[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷431及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学二)模拟试卷 431 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 若 y=f(x)有 f(x0)=1,则当 x0 时,该函数在 x=x0 处的微分 dy 是x 的( )(A)高阶无穷小。(B)低阶无穷小。(C)同阶无穷小。(D)等价无穷小。2 设x表示不超过 x 的最大整数,则 x=0 是 f(x)= 的( )(A)跳跃间断点。(B)可去间断点。(C)无穷间断点。(D)振荡间断点。3 设 (x,y) 在点 M0(x0, y0)处取极大值,并且 均存在,则( )4 函数 y= ( )(A)有一个驻点。(B)有两个极值点。(C)有一个拐点。(D)在整

2、个定义域上凹凸性不变。5 设 z=f(x,y)= 等于( )(A)一 1。(B) cos 。(C) 1。(D)0。6 设 f(x)是( 一,+)上连续的偶函数,且f(x)m,则 F(x)=0xtet2 f(t)dt 是(,+)上的( )(A)有界偶函数。(B)无界偶函数。(C)有界奇函数。(D)无界奇函数。7 设 1, 2, , n1 是 Rn 中线性无关的向量组, 1, 2 与 1, 2, n1 正交,则( )(A) 1, 2, n1 , 1 必线性相关。(B) 1, 2, n1 , 1, 2 必线性无关。(C) 1, 2 必线性相关。(D) 1, 2 必线性无关。8 设矩阵 A= ,则下列

3、矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是( )二、填空题9 曲线 y=x2( 1)的渐近线为 _。10 =_。11 设微分方程 y= ,则 (x)=_。12 设 z=z(x,y)由方程, =0 所确定,其中,是任意可微函数,则 =_。13 曲线 ,在点(1,1,一 2)处的法平面方程为_。14 设 A 是三阶矩阵,且特征值为 1=1, 2=一 1, 3=2,A *是 A 的伴随矩阵,E 是三阶单位阵,则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续,f(0)=0,f (0)0,F(x)= 0xtf(t2 一 x2)dt,且当 x0 时,F(x) x n,求n

4、及 f(0)。16 计算二重积分 xarctanydxdy,其中积分区域 D 是由抛物线 y=x2 和圆 x2+y2=2及 x 轴在第一象限所围成的平面区域。17 设 V(t)是曲线 y= 在 x0,t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积,求常数 c 使得 V(c)= V(t)。18 求函数 f(x,y)=x 2+xy+y2 在闭区域 D=(x,y)x 2+y21上的最大值和最小值。19 设函数 f(x)连续,且满足 f(x)+0x(x 一 2 一 t)dt=6(x 一 2)ex,求 f(x)。20 求位于两圆 r=2sin 和 r=4sin 之间的均匀薄片的质心。21 设 f(x)在0

5、,1上连续,在 (0,1)上可导,且 f(1)=k0 xe1x f(x)dx,其中 k1。证明:存在 (0,1)使 f()=(1 一 )f()成立。22 已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2,它的三个解向量为 1, 2, 3,且 1+22=(2,0,5,一 1)T, 1+23=(4,3,一 1,5) T, 3+21=(1,0,一 1,2)T,求方程组的通解。23 已知二次型 f(x1,x 2,x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0),若二次型 f 的标准形为f=y12+2y22+5y32,求 a 的值及所使用的正交变换矩阵。考研数学(数学二)模拟试卷 431 答案与解

6、析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =f(x),而 f(x0)=1,所以函数在 x=x0 处的微分 dy 是 x的等价无穷小。故选(D) 。2 【正确答案】 A【试题解析】 =0。所以 x=0 是 f(x)= 的跳跃间断点。故选(A)。3 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=(x,y 0),由已知 x=x0 是 f(x)的极大值点,故有同理,令 g(y)=(x0,y),且y=y0 是 g(y)的极大值点,故有 故选(C)。4 【正确答案】 B【试题解析】 函数 y= 的定义域是除了 x=一 1 的全体实数,对其求导,y

7、= ,可知导函数有两个零点,即 x=1 和 x=一 3,故函数有两个驻点。函数的二阶导函数是 y= ,可知 y只有一个无定义的点 x=一 1,没有零点,且 y(1)0,y (一 3)0,故 x=1 是极小值点,x= 一 3 是极大值点,即函数有两个极值点。注意到 x=一 1 不是定义域的内点,所以 x=一 1 不是函数的拐点,故函数不存在拐点,但是 y在 x=一 1 的左、右两侧符号相反,所以 x=一 1 是函数凹凸性的分界点,即当 x一 1 时,函数是凸的,当 x一 1 时,函数是凹的。故选(B) 。5 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=0 时,z=f(0,y)= ,于是=一 1,故选(

8、A)。6 【正确答案】 A【试题解析】 首先讨论 F(x)的奇偶性:对任意的 x(一,+),有 F(一 x)=0x tet2 f(t)dt,令 t=一 ,则 F(一 x)=0xe2 f()d= 0xe2 f()d=F(x),故F(x)是( 一,+)上的偶函数。其次讨论 F(x)的有界性:因 F(x)是(一,+)的偶函数,可只讨论 x0 时,F(x)的有界性。由于F(x)= 0xtet2 f(t)dt 0xtet2 f(t)dtm 0 tet2 dt= 0 et2 d(t2)= ,所以 F(x)是(一,+)上的有界函数。故选(A) 。7 【正确答案】 C【试题解析】 由 n+1 个 n 维向量必

9、线性相关可知(B)选项错。 若 i(i=1,2,n一 1)是第 i 个分量为 1,其余分量全为 0 的向量, 1 是第 n 个分量为 1,其余分量全为 0 的向量, 2 是第 n 个分量为 2,其余分量全为 0 的向量,则1, 2, n1 , 1 线性无关, 2=21,所以选项(A) 和(D)错误。 下证(C)选项正确: 因 1, 2, n 1, 1, 2 必线性相关,所以存在 n+1 个不全为零的常数k1,k 2,k n1 ,l 1,l 2,使 k 11+k22+kn1 n1 +l11+l22=0, 又因为1, 2, n1 线性无关,所以 l1,l 2 一定不全为零,否则 1, 2, n1

10、线性相关,产生矛盾。 在上式两端分别与 1, 2 作内积,有 (l11+l22, 1)=0, (1) (l11+l22, 2)=0, (2) 联立两式,l 1(1)+l2(2)可得 (l11+l22,l 11+l22)=0, 从而可得 l11+l22=0, 故 1, 2 必线性相关。故选(C)。8 【正确答案】 D【试题解析】 由EA= =( 一 3)(+3)可知,矩阵 A的特征值是 3,一 3,0,故 r(A)=2,二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1。选项(A)中的矩阵的秩为 1,不可能与矩阵 A 等价;选项(B)中矩阵的特征值为1,4,0,正惯性指数为 2,负惯性指数为 0,与矩阵

11、 A 既不合同也不相似,但等价(因为秩相等) ;选项(C)中矩阵的特征值为 3,一 3,0,与矩阵 A 不仅等价、合同,而且也是相似的,不符合题意;对于选项(D),记其矩阵为 D,则有E D= =( 一 1)(+1),可知 D 的特征值是 1,一 1,0,x TAx 与xTDx 的正、负惯性指数一样,所以它们合同但不相似( 因为特征值不同),故选(D) 。二、填空题9 【正确答案】 x=0 和 y=x+【试题解析】 由于曲线 y=x2( 一 1)只有间断点 x=0,于是有10 【正确答案】 【试题解析】 令 an= ,对该式两边取对数得11 【正确答案】 【试题解析】 由方程的通解 ,将其代入

12、原微分方程得 (lnCx)= 。12 【正确答案】 z 一 xy【试题解析】 方程两边分别对 x,y 求偏导得13 【正确答案】 2x 一 3y+z+3=0【试题解析】 在所给的两个曲面方程两边对 x 求导得解这个方程得。故 。曲线在(1, 1,一 2)处的切向量为(1, ),因此所求的法平面方程为(x 一 1)一(z+2)=0,即 2x 一 3y+z+3=0。14 【正确答案】 2 11【试题解析】 由 A 的特征值 1=1, 2=一 1, 3=2,可知A= i=一2,A *=A 31 =4。注意到 是六阶方阵,所以=一26(一 2)3 A*=2 11。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程

13、或演算步骤。15 【正确答案】 令 =t2 一 x2,则 F(x)=0xtf(t2 一 x2)dt= 0xf(t2 一 x2)d(t2 一 x2)=f()d,由洛必达法则得 1=因为 f(0)=0,故当 n=4 时,由导数的定义有 =一 f(0),所以 f(0)=一 4。16 【正确答案】 积分区域 D 的图形如图 1 所示: 积分区域D=(x,y) 0y1, ,则17 【正确答案】 曲线 y= ,在 x0,t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 解得 c=1。18 【正确答案】 由于所给的区域 D 是闭区域(包括边界),故属于混合型的情况。先考虑函数 f(x,y)在区域 D 内部(x

14、,y)x 2+y21 的极值,这属于无条件极值,解线性方程组 得 x=0,y=0。在(0,0)点,有fxx=20,f xy=1,f yy=2,因此 fxxfyyf yy20,所以(0,0)点是函数的极小值点,极小值为 f(0,0)=0。再考虑函数 f(x,y)在区域 D 的边界(x ,y)x 2+y2=1上的极值,这是条件极值问题,作拉格朗日函数 L(x,y,t)=x 2+xy+y2 一 t(x2+y21),求偏导得方程组 将第一式乘以 x,第二式乘以 y 然后相加,结合第三式得到 f(x,y)=t(x 2+y2)=t。由 x2+y2=1 可知,二元一次方程组有非零解,故系数行列式等于零,即

15、4t28t+3=0,解得。由于连续函数在闭区间上必可取到最大值和最小值,故 f(x,y)在边界上的最大值为 。综上所述,f(x,y)在闭区域 D 上的最大值为 ,最小值为 0。19 【正确答案】 由积分方程 f(x)+0x(x 一 2 一 t)f(t)dt=6(x 一 2)ex 可知 f(0)=一 12。 由 f(x)连续知上式中变上限积分可导,而初等函数 6(x 一 2)ex 是可导的,所以 f(x)也可导。在方程两边对 x 求导得 f (x)+0xf(t)dt 一 2f(x)=6(x 一 1)ex,且 f(0)=一 30。 同理可知 f(x)二次可导,上式两端对 x 求导得 f (x)一

16、2f(x)+f(x)=6xex。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是 22+1=0,故特征根是 1(二重),于是对应的齐次方程的通解为 F(x)=(C1+C2x)ex。因非齐次项 Q(x)=6xex,可设非齐次方程的一个特解为 f*(x)=(Ax+B)x2ex,代入 f(x)一 2f(x)+f(x)=6xex 可求得 A=1,B=0,从而原方程的解为 f(x)=(C1+C2x+x3)ex。 利用初值条件 f(0)=一 12,f (0)=一 30 可得 C1=一12,C 2=一 18,故 f(x)=(x 3 一 18x 一 12)ex。20 【正确答案】 设质心为( ),由两圆 r=2sin

17、与 r=4sin 围成的平面区域记为D,如图 2 所示:可知 D 关于 y 轴对称,故 =0,由于薄片是均匀的,所以设密度 =1,则21 【正确答案】 令 g(y)=k0yxe1x f(x)dx,则 g(0)=0,g( )=f(1),由拉格朗日中值定理可知,存在 (0, ),使得 g()= =kf(1),故 kf(1)=ke1 f(),即 f(1)=e1 f()。再令 (x)=xe1x f(x),则 (0)=0,(1)=f(1),所以 (1)=f(1)=(),由罗尔定理可知,存在 (,1) (0,1),使得 ()=0,即 e1 f()f()f ()=0,所以 f()=(1 一 )f()。22

18、【正确答案】 由 1+22=(2,0,5,一 1)T, 1+23=(4,3,一 1,5)T, 3+21=(1,0,一 1,2) T 可得原方程所对的齐次线性方程组的解为 3 一 1=(3,3,0,3) T, 2 一1=(2, ,3,0) T,显然以上两个向量是线性无关的,而四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2,故基础解系只含有两个向量,所以方程组的通解为x=c1(3,3,0,3) T ,其中 c1,c 2 为任意常数。23 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 A= ,特征方程为EA =( 一 2)(26+9 一 a2)=0,由标准形可知, A 的特征值为 1=1, 2=2, 3=5。将 =1 代入特征方程,得 a2 一 4=0,由 a0 可知 a=2,此时 A= 。解( iEA)x=0,得到特征值 i(i=1,2,3)对应的特征向量分别为 1=(0,1,一 1)T, 2=(1,0,0)T, 3=(0,1,1) T。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交,故只需将 1, 2, 3 单位化,。故所用的正交变换矩阵为 Q= 。

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