1、考研数学（数学二）模拟试卷 435 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f“(x)在 x=0 处连续，且 =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点2 设 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )（A）a=1 ，b=1，c=3（B） a=0，b=1，c=3（C） a=1，b=1，c=3（D）a=1 ，b=1，c=33 设 z=xy+ ，其中
2、 F 为可微函数，则 为( )（A）zxy（B） z+xy（C） z2xy（D）z+2xy4 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足=z，若 f(x，y)在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（A）最大值和最小值只能在边界上取到（B）最大值和最小值只能在区域内部取到（C）有最小值无最大值（D）有最大值无最小值5 曲线 y=x2 与 y= 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( )6 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex ，则该微分方程为( )（A）yy“y+y=0（B）
3、y+y“yy=0（C） y+2y“y2y=0（D）y2y“y+2y=07 设四阶矩阵 A=(1， 2， 3， 4)，其中 1， 2， 3 线性无关，而 4=21 2+3，则 r(A*)为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）38 设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，3，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P=(21+2， 1 2，2 3)，则 P1 A*P=( ) 二、填空题9 过曲线 y= (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 ，所围区域绕 x 轴旋转一周而成的体积为_10 f(x)=x4ln(1x)，当 n4 时，f (n)(0)=_1
4、1 已知函数 z=u(x，y)e ax+by，且 =0，若 z=z(x，y)满足方程+z=0，则 a=_，b=_12 =_13 =_14 设 则B*A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算极限16 设 u=f(x+y，xy，z)由 z=x+zy+zp(t)dt 确定 z 为 x，y 的函数，又 f 连续可偏导，p 可导，且 p(y+z)p(x+z)10，求17 设 f(x)在0，2上二阶可导，且 f“(x)0，f(0)=1，f(2)=1，f(0)=f(2)=1证明：202f(x)dx318 设抛物线 y=x2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中
5、一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0) ( )求 S=S(a)的表达式； ()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?19 计算 ，其中 D=(x，y) x 2+y21，x0，y020 设曲线 y=y(x)位于第一象限且在原点处与 x 轴相切，P(x ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l1，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l2，又满足 x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线 y=y(x)21 设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+yy=(46x)e x 的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴 ()求曲线 y=
6、y(x)的表达式； ( )求曲线y=y(x)到 x 轴的最大距离； ()计算积分 0+y(x)dx22 设非齐次线性方程组 有三个线性无关解1， 2， 3() 证明系数矩阵的秩 r(A)=2；()求常数 a，b 的值及通解23 ()设 A， B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似( )设 ，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B考研数学（数学二）模拟试卷 435 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 =1 得 f“(0)=0，由极限保号性可知，存在 10，当x 时， 0当 x(，0)时，因为
7、 ln(1+x)0，所以 f“(x)0；当 x(0，)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0，于是(0，f(0) 为 y=f(x)的拐点，选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 y=3x 2+6ax+3b，y“=6x+6a，则有 解得a=0，b=1，c=3，选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 由 得=xy+xFyF+xy+yF=2xy+xF=2xy+zxy=z+xy ，选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到
8、，即 f(x0，y 0)=M0，此时 ，这与 =z0 矛盾，即 f(x，y)在D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值优不可能在 D内取到，选(A) 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为 1=2=1， 3=1，其对应的特征方程为 ( 1) 2(+1)=0，即 3 2+1=0 ， 则微分方程为 yy“y+y=0，选(A)7 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 3 线性无关， 4=21 2+3 得向
9、量组的秩为 3，于是r(A)=3，故 r(A*)=1，选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 A=3，A *的特征值为3，3， 1，显然 1， 2， 3 也为 A*的线性无关的特征向量，且 21+2， 1 2，2 3 为 A*的线性无关的特征向量，故应选(C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设切点为 A(a， )，切线方程为切线与 x 轴的交点为(2a， 0)，所求的面积为所求体积为10 【正确答案】 【试题解析】 设 f(x)=f(0)+f(0)x+ +，再由麦克劳林公式的唯一性得11 【正确答案】 a=1，b=1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】
10、 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(2)E13，所以B= A. E 12(2).E 13=3，又因为 B*=B B 1 ，所以 B*=3E 131 E121 (2)A1 =3E 13E12(2)A 1 ，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0 时， ，则 16 【正确答案】 将 u=f(x+y，xy，z)及 z=x+zy+zp(t)dt 两边对 x 求偏导得17 【正确答案】 首先 f“(x)0，所以 f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而 f(0)=f(2)=1 为最小值，故 f(x)1(x0，2)，从而 02f
11、(x)dx2因为 f“(x)0，所以有 所以 02f(x)dx=01f(x)dx+12f(x)dx01(1+x)dx+12(3x)dx=3 18 【正确答案】 () 设另一个切点为(x 0，x 02)，则抛物线 y=x2 的两条切线分别为L1：y=2ax a2，L 2：y=2x 0xx 02因为 L1L2，所以 x0= ，两条切线 L1，L 2 的交点为 x1= ，y 1=ax0，L 1，L 2 及抛物线 y=x2 所围成的面积为19 【正确答案】 20 【正确答案】 由已知条件得 y(0)=0，y(0)=0 ， P(x，y)处的切线为 Yy=y(X x) ，令 X=0，则 Y=yxy，A 的
12、坐标为(0，yxy)，两边对 x求导整理得 1+y2=2(x+1)yy“ 积分得 ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即 1+p2=C1(x+1)，再由 y(0)=0 得 C2=0，故所求的曲线为21 【正确答案】 () 微分方程的特征方程为 2 2+1=0，特征值为1=1， 2= ，则微分方程 2y“+yy=0 的通解为 令非齐次线性微分方程 2y“+yy=(4 6x)e x 的特解为 y0(x)=x(ax+b)ex ，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解为 y0(x)=x2ex ，原方程的通解为由初始条件 y(0)=y(0)=0 得 C1=C2=0，故 y=x2ex ()曲线
13、 y=x2ex 到 x 轴的距离为 d=x2ex ，令 d=2xex x 2ex =x(2x)e x =0，得x=2当 x(0，2)时，d0；当 x2 时，d0，则 x=2 为 d=x2ex 的最大值点，最大距离为 d(2)= () 0+y(x)dx=0+x2ex dx=222 【正确答案】 () 令 r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以 r(A)2 1 2， 1 3 为对应的齐次线性方程组的两个解 令 k1(1 2)+k2(1 3)=0，即 (k1+k2)1k 12k 23=0 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 k1=k2=0，即1 2， 1 3 线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即 4r2 或 r2，故 r(A)=223 【正确答案】 () 设 A，B 的特征值为 1， 2， n，因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得于是P11 AP1=P21 BP2，或(P 1P21 )1 A(P1P21 )=B，令 P=P1P21 ，则 P1 AP=B，即矩阵A，B 相似A 的属于 1=1 的线性无关特征向量为A 的属于特征值 2=3=1 的线性无关的特征向量为
