1、考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1 及答案与解析一、填空题1 当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y=且 y(0)=，则 y(1)=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 求 的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式3 求 带皮亚诺余项的麦克劳林公式4 求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式5 求极限6 确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x 一(a+ )sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量7 设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 ，求 f(0)，f(0)，f (n)(0)8
2、9 设 f(x)在a ，b三次可微，证明： (a，b)，使得10 在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： (I)f(x)=tanx(x 3)； ()f(x)=sin(sinx) (x3)11 求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： (I) f(x)= () f(x)=exsinx12 用泰勒公式求下列极限：13 用泰勒公式确定 0x(et 一 1 一 t)2dt 当 x0 时关于 x 的无穷小阶数14 设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 (0，+) 时 |f(x)|M0， |f“(x)|M 3，其中M0，M 3 为非负常数，求证 f”(x)在(0 ，+
3、) 上有界15 设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)，使|f“()|416 设 f(x)在(x 0，x 0+)有 n 阶连续导数，且 f(k)(x0)=0，k=2 ，3，n 一 1；f (n)(x0)0当 0|h| 时，f(x 0+h)一 f(x0)=hf(x0+h)，(01)求证：17 求微分方程 x(y2 一 1)dx+y(x2 一 1)dy=0 的通解18 求解下列方程： (I)求方程 xy”=ylny的通解； ()求 yy”=2(y2 一 y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解19 设 f(t)连续并满
4、足 f(t)=cos2t+0tf(s)sinsds，求 f(t)20 设 f(x)连续，且满足 01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求 f(x)21 求下列微分方程的通解：(I) y”一 3y=25x； ( )y”+y=cosxcos2x 22 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，) 为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程23 设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总
5、有长度 ，求 L 的方程24 设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T0，t 为时间 (以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T 一 T0 成正比又设 T0=20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为 50，问几小时后瓶内温度为 95?25 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的
6、微分方程，并求出函数关系 y=y(v)26 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状27 求下列方程的通解：28 求下列各微分方程的通解：29 求微分方程 的通解30 求解二阶微分方程的初值问题31 解下列微分方程：(I) y”一 7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解；() y”+a 2y=8cosbx 的通解，其中 a0，b0 为常数；( ) y“+y”+y+y=0 的通解32 求微分方程 xy”一 y=x2 的通解33 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y”co
7、sx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解34 设 f(x)=xsinx 一 0x(x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)35 设有二阶线性微分方程 (I)作自变量替换 x= ，把方程变换成 y 关于 t 的微分方程()求原方程的通解36 设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2
8、【正确答案】 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用3 【正确答案】 把 t=一 x2 代入 (t0) 即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用4 【正确答案】 由于(arctanx)= =1 一 x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用5 【正确答案】 又 sinx 2 一x2(x0)，所以【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用6 【正确答案】 不难看出当 1一 a 一 b=0 与 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a=并且得到 f(x)= f(x)是 x 的 5 阶无穷小(x0)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用7 【
9、正确答案】 1)先转化已知条件由 知再用当 x0 时的等价无穷小因子替换 ln1+f(x)f(x)，可得 2)用 o(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 xno(1)=o(xn)可得 f(x)=4xn+o(xn)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n-1)(0)=0，故 f(n)(0)=4n!【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用8 【正确答案】 由带拉格朗日余项的泰勒公式【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用9 【正确答案】 将 f(x)在 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得其中 1， 2(a
10、，b)上面两式相减得注意： f“(1)+f“(2)介于 f“(1)与 f“(2)之间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b)，使得因此得证【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用10 【正确答案】 (I)设 tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx 为奇函数，A 0=0，A 2=0)，又 则【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用11 【正确答案】 (I)由 f(x)= 可得对 m=1，2，3，有故 f(x)=12x+2x 2一+2(一 1)nxn+2(一 1)n+1 ()用归纳法求出 f(n)(x)的统一公式【知识模块】 一元函数的泰勒公
11、式及其应用12 【正确答案】 (I)用 et，ln(1+t)，cost,sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0 展开 ,由于再求分子的泰勒公式由 x 2e2x=x21+(2x)+o(x)=x2+2x3+o(x3)，In(1 一 x2)=一x2+o(x3)， x 2e2x+ln(1 一 x2)=2x3+o(x3)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用13 【正确答案】 因 et 一 1 一 t= 从而(e t 一 1 一 t)2=，代入得 因此 x0时 0x(et 一 1 一 t)2dt 是 x 的五阶无穷小量【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用14 【正确答案】 分别讨论 x
12、1 与 0x1 两种情形 1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 两式相加并移项即得 2)当 0x1 时对 f”(x)用拉格朗日中值定理，有 f”(x)=f”(x)一 f”(1)+f”(1)=f“()(x 一 1)+f”(1)，其中 (x，1)|f”(x)|f“()|x 一 1|+|f”(1)|M3+|f”(1)|(x(0，1)综合即知f”(x)在(0 ，+) 上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用15 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(1)x2 (0 1x)， f(x)=f(1)+f(1
13、)(x 一 1)+ f“(2)(x一 1)2 (x 2 1)在公式中取 并利用题设可得两式相减消去未知的函数值 即得 f”(1)一 f”(2)=8,|f“(1)|+|f“(2)|8故在 1 与 2 中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)使 |f”()|4【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用16 【正确答案】 这里 m=1，求的是 f(x0+h)一 f(x0)=h f(x0+h)(0 1)当 h0 时中值 的极限为解出 ，按题中条件，将 f(x0+h)在 x=x0 展成带皮亚诺余项的n1 阶泰勒公式得代入原式得再将 f(x0+h)在 x=x0 展成
14、带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式将代入后两边除以 hn 得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用17 【正确答案】 这是一个变量可分离的方程用(x 21)(y21)除方程的两端，则分离变量原方程化为 两边同时积分，可求得其通解为 ln|y21|=一 ln|x21|+C1，即(x 21)(y2 一 1)=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 (I)此方程不显含 y令 p=y，则原方程化为 xp=plnp当 p1 时，可改写为 其通解为 ln|lnp|=ln|x|+C，即 lnp=C1x，即 y= 这样，原方程的通解即为 其中 C10，C 2 为任意常数当 p=1 时
15、，也可以得到一族解 y=x+C3() 此方程不显含 x令 p=y，且以 y 为自变量， 原方程可化为 当 p0 时，可改写为解为 p 一 1=C1y2 再利用 p=y，以及初始条件，可推出常数 C1=1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y 2, 其通解为y=tan(x+C2)再一次利用初始条件 y(0)=1，即得 所以满足初始条件的特解为【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 因 f(t)连续 0tf(s)sinsds 可导 f(t)可导于是，将题设等式两边求导可得 f(t)=一 2sin2t+f(t)sint，即 f(t)一 f(t)sint=一 2sin2t，又方程中令 t=0
16、得f(0)=1 这是一阶线性微分方程的初值问题将方程两边乘 =e-sintdt=ecost 可得 ecostf(t)=一 4sintcostecost 积分得 e costf(t)=4costd(ecost)=4(cost 一 1)ecost+C由 f(0)=1得 C=e因此，f(t)=e 1-cost+4(cost 一 1)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 令 tx=s，原方程改写成 0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x0)，即 0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx 将式两边对 x 求导可得 f(x)=xf(x)+f(x)+(x2sinx)， 即(x=0 时两端自然成立
17、，不必另加条件)再将式两边直接积分得【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 (I)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2 一 3=( 一3)=0，所以通解为 =C1+C2e3x 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 y*(x)” 一 3y*(x)=2A 一 3(2Ax+B)=一 6Ax+2A 一 3B=26x比较方程两端的系数，得 解得 A=1，B=0，即特解为 y*(x)=x2从而，原方程的通解为 y(x)=x2+C1+C2e3x，其中 C1，C 2 为任意常数()由于 cosxco
18、s2x=根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出 y”+y=的特解 y1*(x)与 y2*(x)，相加就是原方程的特解由于相应齐次方程的特征方程为 2+1=0，特征根为i，所以其通解应为 C1cosx+C2sinx；同时 的特解应具有形式：y 1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得 A=0， 即 另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具有形式 y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得 D=0这样，即得所解方程的通解为 y(x)= +C1cosx+C2sinx，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 曲边扇形的面
19、积公式为 又弧微分 ，于是由题设有(它与原方程等价，在(*)式中令 =0 等式自然成立，不必另加条件)注意到为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知 C=一 6，所以曲线 L 的方程为【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 设 L 的方程为 y=y(x)，过点 M(x，y(x) 的切线与 y 轴的交点为A(0，y(x)一 xy(x)，又 =x2+y(x)一(y(x) 一 xy(x)2 =x2+x2y2， =(y 一xy)2，按题意得 x2+x2y2=(y 一 xy)2，即 2xyy一 y2=一 x2这是伯努利方程(也是齐次方程)对 z=y2 而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子 ，得【知识
20、模块】 常微分方程24 【正确答案】 温度变化的速率即 牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： =一 k(T 一 T0)其中 k 为比例常数，且 k0其通解为 T=T0+Ce-kt再由题设：T 0=20，T(0)=100 ，T(24)=50，所以这样，温度即在 158 小时后热水的温度降为 95【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 由于 ，所以，此方程是一个既不显含自变量 t，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法，可以令 v 为未知函数，得到 v所满足的一阶线性方程，
21、这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是y 与 v 的关系，注意 所以应将方程改写为再由题设，其初始条件应为 v|y=0=0，由此可定出 ，故所求的关系【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 首先建立坐标系，如图 63 所示，x 轴为桥墩中心轴，y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(x)满足的方程由于顶面的压强也为 p，则顶面承受的压力为 F=pa2 考察中心轴上点x 处的水平截面上所受总压力，它应等于压强截面积=py 2(x)，另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pa 2+xhy2(s)ds于是得 py 2(x)=pa2+xhy2(
22、s)ds 再将积分方程转化为微分方程的初值问题将上述方程两边对x 求导得 2pyy=一 y2又在(*) 式中令 x=h 得 y(h)=a，于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 (I)属变量可分离的方程，分离变量改写为两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)一x.cos(lnx).=xsin(lnx)一cos(lnx)dx，所以通解为 ln|y|=xsin(lnx)+ax+C1，或 Y=Cexsin(lnx)+ax，其中 C1，C 为任意常数 ( )属齐次方程令 y=xu，并且当 x0 时，原方程可化为 两端求
23、积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+C，其中 C 为任意常数当 x0 时，上述方程变为 =一 ln|x|+C，其中 C 为任意常数 所得的通解公式也可以统一为 y=|x|sin(ln|x|+C)此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解 u=1，即 y=x【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 (I)该方程属于 =f(ax+by)的情形令 u=2x 一 y，则原方程化为这也是一个变量可分离的方程，即积分即得其通解为(2x 一 y 一 3)2=Cey-x，其中 C为任意非负常数() 该方程属于 的情形解线性方程组 其解为(3，一 2)令 u=x 一
24、 3，v=y+2，则原方程化为这是一个齐次方程，再令两端求积分，即得 ln|z|+2arctanz=一 ln|u|+C1 v=Ce -2arctanx 所以，其通解为 其中 C为任意常数【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 经计算容易验证：所以它是全微分方程，然而，由于方程中含 lnx，则只能在半平面 x0 上考虑为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿 x 轴积到点(x，0) ，然后再沿横坐标为 x 的直线积到点(x，y)，有 于是即得其通解为 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 此方程不显含 x，令 P=y，并以 y 为自变量，则 并且方程变为
25、其解为 1+p2=Cy2代入初始条件，可知C=1，即 p2=y2=y21，从而 这是一个变量分离的方程，两端求积分并代入初始条件则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 (I)对应齐次方程的特征方程为 2 一 7+12=0，它有两个互异的实根 1=3 与 2=4，所以，其通解为 =C1e3x+C2e4x，其中 C1 与 C2 是两个任意常数由于 0 不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y*(x)=Ax+B代入方程可得 A= 所以，原方程的通解为代入初始条件，则得因此所求的特解为()由于对应齐次微分方程的特征根为ai，所以其通解为 y(x)=
26、C1cosax+C2sinax求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为 Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得所以，通解为 +C1cosax+C2sinax，其中C1，C 2 是两个任意常数当 a=b 时，特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 原方程的通解为 y(x)= +C1cosax+C2sinax，其中C1，C 2 是两个任意常数()这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为 3+2+1=0，分解得(+1)( 2+1)=0，其特征根为 1=一 1， 2,3=i，所以方程的通解为 y(x)=C1e-x+C2cosx
27、+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 方程两端同乘 x，使之变为欧拉方程 x2y”一 xy=x3令 x=et，则代入原方程，则有这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为其中 C1，C 2 是两个任意常数【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y =usecx+usecxtanx， y“=u“seex+2usecxtanx+usecxtan2x+usex3x代入原方程，则得 u“+4u=ex这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 代回到原未知函数，则有 其中 C1，C 2 是两个任
28、意常数【知识模块】 常微分方程34 【正确答案】 将原方程改写为 f(x)=xsinxx0xf(t)dt+0xtf(t)dt 因为 f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f(x)也可微两端对 x 求导，又原式中令 x=0，则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx 0xf(t)dt，f(0)=0 同理，方程右端仍可微，所以 f(x)存在二阶导数，再将 中的方程两边求导并令 x=0，则得等价于 f”(x)=一 xsinx+2cosx 一 f(x)，f(0)=0，f(0)=0即 y=f(x)满足微分方程的初值问题 y”+y=一 xsinx+2cosx，y(0)=0 ，y(0)=
29、0 由于此方程的特征根为 i，所以其特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx代入方程，求出系数A，B，C ，D，则得其特解为 进而方程的通解为由 f(0)=0 可知 C1=0，而由 f(0)=0又可推出 C2=0，所以 f(x)=【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 (I)先求再将求导，得将，代入原方程得()题(I) 已把原方程转化为，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程 2+2+1=0，有重根 =一 1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得 一(Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asint+Bc
30、ost)=2sint 即 AcostBsint=sint比较系数得 A=0，B=一 1，即 y*(t)=一 cost因此的通解为 y=(c 1+c2t)e-t 一 cost原方程的通解为【知识模块】 常微分方程36 【正确答案】 此线性方程的通解即所有解可表示为 y(x)=e-kxC+0xf(t)ektdt?y(x)以 为周期，即 y(x)=y(x+)，亦即 e -kxC+0xf(t)ektdt=e-kx-kC+0x+f(t)ektdt C+0xf(t)ektdt=e-kC+0x+f(t)ektdt e-kC+-xf(s+)eks+kds =Ce-k+-0f(s)eksds+0xf(s)eksds对应于这个 C 的特解就是以 为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个【知识模块】 常微分方程
