1、考研数学（数学二）模拟试卷 446 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F(x)=1 xf(t)dt，则 F(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 当 x0 时，下列 3 个无穷小按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是 ( )（A），（B） ， （C） ， ， （D），3 设 则下列函数在 x=0 处间断的是 ( )（A）maxf(x) ，g(x)（B） minf(x)，g(x)（C） f(x)g(x)（D）f(x)+g(x)4 设 f(x，y)=|x y|(x ，y)，其中 (
2、x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“(0，0)=0”是“f(x ，y)在点(0，0)处可微”的 ( )（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件5 设 ，n=0，1，2，则下列关于 an 的关系式成立的是 ( )（A）a n+2=an+1+ an（B） an+3=an（C） an+4=an+2+ an（D）a n+6=an6 设 A，B，C 为常数，则微分方程 y+2y+5y=ex cos2x 有特解形式 ( )（A）e x (A+Bcos2x+Csin2x)（B） ex (A+Bxcos2x+Cxsin2x)（C） ex (Ax+B
3、cos2x+Csin2x)（D）e x (Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)7 已知 n 维向量组 1， 2， 3， 4 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则向量组a1+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 4+b1 也是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是 ( )（A）a=b （B） ab（C） ab（D）ab8 设 ，则 A 合同于 ( )二、填空题9 设 y=y(x)由方程 所确定，则 _10 在(，+) 内连续的充要条件是a=_，b=_11 设 y=y(x)由 y3+(x+1)y+x2=0 及 y(0)=0 所确定，则_12 设 y的系数为 1 的某二阶常系数非齐次线性微分方程
4、的两个特解为y1*=(1x+x 2)ex 与 y1*= x2ex 则该微分方程为_13 设 f(lnx)=xlnx，则 f(n)(x)= _14 设 若 A，B 等价，则参数 t 应满足条件_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)其有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f(0)0在曲线 y= f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距记为 u，求 16 设 a 为正常数， f(x)=xeaae xx+a 证明：当 xa 时，f(x)17 (1)求定积分 an=02x(2xx 2)ndx，n=1 ，2，；(2)对于(1)中的 a
5、n，证明an+1n， t(n=1， 2，)且 17 设微分方程及初始条件为18 求满足上述微分方程及初始条件的特解；19 是否存在常数 y1，使对应的解 y=y(x)存在斜渐近线?若存在请求出此 y1，及相应的斜渐近线方程20 设 f(x，y)=maxx ，y，D=(x，y)|0x1，0y1)求 f(x，y)|y x 2|d20 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线与曲线 y=ex 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D求21 D 的面积 A；22 D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V23 求微分方程 满足条件 y(0)=1，y(1)=1 的特解24 设
6、 ，问a，b，c 为何值时，向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 是等价向量组?向量组等价时，求 1 由 1， 2， 3 线性表出的表出式及 1 由 1， 2， 3 线性表出的表出式24 设 问：25 A 是否相似于 B，说明理由；26 A 和 C 是否相似，说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 446 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 有下述定理： 设 f(x)在a ，b 上除点 c(a，b) 外连续而点 x=c 是f(x)的跳跃间断点又设 F(x)= x0xf(t)dt，x 0(a，b) 则： F(x)在a，b 上
7、必连续；当 xa，b 但 xc 时，F(x)=f(x)； F(c) 必不存在，并且 F (c)，F +(c)=f(c ) 在做选择题时可套用此结论 由此定理可知应选 C2 【正确答案】 D【试题解析】 对于 ，用带有佩亚诺余项的泰勒展开式展开最方便综合之，无穷小的阶从低到高排列应是 ， ，选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 令故 x=0 是 F(x)的一个间断点选 C下面证明 A，B，D 中的函数在 x=0 处均连续，由于 A 中的 F(x)=maxf(x)，g(x)=1显然此 F(x)连续B 中的此 F(x)在x=0 处连续D 中的此 F(x)在x=0 处连续4 【正确答案】 C【试题解
8、析】 先证充分性设 (0，0)=0，由于 (x， y)在点(0，0)处连续，所以由于按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且 df(x，y)=0 x+0y，即 fx(0，0)=0 ，f y(0，0) =0 再证必要性设 f(x， y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)与 fy(0，0)必都存在其中当 x0 +时，取“+”，当 x0 时，取“”由于 f(0，0)存在，所以 (0，0)=(0， 0)，从而 (0，0) =0证毕5 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0)=1，再由 f(x)(x2x+1)=x+1， (*)两边对 x 求一阶导数，得 f(x)(x2x+1)+ f
9、(x)(2x 1)=1将 x=0 代入，得 f(0) f (0)=1， f(0)=f (0)+1=2将(*)两边对 x 求 n 阶导数，n2，有 f(n)(x)(x2x+1)+Cn1f(n1) (x)(2x1)+C n2f(n2) (x)2=0，将 x=0 代入，得 f(n)(0)C n1f(n1) (0)+2 Cn2f(n2) (0) =0，又因为 所以有或写成an+2=an+1a n，n=0，1，2， (*)现在验算 A D 中哪一个正确显然，由递推公式(*)知， A 的左边以 an+2=an+1a n，仅当 an=0 时才有 A 的左边等于 A 的右边，故 A 不正确再验算 BB 的左边
10、 an+3=an+2a n+1= an+1a na n+1=a n，所以仅当 an=0 时， B 的左边等于 B 的右边，故 B 不正确再验算 C C 的左边an 4=an+3a n+2= an+2a n+1a n+2=a n+1，C 的右边 an+2+ an= an+1a na n=an+1C 的左边等于 C 的右边，得 an1 =0n=0，1，2但这不正确所以 C 也不对余下只有 D以下可直接验算 D 正确已证(*)式，所以对一切 n，有 an+6=an+5a n+1= an+4a n+3a n+4=a n+3，从而 an+6=a n+3=(a n)= an， n=0，1，2，所以 D 正
11、确6 【正确答案】 B【试题解析】 原方程可写成 y+2y+5y= ex + ex cos 2x特征方程是r2+2r+5=0特征根 r1，2 =12i对位于自由项 ex 的一个特解形式为y1*=Aex 对应于自由项 ex cos 2x 的一个特解形式为 y2*=xex (Bcos 2x+Csin 2x)所以原方程的一个特解形式为 y1*+ y2*= ex (A+Bcos 2x+Cxsin 2x)故应选B7 【正确答案】 D【试题解析】 向量组 a1+b4，a 2+b3，a 3+b2，a 4+b1，均是 Ax=0 的解且共 4 个故该向量组是 Ax=0 的基础解系=该向量组线性无关因且 1， 2
12、， 3， 4 线性无关则故应选 DB，C 是充分条件，并非必要，A 既非充分又非必要，均应排除8 【正确答案】 C【试题解析】 写出 A 对应的二次型，并用配方法化成标准形 F(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+x222x 32， 知 f 的秩为 2正惯性指数为 1(负惯性指数也为 1)这可排除选项 A， B选项 C 的二次型为 x 12x 22x 32+2x2x2= x12(x 2x 3)2 正负惯性指数和题干中矩阵对应的二次型一致而选项 D 中二次型为 x12+x22+2 x1x2+2x32=(x1+x2)2+2x32， 正惯性指数为 2故应选 C二、填空题9 【正确答案】 2【
13、试题解析】 由 ，将 x=0 代入，有 y=1再将所给方程两边对 x 求导，得将 x=0，y=1代入，得 y|x=0=3，y| x=0=2 10 【正确答案】 0；1【试题解析】 应写出 f(x)的分段表达式在x=1 处， 所以在 x=1处连续的充要条件是 1=a+b= (1+a+b)在 x= 1 处，所以在x= 1 处连续的充要条件是1=ab= (1+a+ b)所以 解得a=0，b=111 【正确答案】 【试题解析】 此未定式为“ ”型求导中要用到 y(0)，y(0)，先求出备用由y3+(x+1)y+x2=0，两边对 x 求导 3y2y+(x+1)y+y+2x=0以 y(0)=0 代入，得
14、0+ y(0)=0，有 y(0)=0再求导， 6y(y)2+3y2y+ y+(x+1)y+ y+2x=0以 y(0)=0， y(0)=0 代入，有 0+0+0+ y+0+2=0，y(0)=2则12 【正确答案】 y2y+y=2e x【试题解析】 y 1*y 2*=(1x) e x 为对应的二阶常系数齐次线性方程的一个解，故知 r=1 是该齐次方程对应的特征方程的二重特征根，故特征方程为 r 22r+1=0， 所以该二阶常系数齐次微分方程为 y2y+y=0， 设该非齐次方程为 y 2y+y=f(x) 将 y2*=x2ex 代入上述方程的左边，得 f(x)=2e x 所以该微分方程为y 2y+y=
15、2ex13 【正确答案】 e x(x+n1)【试题解析】 由 f(lnx)=xlnx，则 f(x)=xex由莱布尼茨高阶导数乘法公式有 f (n)(x)=(xex)( n1) =exx+Cn1 1ex(x)+0=ex(x+n1)14 【正确答案】 t=4【试题解析】 AB = r(A)=r(B)现由知 r(B)=2则 r(A)=r(B)=2，故 t=4三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 f(0)=0 及 f(0)0，故存在 x=0 的一个去心邻域 U，使得当xU 时， f(x)0过点(x，f(x)(x0)的切线方程为 Yf(x)=f(x)=f(x)(Xx
16、)令Y=0，得截距16 【正确答案】 f(a)=0，f(x)=e aae x1，f(x)=ae xaae x1，(a)| a=0，(a)=ae x0)，即 f(a)0)将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开：证毕17 【正确答案】 （1）当 n2 时，计算 an=02x(2xx 2)ndx=02x1(1x) 2ndx，作积分变量代换，令 1x=t，于是 an=11 (1t)(1 t 2)n(dt)= 1 1(1t 2)ndt 11t(1 t2)ndt=1 1(1t 2)ndt=201(1t 2)ndt下面用分部积分计算：所以由此迭代式得(2) 由 an 的迭代式显然有 0a na n1
17、(n=2，3，)又18 【正确答案】 改写所给方程 由一阶线性微分方程的通解公式得通解 由初始条件 y(1)=y1，得 C=(y1+1)e1 ，得初值问题的特解为19 【正确答案】 若 y(1)1，则 ，无斜渐近线若 y1=1，则故此时有斜渐近线20 【正确答案】 如图所示，曲线 y=x 和 y=x2，将 D 划分成三块：D 1D2D3，21 【正确答案】 如图所示，设切点坐标为 P(x0， y0)，于是曲线 y=ex 在点 P 的切线斜率为 y(x0)=ex0， 切线方程为 yy 0=ex0 (xx 0)它经过点 (0，0)，所以 y0=x 0 ex0又因 y0=ex0，代入求得 x0=1，
18、从而y0=ex0=e，切线方程为 y=ex取水平条面积元素，则 D 的面积22 【正确答案】 D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为23 【正确答案】 此为 y=f(y，y)型令 原方程化为当 x=0 时，y=1，y=1 代入得 1=(1+C1)，所以 C1=0，于是得 p2=y4，故 p=y2 (因 y=1 时，y=1，取正号)，于是有 再分离变量积分得 将 x=0 时，y=1 代入得C2=1从而得解24 【正确答案】 将( 1， 2， 31， 2， 3)作初等行变换，有向量组故应取 a=1，b=2，c=2当 a=1，b=2 ，c= 2 时，故(1， 2， 3)(1， 2， 3
19、)，从而有( 1， 2， 3)(1， 2， 3)求 1 由1， 2， 3 线性表出的表出式，即解方程组 得通解为 l(4，1，2)T+(1，0，0) T即 1=( 4l+1)1+l2+2l3 求 1 由 1， 2， 3 线性表出的表出式，即解方程组 即 1=(k+1) 1 k2+k3，其中，k 是任意常数25 【正确答案】 由，知 A 有特征值 1=2=1， 3=1，当 1=2=1，所以 A 的对应于二重特征值 1=2=1 的线性无关的特征向量有两个，则 A 可相似于对角矩阵故由，知 B 有特征值 1=2=1， 3=1，又 B 是实对称矩阵故 则由相似矩阵的传递性知26 【正确答案】 由 ，知 C 有特征值 1=2=1， 3=1当 1=2=1 时，所以 C 的对应于二重特征值 1=2=1 的线性无关的特征向量只有一个，故 C 不能相似于对角矩阵故 A 与 C 不相似
