： ()J 2yddy，D(，y) 12，0y， 2y 22 ()J y2ddy，D(，y) 2y 2a，a 0 为常数20 设有一容器由平面 z 0，z 1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0， z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径r(z) 的圆面若以每秒 v0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的 ()写出注水过程中 t 时刻水面高度 zz(t) 与相应的水体积 VV(t) 之间的关系式，并证明水面高度 z 与时间 t 的函数关系：z3(z
6、 1) 31 ； ()求水表面上升速度最大时的水面高度； ()求灌满容器所需时间21 ()设 f()在(a，)可导且 f()A，求证：若 A0，则 f()；若 A0，则 )f() ( )设 g()在a，)连续，且 a g()d收敛，又 g()1，求证 l022 设 1(1 ， 3，5，1) T， 2(2，7， ，4) T， 3(5，17，1，7) T 若1， 2， 3 线性相关，求 a 当 a3 时，求与 1， 2， 3 都正交的非零向量4 设 a 3， 4 是与 1， 2， 3 都正交的非零向量，证明 1， 2， 3， 4 可表示任何一个 4 维向量23 已知三元二次型 TA 的平方项系数都
7、为 0，(1，2，1) T 满足 A2 求 TA 的表达式 求作正交变换 Qy，把 TA 化为标准二次型考研数学（数学二）模拟试卷 425 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 先求出 g(f()因此，应选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 这是已知导数求某数列的极限若已知 f(b)a，可求得数列极限只要其中数列 n 满足 n0 为了用条件 f(1)a。将所求极限 I 改写成求导数的形式因此 If(1).1f(1).0a 因此选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续
8、性问题 f()的定义域是( ，)，它被分成两个子区间(一，0和(0，+) 在 (一，0内 f() 2，因而它在(，0上连续，在(，0)内导函数连续，且 f (0)0；在(0，) 内 f() 2cos ，因而它在 (0，)内连续且导函数连续 注意 0f(0)，因而 f()在(，)连续可见 A 不正确又因 即 f()在 0 右导数 f+(0)存在且等于零，这表明 f(0)存在且等于零于是，f()在( ，)上处处存在可见 B 不正确 当 0 时， f()于是 f()不存在，这表明 f()在0 处间断可见 C 正确，D 不正确故选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 由于f()g() f( 0)g(0
9、)f( 0)g(0)0，因此 0 是 f()g() 由条件 f(0)g(0)0 f(0)0，g( 0)0(或 f(0)0，g( 0)0)由及极限的保号性质 0，当 (0， 0)， 0 时(0， 0)时 f()0( 0)，g()0(0) ； ( 0， 0)时 f()0(0)，g()0(0) (0， 0)， 0 时 f()g()0f( 0)g(0) 0 是 f()g()的极大值点因此选 D5 【正确答案】 A【试题解析】 为确定 f() a 的零点个数先考察 f()的单调性求出现列表格标出 f()的正负号区间，相应地得到 f()的单调性区间：所以f()在(，3)和(3 ，)内单调减少，在(3，3)
10、内单调增加 yf()在每个单调性区间上是否存在零点取决于单调性区间端点的函数值或极限值是否异号 故还要算出： f()a， f() ，f(3)3a， f()a 综上计算结果可得 当 a0 时，f() 仅有两个零点； 当 a0 时，f()只有一个零点0； 当 3a0 时， f()仅有两个零点； 当 a3 时，f() 只有一个零点 3； 当 a3 时， f()没有零点应选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)0按可微定义，若 f(0，0)0，则 f(，y)在点(0，0)处可微，且 0即无穷小量(p0) ，其中 B 选项中的 f(，y)满足：因此，选项 B 中的
11、 f(，y)在点(0，0)处可微故应选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 用顺序主子式 A 的 3 个顺序主子式为 2，4a 2，2aa 2，它们都大于 0 的条件是 0a28 【正确答案】 C【试题解析】 () 与()等价的充分必要条件是 r()r()r(，) 选项 A缺少条件 r(，)r() 选项 B 是()与() 等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数 选项 D()和()都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如 () ： 1(1，0，0，0)， 2(0 ，1，0，0)，()：1 (0，0，1，0)，设 2(0，0，0，1) ( )和()都无关，并且 st2，但是()和(
12、) 不等价 选项 C()可以用()线性表示，则 r()r(，)二、填空题9 【正确答案】 (2)【试题解析】 已知 f()arctan(1)，求，I 01f()d，我们不必先求出 f()，而是把求 I 转化为求与 f()有关的定积分，就要用分部积分法或把 f()f(0) 0f(y)dy，再积分 利用分部积分法可得10 【正确答案】 y2 ysine 【试题解析】 由z(，0)e C2()e 因此，z( ，y) y2ysine 11 【正确答案】 0， arctan2)【试题解析】 由题设知 F()是( ，)上连续的偶函数，且由F()在(，0，在0， ) 由于 F(0)0，又因此，函数 F()的
13、值域区间是 0， arctan2)12 【正确答案】 【试题解析】 F() 0f(y)dy，被积函数 f(y)是含参变量 y 的变限积分f(y)连续， F()f()，13 【正确答案】 【试题解析】 注意 f(u，v)dudv 为常数，记为 A，由于 y2 对 u、v 为常数，因此对 u，v 积分时可提出积分号外 f(，y) Ay 2 求 f(，y)归结为求常数 A等式两边在 D 积分得作极坐标变换又 y2d0(D 关于 y 轴对称，被积函数对 为奇函数)， 将它代入式A(1 ) 因此 f(，y)14 【正确答案】 a 0 或 4【试题解析】 A 的正，负惯性指数分别为 2 和 1 的充分必要
14、条件是 A0(A 的对角线元素有正数，不可能特征值都负)求出 Aa 24a， 得答案三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 因为 t1e -t0(t0)， t(0)0 te -t 在0，)单调上升，值域为(0) ， (t)1 ，) t e -t 在0，)存在反函数，记为 tt()，它在1，) 连续(单调连续函数的反函数连续)再由连续的复合函数的连续性 y2t() e-2t() y()在1，)连续 ()由参数式求导法 2(1e -t)0(t0，即 1) 于是 yy()在1，)单调上升又因此yy()在1 ， )是凸的 () t又因yy()在1 ， )连续，所以
15、yy() 只有一条渐近线 y216 【正确答案】 其中 C 是一个任意常数17 【正确答案】 () 当 0，1 时，显然 f()连续在 0 处，由f()在点 0 处不连续，且点 0 是 f()的第一类间断点 在 1 处，由f()在点1 处既左连续又右连续，于是 f()在点 1 处连续 因此 f()在(，0)，(0， )连续，0 是 f()的第一类间断点 ( )题()中已证明这个分段函数在(， 0，(0，1连续，且 f()存在，要判断 f()在(，1上的有界性，只需再考察 f()，即因 f()在(，0连续，又 f()存在 f()在( ，0有界f()在(0 ，1连续，又 f()存在 f()在(0，
16、1有界因此 f()在( ，1有界18 【正确答案】 ()u u(，y)u(rcos ，rsin) ，由复合函数求导法()由题() ， 0(r0) 又 u(rcos，rsin)对 r 在0， )上连续 u 作为 r， 的函数，当 固定时，u 作为 r 的函数在0，)为常数 (，y)，有 u(，y)u(rcos ，rsin)u(rcos，rsin) r0 u(0，0)19 【正确答案】 ()D 是圆周 2y 22(1) 2y 21)的 外部与梯形(，y) 12，0y的公共部分如图所示 在 Oy 直角坐标系中选择先 y 后 的积分顺序，D 表 示为()D 是圆域： 作极坐标变换rcos，yrsin，
17、并由 D 关于 轴对称， 轴上方部分为 D1： 0 ，0racos20 【正确答案】 () 由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积 y(t)之间的关系是 V(t) 0z(t)S(z)dz 其中 S(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)z 2(1z) 2 现由 v 0 及 z(0)0，求 z(t) 将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dzv 0dt，即z 2(1z) 2dz dt (*) 两边积分并注意z(0)0，得 z3(z1) 31 (*) ()求 z 取何值时 取最大值已求得(*)式即 因此，求 取
18、最大值时 z 的取值归结为求 f(z)z 2(1z) 2 在0，1上的最小值点由 f(z)22(1z)r(z)在 z 在0，1上取最小值故 z 时水表面上升速度最大 () 归结求容器的体积，即 V 01S(z)dz 01z2(1z) 2d， 因此灌满容器所需时间为 (秒) 或由于灌满容器所需时间也就是z1 时所对应的时间 t，于是在(*) 中令 z1 得 ， 即 t (秒)21 【正确答案】 () 联系 f()与 f()的是拉格朗日中值定理，取 0(a，)， 0 有 f()f( 0)f()( 0)(0) (*) 下面估计 f()：由 f()A，设 A0，由极限的不等式性质 a，当 X 时 f(
19、) 现取定0X，当 0 时，由于 0X ，有 f() ，于是由(*)式得 f()f( 0) ( 0)( 0) 又因 ，所以 若 A0，考察 g()f()，则 g()f()，由已证结论知 g()， 于是 ()记 f() a g(t)dt，则 f()在a ，) 内可导且 f()g()， 若l0，则 l0 或0，由题()得 f()a g(t)dt(或) ，与 a g(t)dt 收敛矛盾 因此 l022 【正确答案】 1， 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3)3得 a3 与 1， 2， 3 都正交的非零向量即齐次方程组的非零解， 解此方程组：解得 4c(19，6，0， 1)T，c0 只用证明
20、1， 2， 3， 4 线性无关，此时对任何 4 维向量 ，有 1， 2， 3， 4， 线性相关，从而 可以用1， 2， 3， 4 线性表示 由知，a3 时， 1， 2， 3 线性无关，只用证明 4不能用 1， 2， 3 线性表示 用反证法，如果 4 能用 1， 2， 3 线性表示，设4 c11c 22c 33，则 ( 4， 4)( 4，c 11c 22c 33)c 1(4， 1)c 2(4， 2)c 3(4， 3)0， 得 40，与 4 是非零向量矛盾 于是 1， 2， 3， 4 线性无关23 【正确答案】 设 A 则条件 A2 即得 2ab2，ac4，b2c2，解出ab2，c2 此二次型为
21、4124 134 23 先求 A 特征值 E A ( 2) 2(4) 于是 A 的特征值就是2，2，4 再求单位正交特征向量组 属于 2 的特征向量是(A2E)0 的非零解 得(A2E)0 的同解方程组： 1 2 30 显然 1(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为2(1 ，1，c) T 代入方程得 c2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量1， 2再把它们单位化： 记 1 1 1 1， 2 2 2 2 属于4的特征向量是(A4E)0 的非零解 求出 3(1，1，1) T 是一个解，单位化：记 3 3 3 3 则 1， 2， 3 是 A 的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，4 作正交矩阵 Q( 1， 2， 3)，则 Q-1AQ 是对角矩阵，对角线上的元素为 2，2，4 作正交变换 Qy，它把 f(1， 2， 3)化为 2y122y 224y 32
