1、考研数学（数学二）模拟试卷 441 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)= 的可去间断点个数为 ( )（A）0（B） 1 （C） 2（D）32 设 f(x)满足： =0，xf“(x) x 2f2(x)=1e 2x 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小值点（B） x=0 为 f(x)的极大值点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点3 设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=3，D=(x，y)x 2+y2t2，t 0，且at b(t0 +)，则( )（A）a=1
2、 ，b=3（B） a=，b=3（C） a=1，b=2（D）a=，b=24 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但不可偏导（C）可偏导但不可微（D）可微分5 考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的下面四条性质： 连续 可微 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在 f x(x，y)与 fy(x， y)连续 若用“P=Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（A）=（B） =（C） =（D）=6 设 y=y(x)是微分方程 y“+(x1)y+x 2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则为( ) （A）0（B
3、） 1（C） 2（D）37 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A2B 2，则 AB（B）矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等（C）若 A，B 的特征值相同，则 AB（D）若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化8 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零（B）设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值（C）设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零（D）设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同二、填
4、空题9 极限 =_10 设 f(x)=exsin2x，则 f(4)(0)=_11 =_12 y=y(x)由 确定，则 =_13 若 f(x)=2nx(1x) n，记 Mn= ，则 =_14 设 A= ，且 ABAT=E+2BAT，则 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，0f(x) 1，证明： 01f(x)dx2 01f3(x)dx16 设抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1 ，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小17 设 f(u)二阶连续可导，z=f(e xsiny)，且 =
5、e2xz+e3xsiny，求 f(x)18 设 L： +y2=1(x0，y0)，过 L 上一点作切线，求切线与曲线所围成面积的最小值19 已知微分方程 =(yx)z ，作变换 u=x2+y2，v= ，w=lnz(x+y) ，其中 w=w(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于 w，u，v 的微分方程的形式20 计算二重积分 ，其中区域 D 是由直线 x=2，y=0，y=2 及曲线 x=所围成的平面区域21 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中
6、始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多长时间 ?22 设 ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解，有解时求出全部解23 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在三阶正交矩阵 Q= ，使得二次型XTAX y 12+2y22+by32(b0) ，且A *=16()求常数 a，b；()求矩阵 A考研数学（数学二）模拟试卷 441 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为f(00)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点；因为 f(20)=0 ，f(2+0)=，所以 x=2为第
7、二类间断点；故 f(x)有两个可去间断点，应选(C) 2 【正确答案】 A【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0当 x0 时，由 xf“(x)x 2f2(x)=1 e2x 得 f“(x)=xf2(x)+ 再由 f(x)二阶连续可导得故 x=0 为 f(x)的极小值点，选(A)3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 当(x，y)(0，0)时，0f(x ，y)= x，由迫敛定理得 =0=f(0，0)，从而 f(x，y) 在(0，0)处连续，(A)不对；5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x， y)在(x 0，y 0)
8、处可微，若 f(x，y)在(x 0， y0)处可微，则 f(x，y)在(x 0，y 0)处连续，选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y(0)=0，y(0)=1，所以由 y“+(x1)y+x 2y=ex 得 y“(0)=2，7 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1， 2， n，且存在可逆矩阵 P1，使得 P11 AP1=B，即 A=P1BP11 ；因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P2，使得 P21 AP2=8 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= ，显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，(A)不对；设 A= ，显然 A
9、为非零矩阵，但 A 的特征值都是零，(B)不对；两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；选(C) 事实上，令AX=X，由 A2=2A 得 A 的特征值为 0 或 2，因为 A 是对称矩阵，所以 A 一定可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值中有 r 个 2，其余全部为零二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 -24【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 2(e 2 e1 )【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 令 f(x)=2n(1x) n2n 2x(1x) n1 =0，得 x= ，由 f(0)=f(1
10、)=0，14 【正确答案】 【试题解析】 由 ABAT=E+2BAT，得 ABAT=(AT)1 AT+2BAT，因为 AT 可逆，所以 AB=(AT)1 +2B 或 B=(A2E) 1 (AT)1 =AT(A2E) 1 ，解得 B=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 (x)=0xf(t)dt2 0xf3(t)dt，(0)=0，(x)=2f(x) 0xf(t)dtf 3(x)=f(x)20xf(t)dtf 2(x)再令 h(x)=20xf(t)dtf 2(x)，h(0)=0，h(x)=2f(x)1f(x)由f(0)=0，0f(x)1 得 f(x)0(0x1)
11、，则 h(x)=2f(x)1f(x)0(0x1)，于是 (1)0，即 01f(x)dx2 01f3(x)dx16 【正确答案】 由抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 c=0，a+b=2 或b=2a，c=0因为 a0，所以 b0，由 ax2+bx=0 得 x1=0，x 2= 0令 S(a)=0 得 a=4，从而 b=6，故a=4，b=6，C=0 17 【正确答案】 由=e2xz+e3xsiny 得 e2xf“(exsiny)=e2xz+e3xsiny，或 f“f=e xsiny，于是有 f“(x)f(x)=x显然 f(x)=C1e x+C2exx18 【正确答案】 首先求
12、切线与坐标轴围成的面积设 M(x，y) L，过点 M 的 L的切线方程 +yY=1令 Y=0，得 x= ，切线与 X 轴的交点为 P( ，0) ；令X=0，得 Y= ，切线与 y 轴交点为 Q(0， )，切线与椭圆围成的图形面积为S(x，y)= 其次求最优解设 F(x，y，)=xy+( +y21)，19 【正确答案】 w=lnz(x+y) 两边关于 x 求偏导得 w=lnz(x+y)两边关于 y 求偏导得20 【正确答案】 设曲线 x= 与 y 轴围成的平面区域为 D0，21 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，22 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)，即当a=1，b=2，c=2 时，矩阵方程有解，23 【正确答案】 ()A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=b，因为不同特征值对应的特征向量正交，所以 a=1A=2b，由A *=A 2 得b=2
