1、应用统计硕士（统计量及其抽样分布）模拟试卷 1 及答案与解析一、单选选择题1 设随机变量 X 和 Y 相互独立且服从正太分布(03 2)，而 X1，X 2， 9 和Y1，Y 2，Y 9 分别是来自总体 X 和 Y，的简单随机样本，则统计量 U服从_分布，且其参数为_。( )（A）t，8 （B） t，9 （C）正太；(0，1) （D） 2；92 从服从正太分布的无限总体分别抽取容量为 7，20，80 的样本，当样本容量增大时，样本均值的数学期望_，标准差_。( )。（A）保持不变；增加（B）保持不变；减小（C）增加；保持不变（D）减小；保持不变3 设总体均值为 200，总体方差为 64，在大样本
2、情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( )。（A）N(200 ，64)（B） N(200，8 )（C） N(200n，64)（D）N(200 ，64n)4 从一个均值 20，标准差 12 的总体中随机选取容量为 n36 的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值 X 小于 19 8 的近似概率为( )。（A）01268（B） 01587（C） 02735（D）063245 某厂家生产的灯泡寿命的均值为 1000 小时，标准差为 4 小时。如果从中随机抽取 16 只灯泡进行检测，则样本均值( )。（A）抽样分布的标准差为 1 小时（B）抽样分布近似等同于总体分布（C
3、）抽样分布的中位数为 1000 小时（D）抽样分布服从正态分布，均值为 1000 小时6 根据抽样测定 100 名 4 岁男孩身体发育情况的资料，平均身高为 95cm，标准差为 4cm。有( )的概率可确信 4 岁男孩平均身高在 938962cm 之间。（A）6827（B） 90（C） 9545（D）99747 假设总体比例为 03，采取重复抽样的方法从此总体中抽取一个容量为 100 的简单随机样本，则样本比例的期望是( )。（A）03（B） 08（C） 16（D）28 假设总体比例为 02，从此总体中抽取容量为 100 的样本，则样本比例的标准差为( )。（A）02（B） 002（C） 00
4、4（D）0169 大样本的样本比例的抽样分布服从( )。（A）正态分布（B） t 分布（C） F 分布（D） 2 分布10 满足下面( ) 条件时，可以认为抽样成数的概率分布近似正态分布。（A）n30，np5，nq5（B） n30，np5 ，nq5（C） n30，np5 ，nq5（D）n30，np5，nq5二、简答题11 什么是统计量? 为什么要引进统计量 ?统计量中为什么不含任何未知参数 ?12 什么是 2 分布? 请简述 2 分布的特点。13 为什么当总体单位数很大时，不重复抽样分布趋近于重复抽样分布?三、计算与分析题14 Z1，Z 2，Z 6 表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n6 的
5、一个样本，试确定常数 b，使得15 设 X1，X 2，X 9 是 X 目标准正忑总体 X 的简单随机样本，而 Y1 (XXX) ，Y 2 (X7X 8X 9) S2证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。16 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，(X 1，X 2，X 10)为来自总体 X 的简单随机样本，试求下列概率：17 某小型工厂共有 5 个工人，他们的周工资分别为 140、160、180、200、220 元，现在用重置随机抽样的方法从中抽出 2 个工人的工资构成样本。(1)计算总体平均工资及其标准差；(2)列出样本平均工资的抽样分布；(3)计算样本平均工资，并检验是否等于总体
6、平均工资；(4)直接计算样本平均工资的标准差；(5)按公式计算样本平均工资的标准差，并验证是否等于(4)的结果。18 一个具有 n64 个观察值的随机样本抽自于均值等于 20、标准差等于 16 的总体。(1)给出 (平均值)的抽样分布 (重复抽样)的均值和标准差。 (2) 描述 (平均值)的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本量吗? (3) 计算标准正态 z 统计量对应于155 的值。 (4)计算标准正态 z 统计量对应于 23 的值。19 从一批 5000 只日光灯中随机抽取 1600 只进行耐用时间的质量检验，已知该种型号的日光灯平均寿命为 1500 小时。标准差为 800 小时。分别按照重
7、复抽样和不重复抽样两种方法计算样本平均寿命小于 1550 小时的概率。20 某批发商店的经理正考虑一新的销售计划。已知每个顾客购买额的均值为 200元，标准差为 15 元。如果随机抽取 36 名顾客，试计算平均购买额超过 204 元的概率。21 从一个均值为 40，方差等于 144 的无限总体中按不重复简单随机抽样抽出样本量 n36 的样本。(1)求样本均值 的抽样分布；(2)如果 P( a)005。求 a 的值。22 某市在第五次人口普查显示。该市老年人口老龄化(65 岁以上)比率为147。现随机调查了 400 名当地市民，则其老龄化率为 10和 16之间的概率为多少?23 某调查员要对 A
8、、B 两个地区居民用于某类消费品的年支出数额进行比较分析，在两地各抽取 400 户居民，调查得到 A 地区平均每户日支出数额为 250 元，标准差为 47 元。B 地区平均每户日支出数额为 150 元，标准差为 20 元。问样本差大于100 的概率有多大?24 甲、乙两家化肥厂生产化肥，甲厂平均每小时生产 100 袋化肥，且服从正态分布，标准差为 25 袋；乙厂平均每小时生产 110 袋化肥。也服从正态分布，标准差为 30 袋。现从甲、乙两厂各随机抽取 5 小时计算单位时间的产量。问出现乙厂比甲厂单位时间产量少的概率为多大?25 一个具有 n900 个观察值的随机样本选自于 100 和 10
9、的总体。 (1) 你预计 的最大值和最小值是什么? (2) 你认为 至多偏离 有多远? (3)为了回答(2)，你必须要知道 吗? 请解释。应用统计硕士（统计量及其抽样分布）模拟试卷 1 答案与解析一、单选选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X 服从正态分布 N(0，3 2)，所以 X1X 2X 9N(0 ，93 2)，N(0，1)；因为 Y 服从正态分布 N(0，3 2)，所以从而即 U 服从参数为 9 的 t 分布。【知识模块】 统计量及其抽样分布2 【正确答案】 B【试题解析】 由于总体服从正态分布，所以样本均值的抽样分布仍为正态分布，数学期望不变；方差为 ，标准差为 ，故当样本
10、容量 n 增大时，标准差减小。【知识模块】 统计量及其抽样分布3 【正确答案】 D【试题解析】 根据中心极限定理可知，在大样本情况下，样本平均数 的抽样分布近似服从平均值为 和样本方差为 的正态分布。由题知， 200， 264，所以 。【知识模块】 统计量及其抽样分布4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 n3630 ，根据中心极限定理有： N(， )N(20 ，004) 。故 P( 198)P( )( 1)1(1)10841301587。【知识模块】 统计量及其抽样分布5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 n16 30，并且总体的分布未知，所以抽样分布的形状未知。但是抽样分布的均值仍为 1
11、000 小时，标准差为 1。【知识模块】 统计量及其抽样分布6 【正确答案】 D【试题解析】 设 为抽取样本的平均身高。由题知，95， 24 2，所以， (0，1)，故 P938962P2(3)1209987109974，即有9974的概率可以确信 4 岁男孩平均身高在 938962cm 之间。【知识模块】 统计量及其抽样分布7 【正确答案】 A【试题解析】 由二项分布的原理和渐进分布，设总体比例为 ，当 n 充分大(n10030)时，样本比例的期望为 03。【知识模块】 统计量及其抽样分布8 【正确答案】 C【试题解析】 由二项分布的原理和渐进分布，设总体比例为 ，当 n 充分大(n1003
12、0)时，样本比例服从正态分布，样本比例的标准差为：004。【知识模块】 统计量及其抽样分布9 【正确答案】 A【试题解析】 由二项分布的原理和渐进分布的理论可知，总体比例为 ，当 n 充分大(大样本 )时，样本比例的抽样分布服从均值为 ，方差为 的正态分布。【知识模块】 统计量及其抽样分布10 【正确答案】 A【试题解析】 对于总体比例的估计，确定样本量是否足够大的一般经验规则是：区间 p2 中不包含。或 1，或者要求 np5，nq5。【知识模块】 统计量及其抽样分布二、简答题11 【正确答案】 (1)设 X1，X 2，X n 是从总体 X 中抽取的容量为 n 的一个样本，如果由此样本构造一个
13、函数 T(X1，X 2，X n)，不依赖于任何未知参数，则称函数 T(X1，X 2， ，X N)是一个统计量。 (2)在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。 (3)统计量是样本的一个函数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数
14、。【知识模块】 统计量及其抽样分布12 【正确答案】 (1)当对正态随机变量 机地重复抽取 n 个数值，将每一个 值变换成标准正态变量，并对这 n 个新的变量分别取平方再求和之后，就得到一个服从2 分布的变量即 2 服从自由度为 n 的 2 分布。 (2) 2 分布的特点： 2 分布是一个以自由度为参数的分布族，自由度决定了分布的形状； 2 分布是一种非对称分布，当自由度 n 达到相当大时， 2 分布就接近于正态分布； 2分布的变量值始终为正。【知识模块】 统计量及其抽样分布13 【正确答案】 在重复抽样和不重复抽样条件下，样本均值分布的中心相同。在不重复抽样条件下，样本平均数的标准差为 ；在
15、重复抽样条件下，样本平均数的标准差为 ；不重复抽样与重复抽样比，多了一个修正系数。当 N 远大于 n 时，修正系数近似于 1，不重复抽样误差近似等于重复抽样误差，即不重复抽样分布趋近于重复抽样分布。【知识模块】 统计量及其抽样分布三、计算与分析题14 【正确答案】 由于 Z1，Z 2，Z 6 为正态分布，并且相互独立，所以Z i2 服从2(6)分布。 1095005 查表得：b125916。【知识模块】 统计量及其抽样分布15 【正确答案】 由 X1，X 2， 9 是来自标准正态总体 X 的简单随机样本可得，X1，X 2，X 9 是相互独立的，并且都服从标准正态分布，Y 1，Y 2 也是相互独
16、立的。 E(Y1Y 2)0，V ar(Y1Y 2) ，即 Y1Y 2N(0， )，所以由于 n3， 所以(n1)S 22S 2 2(2)，从而t(2) ，即 Z t(2)【知识模块】 统计量及其抽样分布16 【正确答案】 (1)由于 2(10)，因此P 2(10)5P 2(10)15 08912 01321 07591 (2)由于 2(9)，因此P 2(9)5P 2(9)15 0834300909 07434 (3)由于 2(n1)，因此 2(9)。所以 P P 2(9)3P 2(9)6 0964307399 02244【知识模块】 统计量及其抽样分布17 【正确答案】 (1)总体均值和标准差
17、分别为：(2)重复抽样的两两样本的平均数加嘉 229 所示。由表 229 可知，样本均值的分布如表 230 所示。(3)由表 230 可得： (1401502220) 180(元) (4)样本平均工资的标准差为；2041 (5)由于20，即按公式计算样本平均工资的标准差小于(4)中直接计算的结果。【知识模块】 统计量及其抽样分布18 【正确答案】 (1)由于总体的均值为 20、标准差等于 16。所以(2)样本均值的抽样分布形状依赖于样本量。依据大样本量(n30)，描述 (平均值)的抽样分布近似为正态分布。当 n30 时，样本均值(平均值 )的抽样分布形状基本上没有差别，形成正态分布；当 n 为
18、小样本时(通常n 155，z 225。 (4) 当23， 15。【知识模块】 统计量及其抽样分布19 【正确答案】 (1)按照重复抽样的方法 由中心极限定理知，样本平均寿命，则 N(0，1)，所以 (25) 09938 即在重复抽样的方法下，样本平均寿命小于 1550 小时的概率为 09938。 (2)按照不重复抽样的方法 由于是对有限样本的不重复抽样，所以样本均值的标准差 。 由中心极限定理知，样本平均寿命 ，即即在不重复抽样的方法下，样本平均寿命小于 1550 小时的概率为 09988。【知识模块】 统计量及其抽样分布20 【正确答案】 由于 n3630，由中心极限定理可得：统计量 z近似
19、服从标准正态分布。当 204 时，z 16 所以随机抽取 36 名顾客，平均购买额超过 204 元的概率为： P( 204)1P( 204)1P( 16)1(16) 109452 00548【知识模块】 统计量及其抽样分布21 【正确答案】 (1)对于无限总体，抽样可以看成是重复抽样。于是又 n3630，所以由中心极限定理可知，样本均值近似服从 N(40，4) 。 (2)由(1)可得：即 则1645，解得：a4329。【知识模块】 统计量及其抽样分布22 【正确答案】 由于 n 较大，p 较小，np4001475885，n(1p)：400853 34125。因此，可利用正态近似处理，即可认为样
20、本比率 p 的抽样分布近似服从平均值 p0147 和方差的 正态分布。将 p 值变换为服从标准正态分布的 z 值，即：z N(0，1)。则 P10p16P (0734)(2655)(0734)(2655) 1 07646 即老龄化率为 10和 16之间的概率为 7646。【知识模块】 统计量及其抽样分布23 【正确答案】 假定这两个样本是相互独立的。因为在 A、B 两地各抽取了 400个样本，样本的容量足够大。因此，根据中心极限定理， 的抽样分布服从均值为( A B)，方差为 的近似正态分布。故1(0)(78311)05 故样本差大于 100 的概率为 50。【知识模块】 统计量及其抽样分布2
21、4 【正确答案】 由于两个已知总体都服从正态分布，所以 5 小时的单位时间产量也分别服从正态分布，从而 也是正态分布，即 服从以均值为 1 2、方差为 的正态分布，即 根据题意，乙厂的单位时间产量少于甲厂的单位时间产量，就意味着0，则即出现乙厂比甲厂单位时间产量少的概率为 02835。【知识模块】 统计量及其抽样分布25 【正确答案】 (1)样本均值的标准差为： 。由于样本量n90030，则样本均值的抽样分布近似服从 100， 的正态分布，根据经验法则，可认为 一定落在( )内，即(99，101)，所以的最大值为 101，最小值为 99。 (2)由(1) 中计算知， 至多偏离 的距离为 31。 (3)由(1)(2)中计算知，为回答(2)只需要总体标准差和样本量，没必要知道 。【知识模块】 统计量及其抽样分布
