1、考研数学（数学二）模拟试卷 426 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中正确的个数是 若 f()在 0 存在左、右导数且 f(0)f (0)，则f()在 0 处连续 若函数极限 f()A，则数列极限 f(n)A 若数列极限 A，则函数极限 f()A 若 不存在，则 f()g()不存在（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 数列极限 J （A）0（B） 1（C） （D） 3 沿 f() 在 0 处二阶导数存在，则常数 a，b 分别是（A）a1， b1（B） a1，b （C） a1，b2（D）a2， b14 设 f(0)0 ，f
2、( 0)0 ，则必定存在一个正数 ，使得（A）曲线 yf() 在( 0 ， 0) 是凹的（B）曲线 yf() 在( 0， 0) 是凸的（C）曲线 yf() 在( 0， 0单调减少，而在 0， 0)单调增加（D）曲线 yf() 在( 0 ， 0单调增加，而在 0， 0)单调减少5 以 y1e cos2，y 2e sin2 与 y3e 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（A）yy3y5y0（B） yy3y5y0（C） yy3y5y0（D）yy3y5y06 设 F(，y) 在点 (0，y 0)某邻域有连续的偏导数，F( 0，y 0)0，则 Fy(0，y 0)0 是F(，y)0 在点 (0，
3、y 0)某邻域能确定一个连续函数 yy()，它满足 y0y( 0)，并有连续的导数的_条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充分且必要（D）既不充分又不必要7 设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（A）把 A-1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B-1（B）把 A-1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B-1（C）把 A-1 第 2 行的3 倍加到第 4 行上得到 B-1（D）把 A-1 第 4 行的3 倍加到第 2 行上得到 B-18 设 4 阶矩阵 A( 1， 2， 3， 4)，已知齐次方程组 AX0 的通解为
4、c(1，2，1，0) T，c 任意则下列选项中不对的是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2 线性无关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关二、填空题9 设 F() ，则 F()的定义域是_10 _11 设 yf() 在(1 ，1)邻域有连续二阶导数，曲线 yf()在点 P(1，1)处的曲率圆方程为 2y 2 2，则 f(1)_12 设有摆线 (t) tsint，y(t)1cost(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 轴旋转一周所得旋转面的面积 S_13 已知函数 y()可微(0)且满足方程 y() 1则 y()_14 已知 A ，A *为 A 的伴随矩阵，则
5、 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 确定常数 a 与 b 的值，使得16 设 f() 1 t3tdt， ()求函数 f()的单调性区间与正、负值区间 ()求曲线 yf()与 轴所围成的封闭图形的面积17 设 f() ()求证：f()在0，)上连续，f() (0)，并求 f(1)； ()求 f()在0，)的单调性区间； () 求 f()在0，)的最大值与最小值18 已知 y1*()e e 2 ，y 2*()e e 2 ，y 3*()e e 2 e 2 是某二阶线性常系数微分方程 yPyqyf(y)的三个特解 ()求这个方程和它的通解； () 设 yy()是该方程满足 y(
6、0)0，y(0)0 的特解，求 0 y()d19 设 uf(23y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 zz( ，y)是由方程zlnz y dt1 确定并满足 z(0，0)1 的函数，求 结果用fi(o，1)，f ij(0，1) 表示(i，j1，2)20 求累次积分 I21 设 f()在a，b上有二阶导数，且 f()0 ( )证明至少存在一点 (a，b)，使 abf()df(b)(a)f(a)(b) ； ( )对()中的 (a，b)，求22 设 1， 2， 3 都是矩阵 A 的特征向量，特征值两两不同，记 1 2 3 证明 ，A，A 2 线性无关，A ，A 2，A 3 线性相关 设 1，
7、2， 3 的特征值依次为 1，1，2，记矩阵 B(，A ，A 2)，A 3，求解线性方程组BX23 设二次型 TA 124 22 322a 122b 132c 23，矩阵 B，满足 AB0 用正交变换化 TA 为标准形，写出所作变换 求(A3E) 6考研数学（数学二）模拟试卷 426 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 要逐一分析若 f()在 0 存在 f (0)与 f (0) f()在 0 右连续及左连续 f()在 0 连续，即 正确 由函数极限与数列极限的关系知，若函数极限 一串 n(n)均有 f(n)A 若但只有某串
8、n(n) ， 如f()sin， f(n)0， f(n)0，但 f()不存在，于是正确， 不正确 命题是错误的当 A0 时 f()g()可能存在例如，若取 f()0，则f()0， f()g()0，所以是错误 因此，只有 2 个正确选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 转化为函数极限后用洛必达法则3 【正确答案】 B【试题解析】 我们考虑分段函数 其中 f1()和f2()均在 0 邻域 k 阶可导，则 f()在分界点 0 有 k 阶导数的充要条件是f1()和 f2()有 0 有相同的 k 阶泰勒公式： f 1()f 2() a 0a 1( 0)a 2( 0)2a( 0)ko( 0)k)( 0)
9、把这一结论用于本题：取 00 f1()1a 2 f2()e bsin 2 1 2o( 2)b( 2o( 2) 1(b)2o( 2) 因此 f()在 0 时二阶可导 a1，b 1 即 a1，b 故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 f( 0) 0 由极限的不等式性质 0， 当 (0 ， 0)且 0 时， 0 当(0， 0)时，f()0；当 (0， 0) 时，f()0 又 f(0)在 0 连续f()在( 0 ， 0单调增加，在 0， 0）单调减少 故应选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 线性无关特解 y1e cos2，y 2e sin2 与 y3e 对应于特征根112i， 212i 与 3
10、1，由此可得特征方程是 (12i)(12i)(1)0 3 2350 由此即知以 y1e cos2，y 2e sin2 与 y3e 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 yy3y5y0 故应选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数 定理知，在题设条件下，F y(，y)0 是方程 F(，y)0在点( 0，y 0)某邻域能确定一个连续函数 yy()，满足 y0y( 0)并有连续导数的充分条件，但不是必要条件 如 F(，y) 3y，F(0 ，0)0，F y(0，0) 0 0，但 F(，y)0 确定函数 y 2(满足 y(0)0) 因此选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 BAE(2，
11、4(3)，B -1E(2，4(3) -1A-1E(2，4( 3)A -1， 因此 B-1是把 A-1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到8 【正确答案】 D【试题解析】 条件说明 12 2 30，并且 r(1， 2， 3， 4)3 显然1， 2， 3 线性相关，并且 r(1， 2， 3)2 3 可用 1， 2 线性表示，因此r(1， 2)r( 1， 2， 3)2 1， 2 线性无关选项 A 和 B 都对 r( 1， 2， 4)r( 1， 2， 3， 4)3，选项 C 对 D 错二、填空题9 【正确答案】 (1，)【试题解析】 当 1 时， 2 ln lnt 2 因此仅当 1 时原积分收
12、敛，即 F()的定义域是：(1，) 10 【正确答案】 1【试题解析】 对被积函数直接进行放大与缩小，即11 【正确答案】 2【试题解析】 曲率圆 2y 22 在(1，1)邻域确定 yy()(y(1)1) ，yf()与yy() 在 1 有相同的一阶与二阶导数现由 2y 22 22yy0，即yy0 令 1，y1 y(1)1，又 1y 2yy0 令1，y1，y1 y(1)2 因此 f(1)y(1)212 【正确答案】 a2【试题解析】 由旋转面面积公式得13 【正确答案】 y【试题解析】 这是含变限积分的方程先将原方程两边求导，转化为常微分方程得 在原方程中令 1 得 y(1)1 于是原方程与初值
13、问题等价 这是齐次方程，令 u 得 u u 2u，即 u 2 分离变量得 lnC ， 由 y(1)1 得C1，代入 u 得 y (0)14 【正确答案】 【试题解析】 A 2 于是A*A2E三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是求 型极限，先转化为求 型极限由 型极限有确定的值，确定其中的参数 a 与 b 的值关键是用到一个已知的结论：若极存在，又 g()0，则必有 f() 0现只需再求 J 用洛必达法则得求出 J 后可得 b 时，I，b 时，I 因此符合题目要求的常数a 和 b 是 即16 【正确答案】 ()f()f()在(，0，在0， ) 为求 f()的
14、正负值区间，先求出使 f()0 的 值易知 f(1) 1 1t3t dt0，f(1) 1 1t3tdt0。 再由 f()的单调性知， f()f(1)0( 1)，f()f(1)0(1) f()f(1)0( 10) ， f()f(1)(01) 因此 f()0( (，1)或 (1，) f() 0( (1，1) ()曲线 yf()与 轴所围成的封闭图形是 (，y)11，f()y0 如下图所示：该图形的面积 A 1 1f()d 1 1f()d(因为 f()在(1，1) 恒负值 ) f() 1 1 1 1f()d 2 01.3d2 025d 17 【正确答案】 () 当 0 时，f() 与初等函数 e 相
15、同，故连续又 e 001f(0)， 即 f()在 0处右连续，因此 f()在0 ，)上连续再求()考察(0，)上 f()的符号只需 考察 g() 1 2 ，由g()在(0 ， )单调上升f()在0，1单调下降，在1， )单调上升 ()由()中单调性分析知，又 f(0)1，0e 01， 因此f()f(0)118 【正确答案】 () 由线性方程解的叠加原理 y1()y 3*()y 2*()e 2 ， y2()y 3*()y 1*()e 2 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是该齐次方程的特征根是重根 2，相应的特征方程为 (2) 20，即2440 原方程为 y4y4yf() 由于 y*()
16、e 是它的特解，求导得 y *()e (1)，y * ()e (2) 代入方程得 e (2)4e (1)4e f() f()(2)e 原方程为 y4y4y(2)e ，其通解为 yC 1e2 C 2e2 e ，其中 C1，C 2 为 常数 ()C1， C2，方程的 解 y()均有 不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得19 【正确答案】 u 与 ， y 的变量依赖关系如图所示： 其中 与 ，y 的函数关系由以下方程确定： zlnz y dt1 由uf(23y，z)，有 将zlnz y dt1 分别对 ，y 求偏导数有将代入(*)式可得 ，该式再对 y 求偏导数并将 的表达式代入有以
17、0，y 0 从而 z(0， 0)1 代入即得20 【正确答案】 将累次积分表示为二重积分其中 D2： y1，y 记 DD 1D2，则 I dD 1D 1 如图所示。问题转化为求二重积分 I d 现改为先 y 后 的积分顺序可得21 【正确答案】 () 令 ()f(b)(a)f(a)(b ) abf()d(ab)， 即证 ()在(a， b) 零点因 f()在a ，b连续且 f(a)f()f(b)(a，b)且 f(a)(ba) abf()df(b)(ba) (a)f(a)(b a) abf()d0， (b)f(b)(ba) abf()d0， 故由闭区间上连续函数的性质知存在 (a，b)，使得 ()
18、0，即 abf()df(b)(a)f(a)(b) ( )先要得到 的表达式，为此先将上式改写成 abf()df(b)(a)f(a)(ba)(a)， 从而于是将 b 看作变量，对右端分式应用洛必达法则即得分子、分母同除 ba 得22 【正确答案】 设 1， 2， 3 的特征值为 a，b，c，由于它们两两不同，1， 2， 3 线性无关， 1 2 3， A a 1b 2c 3， A2a 21b 22c 23， A 3a 31b 32c 33， 则 ，A，A 2 对 1， 2， 3 的表示矩阵为 ， 其行列式为范德蒙行列式，并且(因为 a，b，c 两两不同)值不为 0，于是 r(，A，A 2)r( 1
19、， 2， 3)3，因此 ，A，A 2 无关 ，A，A 2，A 3 可以用 1， 2， 3 线性表示，因此线性相关 1 2 3，A 1 22 3，A 2 1 24 3，A 3 1 28 3， B(，A ，A 2)( 1， 2， 3) A 3( 1， 2， 3) 则 BX 具体写出就是由于 1， 2， 3 线性无关，它和 同解解此方程组得唯一解(2， 1，2) T23 【正确答案】 A 先作正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ 是对角矩阵 条件说明 B 的 3 个列向量都是 A 的特征向量，并且特征值都是 0由于 B 的秩大于 1，特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为 0，0，6(tr(A)6
20、) 求属于特征值 0 的两个单位正交特征向量： 对 B 的第 1，2 两个列向量 1(1，0，1)T， 2(2，1，0) T 作施密特正交化： 1 1 1 (1，0，1) T， 求属于特征值 6 的一个单位特征向量：属于特征值 6 的特征向量与 1， 2 都正交，即是方程组 1 30，2 1 的非零解，求出 3(1，2，1) T 是属于 6 的一个特征向量，单位化 3 3 3 (1， 2，1) T， 记 Q( 1， 2， 3)，则 Q 是正交矩阵， Q -1AQ 作正交变换 Qy，它 TA 化为标准二次型 6y32 A 的特征值为 0，0，6，则 A3E 的特征值为3，3，3，(A3E) 6 的 3 个特征值都是36 于是(A3E) 63 6E (A3E) 63 6E
