1、考研数学（数学二）模拟试卷 429 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 x0 时，下列无穷小量阶数最高的是( )（A） 。（B） 3x3 一 4x4+5x5。（C） ex2 一 cosx。（D） 01cosx dt。2 已知 f(x)的导函数图像如图 1 所示，则 f(x)在(0，+) 上( )（A）有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。（B）有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。（C）有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。（D）有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。3 曲线 y=x2arctan arctanx2 的渐近线条数为( )
2、（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。4 函数 f(x)= ，在 x=0 处( )（A）不连续但偏导数存在。（B）偏导数不存在但连续。（C）可微但偏导数不连续。（D）偏导数连续。5 累次积分 化为极坐标形式的二重积分为( )（A） 0 d0Rf(r)rdr。（B） 0arctanRdf(r)rdr。（C） 0 d0Rf(r)dr。（D） 0arctanRd0Rf(r)dr。6 设连续函数 f(x)0 且单调递增，则积分的大小关系为( )（A）I 1I 2 I3。（B） I1I 3I 2。（C） I2I 3I 1。（D）I 3I 1 I2。7 设 A 为 4 阶矩阵，A=( 1， 2， 3
3、， 4)，若 Ax=0 的基础解系为(1，2，一 3，0)T，则下列说法中错误的是( )（A） 1， 2， 3 线性相关。（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表出。（C） 1， 2， 4 线性无关。（D） 1 可由 2， 3， 4 线性表出。8 已知 =(1，一 3，2) T， =(0，1，2) T，设矩阵 A=TE，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（A）。（B） 。（C） +。（D）。二、填空题9 设 f(x)为可导的偶函数，满足 =2，则曲线 y=f(x)在点(一 1，f(一 1)处的切线方程为_。10 =_。11 已知凹曲线 y=f(x)在曲线上任意一点(x，f(x)处的曲率为
4、 K= ，且f(0)=0，f (0)=0，则 f(x)=_。12 设函数 z=z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足 =x+y，z(x ，0)=0 ，z(0 ，y)=y2，则 z(x，y)=_。13 设 f(x)= (x0)，则 f(x)的不可导点为_。14 设 A，B 均为三阶矩阵，将 A 的第一行加到第二行得到 A1，将 B 的第二列和第三列交换得到 B1，若 A1B1= ，则 AB=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限 。16 设 z= ，其中 f()具有二阶连续导数，f(0)=f (0)=0，且，求 f()。17 证明不等式 3xtanx+2sinx，x
5、(0， )。18 设 f(x)连续，且 =2，求 f(0)，f (0)。18 设 f(x)连续，且满足 f(x)=x2 0x(1e tx )f(t)dt。19 验证 f(x)满足 f(x)+f(x)一 2f(x)=1，且 f(0)=0，f (0)=1；20 求 f(x)。21 求函数 f(x，y)=x 2+4y2+xy+2 在区域 D 上的最大值与最小值，其中D=(x，y) 1。22 计算二重积分 dxdy，其中 D 是由直线 y=1，曲线y=x2(x0)以及 y 轴所围成的区域。23 已知线性方程组 有无穷多解，求 a，b 的值并求其通解。23 设二次型 xTAx=ax12+2x22 一 x
6、32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵 A 满足AB=O，其中 B= 。24 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；25 判断矩阵 A 与 B 是否合同，并说明理由。考研数学（数学二）模拟试卷 429 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选项(A) ，选项(B)，3x 3 一 4x4+5x5=3x3+o(x3)，可知 3x3 一 4x4+5x53x 3。可见，要使极限为非零常数，必有 n=4。综上所述，本题选(D) 。2 【正确答案】 C【试题解析】 驻点为导数等于 0 的点，即导函数图像与横
7、坐标的交点，共 3 个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有 2 个；拐点即为导函数的极值点，根据图像可知有 3 个点。故选择(C)。3 【正确答案】 B【试题解析】 函数唯一可能的间断点是 x=0，而=0，不存在垂直渐近线。又因为=，不存在水平渐近线。最后求斜渐近线做变量替换，令 x= =0，所以存在一条斜渐近线为 y=x，故选择(B)。4 【正确答案】 C【试题解析】 连续性： =0=f(0，0)，所以函数 f(x，y)在(0，0)点连续。偏导数： fx(0，0)=0，所以函数 f(x，y)在(0，0)处对 x 的偏导数存在。同理可验证函数 f(x，y)在(0，0) 处对 y 的偏导
8、数存在。所以函数 f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在。全微分：=0，所以函数 f(x，y)在(0，0)处可微。偏导数连续性： fx(x，y)=所以函数 fx(x，y)在(0，0)处不连续，故选择(C) 。5 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知可得 D1=(x，y)0x ，0yRx，D2=(X，y) x尺 R，0y 。所围成的区域如图 2 所示则根据 dxdy=rdrd 可得原式化为极坐标形式的二重积分为 0arctanRd0Rf(r)rdr。6 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分区间相同，比较被积函数的大小，函数 f(x)0 且单调递增，有 f(x)一 时，sinx cosx，可以
9、得到被积函数f(x)一 f( 一 x)(sinx 一 cosx)0，从而 I1I 2。I 3I 1=0 f(x)(tanx一 sinx)dx，当 x0 时，有 tanxsinx0，又因为 f(x)0，所以 f(x)(tanxsinx)0，即 I3 一 I10，可得 I3I 1I 2，故选择(D) 。7 【正确答案】 B【试题解析】 Ax=0 的基础解系为(1，2，一 3，0) T，可知 r(A)=3 且 1+22 一33=0，则 1， 2， 3 线性相关，所以(A) 正确。 因为 r(A)=3 且 1， 2， 3 线性相关，若 4 可由 1， 2， 3 线性表出，则 r(1， 2， 3， 4)
10、=r(1， 2， 3)3，所以该选项错误，答案为(B)。由于 3= ，可知 3 能由 1， 2， 4 线性表出，故 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)=3，因此 1， 2， 4 线性无关，所以(C)正确。由于 1=一 22+33，可知 1 可由 2， 3， 4 线性表出，所以(D) 正确。8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可知 r()T=1，所以 T 的特征值为 0，0， T，即0，0，1，所以 A 的特征值为一 1，一 1，0。 A 属于 0 的特征向量等于 T 属于 1的特征向量，因为 T=(T)=，所以答案为(A)。二、填空题9 【正确答案】 y=4(x+1)【试题解
11、析】 可得 f(1)=一 4，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，则 f(1)=一 f(一 1)=一 4，切线方程为 y=4(x+1)。10 【正确答案】 1【试题解析】 结合定积分的极限定义式11 【正确答案】 f(x)= x2【试题解析】 根据曲率公式 K= ，因为函数y=f(x)为凹曲线，可得 f(x)0，则有微分方程令 f(x)=p，则 ，解微分方程可得 f(x)= x2。12 【正确答案】 z(x，y)= xy2+y2【试题解析】 因为 =x+y，对 x 积分可得 x2+xy+C(y)，令 x=0 可得=C(y)，又因为 z(0，y)=y 2，对 y 求导 =2y，可以得
12、到 C(y)=2y，那么 x2+xy+2y，再对 y 积分可以得 z(x，y)= xy2+y2+C(x)，令 y=0可以得到 z(x，0)=0=C(x) ，则 z(x，y)= xy2+y2。13 【正确答案】 x=3【试题解析】 原函数可化为 f(x)=显然函数 f(x)在点 x=3 处不可导。14 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知，A 1=E12(1)A，B 1=BE23，所以 A1B1=E12(1)ABE23，从而AB=E121 (1)A1B1E231 =E12(一 1)A1B1E23=E12(一 1) E23=。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】
13、根据等价无穷小替换公式，16 【正确答案】 z=f( )，其中 f()具有二阶连续导数，即 f()一 f()=。求解该二阶微分方程可得 f()=C1e +C2e一 ，由 f(0)=f(0)=0代入上式通解，可解得 ，故 f()= 。17 【正确答案】 设 f(x)=tanx+2sinx 一 3x，x (0， )，则 f(x)=sec2x+2cosx 一3，f (x)=2sec2xtanx 一 2sinx=2sinx(sec3x 一 1)，由于当 x(0， )时 sinx0，sec 3x一 10，则 f(x)0，函数 f(x)=sec2x+2cosx 一 3，为增函数，f (0)=0，因此x(0
14、， )时，f(x)=sec 2x+2cosx 一 30，进一步得函数 f(x)为增函数，由于 f(0)=0，因此 f(x)=tanx+2sinx 一 3xf(0)=0 ，x (0， )，即不等式3xtanx+2sinx，x(0， )成立。18 【正确答案】 函数 f(x)可在 x=0 处展为一阶泰勒展开式，即 f(x)=f(0)+f(0)x+o(x2)，同时 ln(1+x)=x 一 +o(x2)，代入原极限式可得故 f(0)一 1=0，f (0)+ =2，因此 f(0)=1，f (0)= 。19 【正确答案】 将 x=0 代入原方程可得 f(0)=0，将 f(x)变形整理为 f(x)=x+2
15、0x(1一 etx )f(t)dt=x+20xf(t)dt 一 2ex 0xetf(t)dt， 则 f(x)=1+2ex 0xetf(t)dt， 将 x=0 代入上式可得 f(0)=1。 再在等式两边同时乘以 ex 可得 e xf(x)=ex+20xetf(t)dt， 求导可得exf(x)+exf(x)=ex+2exf(x)， 即 f(x)满足 f(x)+f(x)一 2f(x)=1，且 f(0)=0，f (0)=1。20 【正确答案】 由上问可知，f(x)满足 f(x)+f(x)一 2f(x)=1。齐次方程对应的特征方程为 2+一 2=0，解得 1=1， 2=一 2，故齐次方程的通解为 C1e
16、x+C2e2x ，其中C1，C 2 为任意常数。又设原方程的特解为 f*(x)=0，代入原方程解得 a= ，故f(x)=C1ex+C2e2x ，由初始条件 f(0)=0，f (0)=1 可解得 ，故 f(x)= 。21 【正确答案】 区域 D 如图 2 所示，函数 f(x，y)=x 2+4y2+xy+2 在该区域上的最值问题分为两部分讨论，即边界 上的条件极值及 D 内部的无条件极值。 L1：y= 一 1，将该条件代入 f(x，y)=x2+4y2+xy+2，可得22 【正确答案】 积分区域 D 如图 3 所示， 适合先 x后 y，则该积分分为两部分计算。23 【正确答案】 由题设可知线性方程组
17、的系数矩阵为 A= ，增广矩阵为(A，b)= ，对增广矩阵做初等行变换方程有无穷多解，则 r(A)=r(A，b)3，所以 a=2，b=一 3。下面求线性方程组的通解，将增广矩阵化为行最简形。从而原方程组可化为 齐次线性方程组所对应的基础解系为 =(一14，4，9，1) T，特解为 *=(一 4，0，3，0) T，从而通解为 x=*+k，k 为任意常数。24 【正确答案】 二次型对应的实对称矩阵为 A= ，因为 AB=O，所以得 A 的特征值为 0，6，一 6。当 =0时，求解线性方程组(OE A)x=0，解得1=(1， 0，1) T；当 =6时，求解线性方程组 (6EA)x=0，解得 2=(一 1，一 2，1)T；当 =一 6 时，求解线性方程组 (一 6EA)x=0，解得 3=(一 1，1，1) T。下将1， 2， 3 单位化则二次型在正交变换 X=Qy 的标准形为 f=6y22 一 6y32，其中 Q= 。25 【正确答案】 矩阵 A 与 B 不合同。因为 r(A)=2，r(B)=1 ，由合同的必要条件可知矩阵 A 与 B 不合同。
