1、考研数学（数学二）模拟试卷 434 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B） f(0)=ln23+1（C） f(0)= (ln3+1)（D）f(0)= (ln23+1)2 当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（A）（B） tanxx（C） (1+tanx)ln(1+2x)1（D）3 对函数 f(x)= (4t)ln(1+t)dt( )（A）仅有极大值（B）仅有极小值（C）既有极大值又有极小值（D）没有极值4 微分方程 y“4y=x 2+cos2x 的特解形式为( )（
2、A）(ax 2+bx+c)+(A cos2x+B sin2x)（B） (ax2+bx+c)+x(A cosx+B sin2x)（C） (ax3+bx2+cx)+(A cos2x+B sin2x)（D）(ax 3+bx2+cx)+x(A cos2x+B sin2x)5 设平面图形 A 由 x2+y22x 及 yx 所确定，则 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积公式为( ) 6 设 f(x)连续，且满足 f(x)+20xf(t)dt=x2+ ，则关于 f(x)的极值问题有( )（A）存在极小值（B）存在极大值（C）存在极小值（D）存在极小值7 已知四维列向量 1， 2， 3 线性无关，若
3、向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3 均正交，则向量组 1， 2， 3， 4 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题9 =_10 设 y=f(x)与 y=sin2x 在 (0，0)处切线相同，其中 f(x)可导，则11 =_12 由方程 x+2y+z =0 所确定的函数 z=z(x，y) 在点(1，1，2)处的全微分dz=_13 设函数 y=y(x)在(0 ，+)上满足 y=( +xsinx)x+o(x)，且 ，则y(x)=_
4、14 设矩阵 A= 不可对角化，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限16 设方程 ，求常数a 的值17 求曲线 y=x 2+1 上一点 P(x0，y 0)(其中 x00)，使过 P 点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小18 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0， a)内二阶可导且 f“(x)0证明：19 计算二重积分 ，其中积分区域 D=(x，y)0x 2yx120 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex+ey=ez 确定，其中 f 二阶连续
5、可偏导，求21 求微分方程 y“+y2y=xe x+sin2x 的通解22 设 ，讨论当 a，b 取何值时，方程组 AX=b易无解、有唯一解、有无数个解；有无数个解时求通解23 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ= ，又= 且 A*=( )求正交矩阵 Q；()求矩阵 A考研数学（数学二）模拟试卷 434 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为f(x)在 x=0 处连续，所以 a=1+ln3，于是 f(x)=所以 f(x)在 x=0处可导，且 f(0)= (ln23+1)，选(D)2 【正确答案】
6、A【试题解析】 由(1+tanx) ln(1+2x)1=e ln(1+2x)ln(1+tanx)1ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得(1+tanx) ln(1+2x)1 为 2 阶无穷小；3 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=2x(4x 2)ln(1+x2)=0，得 x1=2，x 2=0，x 3=2 当 x2时，f(x)0；当 x(2，0)时，f(x)0；当 x(0，2)时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，则 x1=2，x 2=2 为 f(x)的极大值点，x 2=0 为 f(x)的极小值点，选(C)4 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 24=0，特征值为
7、1=0， 2=4， 方程 y“4y=x 2 的特解为 y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx； 方程 y“4y=cos2x 的特解为Acos2x+Bsin2x选(C)5 【正确答案】 B【试题解析】 取x，x+dx 0，1，则 dV=2(2 x)( x)dx，所求的体积为 若取y，y+dy 0，1，则所求的体积为选(B)6 【正确答案】 A【试题解析】 等式两边求导，得 f(x)+2f(x)=2x，其通解为 f(x)=Ce2x +(x )因为 f(0)= ，所以 C=1，从而 f(x)=e2x +(x )令 f(x)=2e 2x +1=0，得唯一驻点为 x= 因为 f“(x)=4e
8、2x 0，故 x= 是极小值点，极小值为7 【正确答案】 A【试题解析】 设 i=(ai1， ai2，a i3，a i4)T(i=1，2，3)，由已知条件有 iTj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)，由于1， 2， 3 线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组 1， 2， 3， 4 的秩为 1，选(A)8 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1， 因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n1， 又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B
9、为非零矩阵得 r(B)1，故 r(B)=1，选 (B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 由 y=f(x)与 y=sin2x 在(0，0)处切线相同得 f(0)=0，f(0)=211 【正确答案】 10【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 x+2y+z =0 两边对 x 求偏导得x+2y+z =0 两边对 y 求偏导得13 【正确答案】 x(1cosx)【试题解析】 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且 y= +xsinx 或y =xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得14 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 得1
10、=0， 2=a， 3=4因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0或 a=4当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 符合题意；由 r(4EA)=2 得 2=3=4只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化， a=4 符合题意三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 切线方程为 y=2x 0x+x02+1，令 y=0，得切线与 x 轴的交点为令 x=0，得切线与 y 轴的交点为 B(0，1+x 02)1)当 x00 时，因为
11、 0，所以所围成图形面积为2)当 x00 时，因为 0，所以所围成的面积为18 【正确答案】 令 (x)=0xtf(t)dt 0xf(t)dt，(0)=0因为f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f()f(x)，于是 “(x)0(0xa) 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 特征方程为 2+2=0 ，特征值为 1=2， 2=1，y“+y2y=0 的通解为 y=C1e2x +C2ex设 y“+y2y=xe x (*) y“+y2y=sin 2x (*)令(*)的特解为y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得 由 y“+y2y=sin 2x 得y“+y2y= (1
12、cos2x)，22 【正确答案】 情形一：a0 当 a0 且 ab+10 时，方程组有唯一解；当 a0 且 ab+1=0 时，方程组有无数个解， 情形二：a=0 当 b1时，方程组无解；当 b=1 时，方程组有无数个解，23 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2= 1， 3=2，A *的特征值为1=2=2， 3=1因为 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3=2 的特征向量，令 = 3令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为= ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以x 1x 2+x3=0，则 A 的属于特征值 1=2=1 的线性无关的特征向量为
