1、考研数学（数学二）模拟试卷 433 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 y= 的渐近线的条数为( ) （A）2（B） 3（C） 4（D）53 设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，(x)= 0x(2ux)f(xu)du，则 (x)是( )（A）单调增加的奇函数（B）单调减少的奇函数（C）单调增加的偶函数（D）单调减少的偶函数4 设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（A）若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必至少有两
2、个零点（B）若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点（C）若 f(x)没有零点，则 f(x)至少有一个零点（D）若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点5 设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 =4，则( )（A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） fx(0， 0)=fy(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0) 处可微分6 设函数 y=f(x)的增量函数y=f(x+ x)f(x)= +v(x)，且 f(0)=，则 f(1) 为(
3、)（A）（B） e（C）（D）e 7 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论正确的是 ( )（A）A 的任意 m 阶子式都不等于零（B） A 的任意 m 个列向量线性无关（C）方程组 AX=b 一定有无数个解（D）矩阵 A 经过初等行变换化为(E m O)8 设 ， 为四维非零的正交向量，且 A=T则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 若当 x0 时，(1+2x) x cosxax 2，则 a=_10 设 y=f(x)与 y=sin2x 在 (0，0)处切线相同，其中 f(x)可导，则= _.11 04x2 dx=_12 由方
4、程 x+2y+z2 =0 所确定的函数 z=z(x， y)在点(1，1，2)处的全微分dz=_.13 设函数 y=y(x)在(0 ，+)上满足 y=( +xsinx)x+o(x)，且 ，则 y(x)=_14 设矩阵 A= 不可对角化，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 g(x)= ()确定 a 的取值，使得g(x)为连续函数； ()求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性16 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(0ab )证明：存在 ， (a，b)，使得 17 设 f(x)连续且 f(0)=0，f(0)=2
5、，求极限18 计算积分 x2y2dxdy，其中 D 是由直线 y=2，y=0，x=2 及曲线 x=所围成的区域19 过点 P(0， )作抛物线 y= 的切线，该切线与抛物线及 x 轴围成的平面区域为 D，求该区域分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的体积20 求 z=x22y 2+2x+4 在区域 x2+4y24 上的最小值和最大值21 设曲线 y=y(x)过(0 ，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 x 轴上，已知 MP 的中点在抛物线 2y2=x 上，求此曲线的方程21 设 A 是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 P= ，使得 P1 AP=，又 = 且 A*=22 求常数 a，
6、 b 的值及 23 求 A *+3E24 设 A 为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵 Q= ，使得QTAQ= ，又令 B=A2+2E，求矩阵 B考研数学（数学二）模拟试卷 433 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在x=0 处可导，所以 k2=3，即 k=5，选(C)2 【正确答案】 C【试题解析】 由 为两条水平渐近线；由得 x=1 与 x=0 为铅直渐近线；由得曲线没有斜渐近线，故曲线共有 4 条渐近线，选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 因为所以 (x)为奇函数；又 (x)= 0xf(t)dtxf(
7、x)，当 x0 时，(x)= 0xf(t)dtxf(x)=xf() f(x)0(0x)，当 x0 时，(x)= 0xf(t)dtxf(x)=x f() f(x) 0(x0) ，所以 (x)为单调减少的奇函数，选(B) 4 【正确答案】 D【试题解析】 若 f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f(x) 至少有一个零点，故若 f(x)没有零点，则 f(x)至多一个零点，选(D)5 【正确答案】 D【试题解析】 由 =4 得 f(0，0）=0，因为 1x 2+y2，所以=4，从而 =4+，其中 为当(x，y)(0，0)时的无穷小，于是f=f(x ，y) f(0，0)=0x+0y+o( )，故 f(
8、x，y)在(0，0)处可微，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0，选(D)6 【正确答案】 C【试题解析】 由y= +o(x)得 y=f(x)为可导函数，且 y= 或者 yy=0，则 y=f(x)= ，因为 f(0)=，所以 C=，于是 f(x)=earctanx，故 f(1)= ，选(C) 7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 都是 m 行，所以 r(A)=r( )=m8 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX=X，则 A2X=2X，因为 ， 正交，所以T=T=0，A 2=T.T=O，于是 2X=0，故 1=2=3=4=0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A
9、)1；又 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 因为4r(0EA)=4 r(A)=3 ，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时，(1+2x) x1=e xln(1+2x)1xln(1+2x) 2x 2，所以(1+2x)xcosx=(1+2x) x1+1cosx2x 2+ ，于是 a= 10 【正确答案】 【试题解析】 由 y=f(x)与 y=sin2x 在(0，0)处切线相同得 f(0)=0，f(0)=2得11 【正确答案】 10【试题解析】 12 【正确答案】 dx2dy【试题解析】 x+2y+z2 =0 两边
10、对 x 求偏导得 1+ =013 【正确答案】 x(1cosx)【试题解析】 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得14 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 由EA= =(a)(4)=0 ，得1=0， 2=a， 3=4因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0或 a=4当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 合题意；当 a=4 时，4EA= ,由r(4EA)=2 得 2=3=4 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化，a
11、=4 合题意三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I) =f(0)，当 a=f(0)时，g(x)在x=0 处连续所以 g(x)在 x=0 处连续16 【正确答案】 令 g(x)=cosx， g(x)=sinx0(axb)，17 【正确答案】 由 0xf(x t)dt 0xf(xt)d(xt)= x0f(u)du=0xf(u)du，18 【正确答案】 令 D1= (x，y)2x0 ，0y2 ，D2=(x，y) x0，0y2)，19 【正确答案】 设切点为(a, )，20 【正确答案】 当 x2+4y24 时，21 【正确答案】 设 M(x,y)，则法线方程为 Y
12、y= (Xx)令 Y=0 得X=yy+x，于是 P 点坐标为(yy+x，0)MP 的中点坐标为( )，它位于给定的抛物线上于是有方程 y2=yy+2x，即 2y 2=4x 所以y2e2x =2xe2x +e2x +C由 y(0)=0 得 C=1，所求曲线方程为 y2=1+2xe 2x22 【正确答案】 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=1，显然 A1=1 ，A 2=22，A 3= 3，即1， 2， 3 为分别属于 1=1， 2=2， 3=1 的特征向量，因为 A 是实对称矩阵，所以 解得 a=0，b=2A *的特征值为 由3= 得 是矩阵 A 的属于特征值 31 的特征向量，从而 是 A
13、*的属于特征值 2 的特征向量，即 =223 【正确答案】 A *+3E 的特征值为 1，2，5，则A *+3E=10 24 【正确答案】 由 QTAQ= 得 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=1，且1=2 对应的特征向量为 1= 由 AT=A 得 BT=(A2+2E)T=(A2)T+2E=A2+2E=B，即B 为实对称矩阵显然 B 的特征值为 1=6， 2=3=3，且 B 相应于特征值 1=6 的特征向量为 1= 设 B 的相应于 2=3=3 的特征向量为 = ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以 1T=0，即 x1+x2+x3=0，于是 B 的相应于特征值 2=3=3 的线性无关的
