1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为 ( )（A）f(x)sinx（B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）f(x)2 设当 xx 0 时，(x)，(x)都是无穷小(x)0)，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B）（C） ln1+().2(x)（D）(x)+(x)3 设当 x0 时，e tanxex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为（A）1（B） 2（C）
2、3（D）44 当 x0 时，f(x)=xsin ax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 ( )（A）（B）（C）（D）5 若 在(一，+) 上连续，且 则 ( )（A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k06 设当 x0 时，有 ax3 bx2cx ，则 ( )（A）a ， b1，c 0（B） a ，b1，c 0（C） a ，b1，c 0（D）a0， b2，c 07 设 f(x) ，g(x)x 3x 4，当 x0 时， f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小8 设 ，则当 x0 时，f(x)是
3、 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小二、填空题9 若当 x0 时，有 则 =_10 当 x0 时，若有 ，则 A=_，k=_11 当 x 时，若有 ,则 A=_，k=_ 12 若 是(一，+)上的连续函数，则a=_13 已知数列三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x) ，求 f(x)的间断点并指出其类型15 求函数 的反函数16 求极限17 求极限18 证明：19 设 f(x)a 1ln(1x)a 2ln(12x)a nln(1nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有f(x)e x 一 1证
4、明：a 12a 2na n120 求极限21 设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x0，作 xn1 f(x n)(n0， 1，2，) ，证明： 存在且满足方程 f(x)x22 56设 f(x)在a，)上连续，且 存在证明：f(x)在a，)上有界23 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i1，2，n)，任取ki0(i1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k 1 k2k n)f()24 求极限25 求极限26 求极限27 求极限 ;ai0，且 ai1，i=1，2，n，n228 求极限29 设30 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有
5、f(x+2)=f(x)+f(2)，又 x(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在点 x0 处连续，则 f(x)=If(x)+sinx一 sinx 在点 x0 处也连续，与已知矛盾连续若设 f(x)在点 x=0 处间断，但 f2(x)=1，f(x) =1 在 x=0 处都连续故可排除 A，C ，D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量【知识
6、模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 则 n=3 时，【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 由泰勒公式【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零，故 0； ，故 k0【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 x0 时，ax 3bx 2cx ，所以，显然 c0，再由得 a0，b2，选(D)【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分二、填空题9 【正确答案】 一
7、3【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 故【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时，【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 1【试题解析】 f(x)在零点处连续，可得【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 首先其次 f(x)的间断点为 xk(k0，1，)，因为 e，所以 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，xk(k1 ，) 为函数 f(x)的第二类间断点。
8、【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 当 x1，2 时有 当 x2，3时有当 xn，n1 时有 从而有又当 x1，2时，当 x2，3 时， 当 xn 一1，n时， 从而有故于是 由夹逼定理得【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 当 x0 时，由f(x)e x 一 1得 ，【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 x n1 一 xnf(x n)一 f(xn1 )f( n)(xn 一 xn1 )，
9、因为 f(x)0，所以xn1 一 xn 与 xn 一 xn1 同号，故x n单调即x n有界，于是 存在，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn1 f(x n)两边令n，得 ，原命题得证【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 设 A，取 01，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时， f(x)一 A1， 从而有 f(x) A1 又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质， 存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k 取 MmaxA1，k)，对一切的 xa，)，有f(x)M【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上
10、连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i)M(i1，2，n)， 注意到 ki0(i 1，2，n)， 所以有 k imkif(xi)kiM(i1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k1k 2k n)mk1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k1k 2k n)M， 即， 由介值定理，存在 a，b，使得 即 k1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k 1 k2k n)f()【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 原极限=【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令从而原式=【知
11、识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 此题为 型未定式，若用洛必达法则，则连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形分子分母同乘【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 原极限等价于求由拉格朗日中值定理可得【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 因为【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 m【试题解析】 令 x=一 1，则 f(1)=f(-1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一 f(-1)=2f(1)一 2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=一 f(-n)=一(一 m)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续
