1、考研数学（数学二）模拟试卷 442 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 xm 为同阶无穷小又设当x0 时，F(x)= 0xnf(t)dt 与 xk 为同阶无穷小，其中 m 与 n 为正整数则 k= ( )（A）mn+n （B） n+m（C） m+n（D）mn+n 12 设 (x)在 x=a 的某邻域内有定义，f(x)=|xa|(x)则“(x)在 x=a 处连续” 是“f(x)在 x=a 处可导”的 ( )（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充
2、分又非必要条件3 sin(x2+y2)dy= ( )（A） (cos 21)（B） (cos 2+1)（C） (cos 2+1)（D） (cos 21)4 设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0 ，f(0)0则( )5 设 下述命题成立的是 ( )（A）f(x)在1，1上存在原函数（B） g(0)存在（C） g(x)在1，1上存在原函数（D）F(x)= 1 xf(t)dt 在 x=0 处可导6 设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则 ( )（A）0（B） z（C）（D）17 设 1(1，2，3，2) T
3、， 2(2，0，5，2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量的是 ( )（A） 1=(1， 3，3，3) T（B） 2= (0，0，5，2) T（C） 3=(1，6，1，10) T（D） 4 =(1， 6，1，0) T8 设 =(1，2 ，3) T， 1=(0，1，1) T， 2= (3，2，0) T， 3=(2，1，1)T， 4=(3，0，1) T，记 Ai=iT，i=1 ，2，3，4则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 ( )（A）A 1（B） A2（C） A3（D）A 4二、填空题9 =_10 椭圆 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面
4、 s 的面积=_ 11 曲线 r=a(1+cos)(常数 a0)在点 处的曲率 k=_12 在区间0 ，1 上函数 f(x)=nx(1x) n(n 为正整数)的最大值记为 M(n)，则=_13 设函数 f 与 g 可微，z=fxy，g(xy)+1nx，则 _14 设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)= x12+2x1x2x 22+4x2x3x 322ax 3x4+(a1) 2x42 的规范形为 y12+y22y 32；则参数 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (1)设 0x + ，证明存在 ，01，使 (2)求出(1)中 关于 x 的具体函数表达式 =(x)
5、，并求出当 0x+时，函数 (x)的值域16 设函数 y(x)在区间1，+)上具有一阶连续导数，且满足 y(1)= 及 x2y(x)+1x(2t+4)y(t)dt+21xy(t)dt= ，求 y(x)17 设 f(x，y) =max ，1)，D=(x，y|x|y1求 f (x，y)d17 设 n 为正整数，f(x)=x n+x118 证明对于给定的 n，f(x)在区间(0 ，+)内存在唯一的零点 xn；19 对于(I)中的 xn，证明 存在并求此极限20 设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时，求 z 的表达式20 设当 x1，1时，f(x)连续，F(x)= 1 1|xt|f(t
6、)dt，x 1，1 21 若 f(x)为偶函数，证明 F(x)也是偶函数；22 若 f(x)0(1x1)，证明曲线 y=F(x)在区间1，1上是凹的23 (1)计算 0n|sint|dt，其中 n 为正整数；(2)求 0n|sint|dt23 设 A33=(1， 2， 3)，方程组 Ax= 有通解 k+=k(1，2，3) T+(2，1，1) T，其中 k 是任意常数证明：24 方程组( 1， 2)x= 有唯一解，并求该解；25 方程组( 1+2+3+， 1， 2， 3)x= 有无穷多解，并求其通解25 设 ，X 是 2 阶矩阵26 求满足 AXXA=O 的所有 X；27 问 AXXA=E 是否
7、有解?其中 E 是 2 阶单位矩阵，说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 442 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，f(x)与 xm 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0时，f(x)Ax m，从而，f(x n)Ax m于是由题意可知，上式为不等于零的常数，故 k=mn+n2 【正确答案】 D【试题解析】 下面举两个例子说明应选 D设 (x)在 x=0 处连续，但 f(x)=|x|(x)在 x=0 处不可导的例子如下：取 (x)1，但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导设 (x)在 x=0 的某邻域内有
8、定义，但在 x=0 处不连续，而 f(x)=|x|(x)在 x=0 处却可导的例子如下：设 (x)在 x=0 处不连续，但=x+所以 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=13 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D 的边界曲线为 y= |x|与 ，其交点为(1，1)与(1， 1)化为极坐标：4 【正确答案】 C【试题解析】 先作积分变量代换，令 xt=u，则由二阶导数定义，5 【正确答案】 C【试题解析】 A 不正确f(x)在点 x=0 处具有跳跃间断点函数在某点具有跳跃间断点那么往包含此点的区间上该函数必不存在原函数 B 不正确按定义容易知道 g(0)不存存 C 正确 g(x)为1，1
9、上的连续函数，故存在原函数 D不正确可以具体计算出 F(x)，容易看 F (0)=0F +(0)=0故 F(0)不存在6 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，得7 【正确答案】 C【试题解析】 已知 Ax=0 的基础解系为 1， 2，则 i，i=1，2，3，4 是 Ax=0 的解向量= i 可由 1， 2 线性表出 = 非齐次线性方程组 1y1+2y2=i 有解逐个判别 i 较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便显然因 r(1， 2)=r(1， 2|3)=2， 1y1+2y2=3 有解，故 1， 2， 3 是 Ax=0 的解向量8 【正确答案】 D【试题解析】 因 Ai=iTO，r(A
10、i)=r(iT)r()=1，i=1，2，3，4故 =0至少是3 阶方阵 Ai (i=1，2，3，4) 的二重特征值则 Ai (i=1，2，3，4)的第 3 个特征值分别是 故知 A4 的特征值 1=2=3=0，是三重特征值，但A4O，故 A4 不能相似于对角矩阵应选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 将极坐标方程 r=a(1+cos)化成参数式： 于是有 代入由参数式表示的曲率公式：并经较复杂但初等的运算，得12 【正确答案】 e 1【试题解析】 f(x)=nx(1x) n，f(x)=n(1x) nn 2x(1x)
11、n1 =n(1x)n 1(1xnx)令 f(x)=0，得 由于 f(0)=f(1)=0，f(x)0 (x(0，1)在区间(0，1) 内求得唯一驻点 所以 f(x1)为最大值所以13 【正确答案】 f 2【试题解析】 由14 【正确答案】 【试题解析】 f 是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为 2，负惯性指数为1，且有一项为零故知其有特征值 =0，故该二次型的对应矩阵 A 有|A|=0因故应有a= 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)令 由拉格朗日中值定理有 f(z+1)f(x)=f()(x+1x) ，即 其中xx+1 ，=x+，01(2)由上所以 (
12、x)在区间(0，+) 上严格单调增加又所以 (x)的值域为 16 【正确答案】 由分部积分 1x(2t+4)y(t)dt=(2t+4)y (t)|1x2 1xy(t)dt=(2x+4)y(x)6y(1)2 1xy(t)dt=(2x+4)y(x)+12 1xy(t)dt则原方程化简为由一阶线性微分方程通解公式，得通解再由初始条件故所求的特解为17 【正确答案】 如图所不，将 D 分成三块中间一块为 D3，左右两块分别记为D1 与 D2，则18 【正确答案】 当 x(0，+) 时，f(x)=nx n1 +10，所以在区间(o，+)内 f(x)至多只有一个零点，又 f(0)=10，所以 f(x)在(
13、0，+)上存在唯一零点，记为 xn，且xn(0，1)，此时 f(xn)=019 【正确答案】 下面证数列x n单调增加由 xn+1n+1+ xn+11=0 与 xnn+ xn1=0两式相减，得 xn+1n+1x nn+(xn1 x n)=0但因 0x n1 1，所以 xn+1n xn+1nxn+1=xn 1n1 ，于是有 0=xn+1n+1x nn+(xn+1x n)n+1nx nn+(xn+1x n)= (xn+1x n)(xn+1n1 + xn+2n2 xn+xnn1 )+(xn+1x n)=(xn+1x n)(xn+1n1 + xn+2n2 xn+xnn1 +1)上式第 2 个括号内为正
14、，所以 xn+1x n0，即数列x n严格单调增加且有上界 1，所以用反证法，如果0a1，将 1x n=xna n 两边令 x取极限，得 1a0，解得 a1，与反证法的假设矛盾，所以 a=1证毕20 【正确答案】 记于是上式成为常微分方程其中 C 为任意常数21 【正确答案】 因在区间1，1上 f(x)为连续的偶函数则所以 F(x)也是偶函数22 【正确答案】 F(x)= 1x(xt)f(t)dt+ x1( tx)f(t)dt =x 1 xf(t)dt 1 xtf(t)dt+x1tf(t)dtx x1f(t)dt F(x)=1 xf(t)dt+xf(x)xf(x) xf(x) x1f(t)dt
15、+xf(x) =1 xf(t)dt x1f(t)dt， F(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0 所以曲线 y=F(x)在区间 1，1上是凹的23 【正确答案】 (1) (2)设nxn+1，有 nx(n+1)于是当 x时，n，由夹逼定理得24 【正确答案】 由题设条件( 1， 2， 3)x= 有通解 k(1，2，3) T+(2，1，1)T，知 r(1， 2， 3)= r(1， 2， 3，)=2， (*) 1+223 3=0 (*)=(k+2)1+(2k1) 2+(3k+1) 3 (*)由(*) 式得 3 = (1+22)，知 1， 2 线性无关(若 1， 2 线性相关，又 3 = (1+22
16、)，得 r(1， 2， 3)=1这和(*)式矛盾)由(*)式知 1， 2 是向量组 1， 2， 3 及 1， 2， 3， 的极大线性无关组，从而有r(1， 2)=r(1， 2，)=2，方程组( 1， 2)x= 有唯一解由 (*)式取 3 的系数3k+1=0，即取 ，即( 1， 2)x= 的唯一解为25 【正确答案】 因 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3，)=2，故方程组(1+2+3+， 1， 2， 3)x= 有无穷多解，且其通解形式为 k11+ k22+*，其中1， 2 为对应的齐次方程组的基础解系 *为方程组的特解，k 1， k 2 为任意常数由(*)式 在(*)式中取k=0，有 故方程组(1+2+3+， 1， 2， 3)x= 的通解为 k11+ k22+*=k11+ k2(1 2)+1= k1(0，1 ，2，3) T+k2(1，3，0，2) T+(0，2，1 ，1) T，其中 k1， k 2 为任意常数26 【正确答案】 设系数矩阵解得x4=K，x 3=3L，x 2=2L，x 1=K3L故 其中 K，L 为任意常数27 【正确答案】 由上一题易知 tr(AX)=tr(XA)故tr(AXXA)=tr(AX) tr(XA)=0tr(E)=2故方程组 AXXA=E 无解
