1、考研数学一（无穷级数）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1987 年) 设常数 k0，则级数（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛或者发散与 k 的取值有关2 (1988 年) 若 在 x=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定3 (1989 年) 设函数 f(x)=x2，0x1，而 其中n=1，2，3，则 为 4 (1990 年) 设 为常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 取值有关5 (1991 年) 已知级数 则级数 等于（A
2、）3（B） 7（C） 8（D）96 (1992 年) 级数 (常数 a0)（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关7 (1994 年) 设常数 0，且级数 收敛，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关8 (1995 年) 设 则级数9 (1996 年) 设 a20(n=1，2，)且 收敛，常数 则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关10 (1999 年) 设 其中则 等于 二、填空题11 (1988 年) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 (一 1，1 上的定义为则 f(x)的傅里叶(Fourier)级数在 x
3、=1 处收敛于_12 (1992 年) 设 则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 处收敛于 _13 (1993 年) 设函数 f(x)=x+x2 (一 x) 的傅里叶级数展开式为则其中系数 b3 的值为_14 (1995 年) 幂级数 的收敛半径 R=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (1987 年) 求幂级数 的收敛域，并求其和函数16 (1988 年) 求幂级数 的收敛域17 (1989 年) 将函数 展为 x 的幂级数18 (1990 年) 求幂级数 的收敛域，并求其和函数19 (1991 年) 将函数 f(x)=2+|x|(一 1x1)展开成以 2 为周期的
4、傅里叶级数，并由此求级数 的和20 (1993 年) 求级数 的和21 (1994 年) 将函数 展开成 x 的幂级数22 (1994 年) 设 f(x)在点 x=0 的某一邻域内具有二阶连续导数，且证明级数 绝对收敛23 (1995 年)将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数24 (1996 年) 求级数 的和24 (1997 年) 设 a1=2， 证明：25 存在；26 级数 收敛27 (1998 年) 设正项数列 an)单调减小，且 发散，试问级数是否收敛?并说明理由27 (1999 年) 设28 求29 试证：对任意的常数 0，级数 收敛30 (2000 年
5、) 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性考研数学一（无穷级数）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 又 和都收敛，则 收敛，而 由于 收敛， 发散，则发散 故原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 在 x=一 l 处收敛，则当|x1|一 11|=2 时，原幂级数绝对收敛，而|2 一 1|一 12，则原幂级数在 x=2 处绝对收敛【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 由 和 可知，S(x) 是由f(x)作奇延拓后展开的，则 所以应选(B
6、)【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 而 收敛，则 收敛，而发散，则级数 发散【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 则 又 【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 当 n时，而 收敛，则 收敛，故原级数绝对收敛【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由不等式 可知 而 和 均收敛，则 绝对收敛【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 是交错级数，且 单调减趋于零，则 收敛而 发散，则 发散，故应选(C)【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 A【试题解析】 则 与 同敛散 由原题设知正项
7、级数 收敛，则其偶数项构成的级数 也收敛，故原级数绝对收敛【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)是定义在0 ，1上的分段连续函数， S(x)是 f(x)作偶延拓后得到的傅里叶余弦展开式，且 S(x)定义在(一 ，+) 上以 2 为周期，由狄里克雷收敛定理知 【知识模块】 无穷级数二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由傅里叶级数的收敛定理知，在 x=1 处收敛于 【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 【试题解析】 由傅里叶级数的收敛定理可知，在 x= 处收敛于【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】
8、【试题解析】 解 1 由于该幂级数缺偶次项，则收敛半径 解 2 令 根据达朗贝尔判别法可知，当 时原级数收敛，即 原级数收敛，故收敛半径为【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 则收敛半径 R=2，该幂级数在(一 2，2) 内处处收敛 当 x=一 2 时，原级数为收敛 当 x=2 时，原级数为发散 则原级数的收敛域为一 2，2) 设 则 当 x0 时，当 x=0 时，由(*) 式可知 故 【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 由于 则 R=3，原幂级数在|x 一 3|3 即 0x6 处收敛 当 x=0 时，收敛 当 x=6 时， 发
9、散 故原幂级数收敛域为0，6) 【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 由于 则 两边积分得 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 由于 则 R=1，而当x=1 时，原级数显然发散，则原幂级数收敛域为(一 1，1) 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由于 f(x)=2+|x|是偶函数 bn=0， n=1，2 ， 由于所给函数在一 1，1 上满足收敛定理条件，则令 x=0 ， 从而 又 故 【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 其中 设 则 所以 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 解 1 因为且 f(0)=0，故 解 2 【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 证 1
10、 由于 则 由泰勒公式可知 再由题设可知 f“(x)在包含原点的某个闭区间一 ，( 0)上连续，则存在 M0，使|f“(x)|M，于是 令 当 n 充分大时，有 因为 收敛，所以级数 绝对收敛 证 2 由于 则 由洛必达法则可知从而有 由于 收敛，则不论 f“(0)是否为零，由收敛可得 收敛，即 绝对收敛【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 设 则 而 【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 因为 则 an 下有界又则 an 单调减，由数列单调有界准则可知 存在【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 由上题知 记 因为 存
11、在，则 存在，所以级数 收敛由比较判别法可知级数 收敛【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 由正项数列a n单调减少知极限 存在，令 则a0又由 发散知，a0，否则若 a=0，由莱布尼兹准则可知收敛既然 a0，则 a0 由根值法知，级数收敛【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 所以 【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 由于则 由 +11 知 收敛，从而 收敛【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 解 1 由于 则R=3，收敛区间为 (一 3，3) 当 x=3 时，且 发散，则原级数在 x=3 处发散 当 x=一 3 时， 且与 都收敛，所以原级数在 x=一 3 处收敛 解2 由于 而 则 以下同解 1【知识模块】 无穷级数
