1、考研数学（数学二）模拟试卷 431 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 y=f(x)有 f(x0)=1，则当 x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是x 的( )（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）同阶无穷小。（D）等价无穷小。2 设x表示不超过 x 的最大整数，则 x=0 是 f(x)= 的( )（A）跳跃间断点。（B）可去间断点。（C）无穷间断点。（D）振荡间断点。3 设 (x，y) 在点 M0(x0， y0)处取极大值，并且 均存在，则( )4 函数 y= ( )（A）有一个驻点。（B）有两个极值点。（C）有一个拐点。（D）在整
2、个定义域上凹凸性不变。5 设 z=f(x，y)= 等于( )（A）一 1。（B） cos 。（C） 1。（D）0。6 设 f(x)是( 一，+)上连续的偶函数，且f(x)m，则 F(x)=0xtet2 f(t)dt 是(，+)上的( )（A）有界偶函数。（B）无界偶函数。（C）有界奇函数。（D）无界奇函数。7 设 1， 2， ， n1 是 Rn 中线性无关的向量组， 1， 2 与 1， 2， n1 正交，则( )（A） 1， 2， n1 ， 1 必线性相关。（B） 1， 2， n1 ， 1， 2 必线性无关。（C） 1， 2 必线性相关。（D） 1， 2 必线性无关。8 设矩阵 A= ，则下列
3、矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是( )二、填空题9 曲线 y=x2( 1)的渐近线为 _。10 =_。11 设微分方程 y= ，则 (x)=_。12 设 z=z(x，y)由方程， =0 所确定，其中，是任意可微函数，则 =_。13 曲线 ，在点(1，1，一 2)处的法平面方程为_。14 设 A 是三阶矩阵，且特征值为 1=1， 2=一 1， 3=2，A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，f(0)=0，f (0)0，F(x)= 0xtf(t2 一 x2)dt，且当 x0 时，F(x) x n，求n
4、及 f(0)。16 计算二重积分 xarctanydxdy，其中积分区域 D 是由抛物线 y=x2 和圆 x2+y2=2及 x 轴在第一象限所围成的平面区域。17 设 V(t)是曲线 y= 在 x0，t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积，求常数 c 使得 V(c)= V(t)。18 求函数 f(x，y)=x 2+xy+y2 在闭区域 D=(x，y)x 2+y21上的最大值和最小值。19 设函数 f(x)连续，且满足 f(x)+0x(x 一 2 一 t)dt=6(x 一 2)ex，求 f(x)。20 求位于两圆 r=2sin 和 r=4sin 之间的均匀薄片的质心。21 设 f(x)在0
5、，1上连续，在 (0，1)上可导，且 f(1)=k0 xe1x f(x)dx，其中 k1。证明：存在 (0，1)使 f()=(1 一 )f()成立。22 已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2，它的三个解向量为 1， 2， 3，且 1+22=(2，0，5，一 1)T， 1+23=(4，3，一 1，5) T， 3+21=(1，0，一 1，2)T，求方程组的通解。23 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)，若二次型 f 的标准形为f=y12+2y22+5y32，求 a 的值及所使用的正交变换矩阵。考研数学（数学二）模拟试卷 431 答案与解
6、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =f(x)，而 f(x0)=1，所以函数在 x=x0 处的微分 dy 是 x的等价无穷小。故选(D) 。2 【正确答案】 A【试题解析】 =0。所以 x=0 是 f(x)= 的跳跃间断点。故选(A)。3 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=(x，y 0)，由已知 x=x0 是 f(x)的极大值点，故有同理，令 g(y)=(x0，y)，且y=y0 是 g(y)的极大值点，故有 故选(C)。4 【正确答案】 B【试题解析】 函数 y= 的定义域是除了 x=一 1 的全体实数，对其求导，y
7、= ，可知导函数有两个零点，即 x=1 和 x=一 3，故函数有两个驻点。函数的二阶导函数是 y= ，可知 y只有一个无定义的点 x=一 1，没有零点，且 y(1)0，y (一 3)0，故 x=1 是极小值点，x= 一 3 是极大值点，即函数有两个极值点。注意到 x=一 1 不是定义域的内点，所以 x=一 1 不是函数的拐点，故函数不存在拐点，但是 y在 x=一 1 的左、右两侧符号相反，所以 x=一 1 是函数凹凸性的分界点，即当 x一 1 时，函数是凸的，当 x一 1 时，函数是凹的。故选(B) 。5 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=0 时，z=f(0，y)= ，于是=一 1，故选(
8、A)。6 【正确答案】 A【试题解析】 首先讨论 F(x)的奇偶性：对任意的 x(一，+)，有 F(一 x)=0x tet2 f(t)dt，令 t=一 ，则 F(一 x)=0xe2 f()d= 0xe2 f()d=F(x)，故F(x)是( 一，+)上的偶函数。其次讨论 F(x)的有界性：因 F(x)是(一，+)的偶函数，可只讨论 x0 时，F(x)的有界性。由于F(x)= 0xtet2 f(t)dt 0xtet2 f(t)dtm 0 tet2 dt= 0 et2 d(t2)= ，所以 F(x)是(一，+)上的有界函数。故选(A) 。7 【正确答案】 C【试题解析】 由 n+1 个 n 维向量必
9、线性相关可知(B)选项错。 若 i(i=1，2，n一 1)是第 i 个分量为 1，其余分量全为 0 的向量， 1 是第 n 个分量为 1，其余分量全为 0 的向量， 2 是第 n 个分量为 2，其余分量全为 0 的向量，则1， 2， n1 ， 1 线性无关， 2=21，所以选项(A) 和(D)错误。 下证(C)选项正确： 因 1， 2， n 1， 1， 2 必线性相关，所以存在 n+1 个不全为零的常数k1，k 2，k n1 ，l 1，l 2，使 k 11+k22+kn1 n1 +l11+l22=0， 又因为1， 2， n1 线性无关，所以 l1，l 2 一定不全为零，否则 1， 2， n1
10、线性相关，产生矛盾。 在上式两端分别与 1， 2 作内积，有 (l11+l22， 1)=0， (1) (l11+l22， 2)=0， (2) 联立两式，l 1(1)+l2(2)可得 (l11+l22，l 11+l22)=0， 从而可得 l11+l22=0， 故 1， 2 必线性相关。故选(C)。8 【正确答案】 D【试题解析】 由EA= =( 一 3)(+3)可知，矩阵 A的特征值是 3，一 3，0，故 r(A)=2，二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1。选项(A)中的矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；选项(B)中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，与矩阵
11、 A 既不合同也不相似，但等价(因为秩相等) ；选项(C)中矩阵的特征值为 3，一 3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意；对于选项(D)，记其矩阵为 D，则有E D= =( 一 1)(+1)，可知 D 的特征值是 1，一 1，0，x TAx 与xTDx 的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似( 因为特征值不同)，故选(D) 。二、填空题9 【正确答案】 x=0 和 y=x+【试题解析】 由于曲线 y=x2( 一 1)只有间断点 x=0，于是有10 【正确答案】 【试题解析】 令 an= ，对该式两边取对数得11 【正确答案】 【试题解析】 由方程的通解 ，将其代入
12、原微分方程得 (lnCx)= 。12 【正确答案】 z 一 xy【试题解析】 方程两边分别对 x，y 求偏导得13 【正确答案】 2x 一 3y+z+3=0【试题解析】 在所给的两个曲面方程两边对 x 求导得解这个方程得。故 。曲线在(1， 1，一 2)处的切向量为(1， )，因此所求的法平面方程为(x 一 1)一(z+2)=0，即 2x 一 3y+z+3=0。14 【正确答案】 2 11【试题解析】 由 A 的特征值 1=1， 2=一 1， 3=2，可知A= i=一2，A *=A 31 =4。注意到 是六阶方阵，所以=一26(一 2)3 A*=2 11。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
13、或演算步骤。15 【正确答案】 令 =t2 一 x2，则 F(x)=0xtf(t2 一 x2)dt= 0xf(t2 一 x2)d(t2 一 x2)=f()d，由洛必达法则得 1=因为 f(0)=0，故当 n=4 时，由导数的定义有 =一 f(0)，所以 f(0)=一 4。16 【正确答案】 积分区域 D 的图形如图 1 所示： 积分区域D=(x，y) 0y1， ，则17 【正确答案】 曲线 y= ，在 x0，t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 解得 c=1。18 【正确答案】 由于所给的区域 D 是闭区域(包括边界)，故属于混合型的情况。先考虑函数 f(x，y)在区域 D 内部(x
14、，y)x 2+y21 的极值，这属于无条件极值，解线性方程组 得 x=0，y=0。在(0，0)点，有fxx=20，f xy=1，f yy=2，因此 fxxfyyf yy20，所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为 f(0，0)=0。再考虑函数 f(x，y)在区域 D 的边界(x ，y)x 2+y2=1上的极值，这是条件极值问题，作拉格朗日函数 L(x，y，t)=x 2+xy+y2 一 t(x2+y21)，求偏导得方程组 将第一式乘以 x，第二式乘以 y 然后相加，结合第三式得到 f(x，y)=t(x 2+y2)=t。由 x2+y2=1 可知，二元一次方程组有非零解，故系数行列式等于零，即
15、4t28t+3=0，解得。由于连续函数在闭区间上必可取到最大值和最小值，故 f(x，y)在边界上的最大值为 。综上所述，f(x，y)在闭区域 D 上的最大值为 ，最小值为 0。19 【正确答案】 由积分方程 f(x)+0x(x 一 2 一 t)f(t)dt=6(x 一 2)ex 可知 f(0)=一 12。 由 f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数 6(x 一 2)ex 是可导的，所以 f(x)也可导。在方程两边对 x 求导得 f (x)+0xf(t)dt 一 2f(x)=6(x 一 1)ex，且 f(0)=一 30。 同理可知 f(x)二次可导，上式两端对 x 求导得 f (x)一
16、2f(x)+f(x)=6xex。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是 22+1=0，故特征根是 1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为 F(x)=(C1+C2x)ex。因非齐次项 Q(x)=6xex，可设非齐次方程的一个特解为 f*(x)=(Ax+B)x2ex，代入 f(x)一 2f(x)+f(x)=6xex 可求得 A=1，B=0，从而原方程的解为 f(x)=(C1+C2x+x3)ex。 利用初值条件 f(0)=一 12，f (0)=一 30 可得 C1=一12，C 2=一 18，故 f(x)=(x 3 一 18x 一 12)ex。20 【正确答案】 设质心为( )，由两圆 r=2sin
17、与 r=4sin 围成的平面区域记为D，如图 2 所示：可知 D 关于 y 轴对称，故 =0，由于薄片是均匀的，所以设密度 =1，则21 【正确答案】 令 g(y)=k0yxe1x f(x)dx，则 g(0)=0，g( )=f(1)，由拉格朗日中值定理可知，存在 (0， )，使得 g()= =kf(1)，故 kf(1)=ke1 f()，即 f(1)=e1 f()。再令 (x)=xe1x f(x)，则 (0)=0，(1)=f(1)，所以 (1)=f(1)=()，由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)，使得 ()=0，即 e1 f()f()f ()=0，所以 f()=(1 一 )f()。22
18、【正确答案】 由 1+22=(2，0，5，一 1)T， 1+23=(4，3，一 1，5)T， 3+21=(1，0，一 1，2) T 可得原方程所对的齐次线性方程组的解为 3 一 1=(3，3，0，3) T， 2 一1=(2， ，3，0) T，显然以上两个向量是线性无关的，而四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2，故基础解系只含有两个向量，所以方程组的通解为x=c1(3，3，0，3) T ，其中 c1，c 2 为任意常数。23 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 A= ，特征方程为EA =( 一 2)(26+9 一 a2)=0，由标准形可知， A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=5。将 =1 代入特征方程，得 a2 一 4=0，由 a0 可知 a=2，此时 A= 。解( iEA)x=0，得到特征值 i(i=1，2，3)对应的特征向量分别为 1=(0，1，一 1)T， 2=(1，0，0)T， 3=(0，1，1) T。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将 1， 2， 3 单位化，。故所用的正交变换矩阵为 Q= 。
