1、考研数学一（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）0（B）一 （C） +（D）不存在但也不是2 设 f(x)=x 一 sinxcosxcos2x， 则当 x0 时 f(x)是g(x)的（A）高阶无穷小（B）低价无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 判断下列结论是否正确，并证明你的判断(I)若 xny n(nN)，且存在极限，则 AB；()设 f(x)在(a，b)有定义，又(a，b)使得极限 =A，则 f(x)在(a，b)有界；()若 =，则使得当 0
2、|x-a| 时 有界4 设 又 a0，问 a 为何值时 f(x)存在5 证明： 不存在6 7 求极限8 求下列极限：9 求10 求11 求12 求下列极限 ;13 求数列极限14 设15 求数列极限：(I) (M0 为常数) ； ()设数列x n有界，求16 设 f(x)在0，1上连续，求17 设 a10， an+1= (n=1，2，)，求18 设 x1=2， xn+1= n=1，2，求19 求20 求下列极限：21 求下列极限：22 求极限23 求下列极限：24 求下列极限：25 求26 设 f(x)在0，+)连续，且满足27 (I)设 f(x)，g(x)连续，且 求证：无穷小 0(x)f(
3、t)dt 0(x)g(t)dt (xa)；( )求28 已知 求 a，b 之值29 确定常数 a，b，c 的值，使30 求31 证明32 求33 设34 求数列极限35 当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n：(I) ()(1+tan2x)sinx 一 1；() () 0xsint.sin(1 一 cost)2dt36 设 0， 0 为任意正数，当 x+ 时将无穷小量： 按从低阶到高阶的顺序排列37 设 讨论 y=fg(x) 的连续性，若有间断点并指出类型考研数学一（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
4、求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 故要分别考察左、右极限由于因此应选(D) 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 C【试题解析】 由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 () 不正确在题设下只能保证 AB，不能保证 AB例如，则 xny n，而 ()不正确这时只能保证： 点 c 的一个空心邻域 U0(c，)=x|0|x 一 c|使 f(x)在 U0(c，)中有界，一般不能保证 f(x)在(a ，b)有界例如：f(x)= ， (a，b)=(0，1)，取定c
5、(0，1)，则 在(0， 1)无界()正确因为由存在极限的函数的局部有界性 使得当 0|x 一 a| 时 有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 由f(0+0)=f(0 一 0)，得 a=因此，当且仅当 a= 时，存在【知识模块】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】 (I) ，则均有 xn0，y n0(n)，但 ()已知其中 g(x)=0xcost2dt，由于【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x)2 得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8
6、【正确答案】 (I)注意 x0 时，【知识模块】 极限、连续与求极限的方法9 【正确答案】 属 型先作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换：x0 时最后用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法10 【正确答案】 属一型先通分化成 型未定式，则有直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明 x(x0)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用 ln(1+x)x(x0)就有【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 由 用等价无穷小因子替换得【知识模
7、块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 (I)存在自然数 k，kM，使 当nk 时，有()由于x n有界，故 ，对一切 n 有|x n|M于是 ，由题(I)的结论及夹逼定理知【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 因为 01xndx= 且连续函数|f(x)|在0，1存在最大值记为 M，于是| 01xnf(x)dx|01xn|f(x)|dxM01xndx= 又【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 显然，0a n3(n=2，3，)，于是a n有界令(x0
8、)于是 f(x)在 x0单调上升，从而a n是单凋有界的，故极限 对递归方程取极限得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 令 f(x)= 则 xn+1=f(xn)显然 f(x)在 x0 单调下降，因而由上面的结论可知x n不具单调性易知， 2xn ，则由递归方程得 即 a2一 2a 一 1=0，【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 x0 时，t=(1+x) x 一 10，则(1+x) x-1=t-ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 (I)恒等变形：分子、分
9、母同乘 然后再同除x2，得()恒等变形：分子、分母同除一 x(x0，一 x=|x|= )，得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 这是求 型极限，用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 属.0 型可化为 型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 (I)属一 型先化成 型未定式，即 作等价无穷小因子替换与恒等变形再用洛必达法则即得()属一型先作变量替换并转化成 型未定式，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 (I)属 00 型()属 1型故=e2因此 =
10、e-1( )属 0 型利用恒等变形及基本极限 可得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 先用等价无穷小关系 arctan4xx 4(x0)化简分母后再用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 先作恒等变形转化为求 型极限，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法27 【正确答案】 (I)由0(x)f(t)dt 0(x)g(t)dt (xa)()因 ln(1+2sinx)2sinx 2x(x0)，由题(I),0xln(1+2sint)dt 0x2tdt=x2因此，利用等价无穷小因子替换即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法28
11、【正确答案】 原式可改写成 由于该式成立，所以必有 即 a=9将 a=9 代入原式，并有理化得由此得 b=一 12故 a=9，b=一 12【知识模块】 极限、连续与求极限的方法29 【正确答案】 由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax2+bx+1 一 e-2x0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 故必有 c=0由于故必有a=4综合得 a=4，b=一 2，c=0 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法30 【正确答案】 作恒等变形后再作放大与缩小：【知识模块】 极限、连续与求极限的方法31 【正确答案】 先对积分 cosnxdx 建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方
12、法是先对原积分进行分部积分【知识模块】 极限、连续与求极限的方法32 【正确答案】 记 是 f(x)=tanx 在0，1区间上的一个积分和由于 f(x)在0 ，1上连续，故可积，于是因此，我们对 xn 用适当放大缩小法，将求 ，转化为求积分和的极限因【知识模块】 极限、连续与求极限的方法33 【正确答案】 先取对数化为和式的极限 ln(n2+i2)一 4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是 f(x)=ln(1+x2)在0， 2区间上的一个积分和(对0 ，2区间作 2n 等分，每个小区间长 )，则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法34 【正确答案】 先用等价无穷小因子替
13、换：现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法35 【正确答案】 (I) 一 1x 42x2一 2x2 (x0)，即当 x0 时 1 是 x 的 2 阶无穷小，故 n=2()(1+tan 2x)sinx 一 1ln(1+tan 2x)sinx 一 1+1 =sinxln(1+tan2x)sinxtan 2xx.x 2=x3 (x0)，即当 x0 时(1+tan 2x)sinx 一 1 是 x 的 3阶无穷小，故 n=3()由是 x 的 4阶无穷小，即当 x0 时 是 x 的 4 阶无穷小，故 n=4即当 x0时 0xsintsin(1 一 cost)2dt 是 x 的 6 阶无穷小，故 n=6【知识模块】 极限、连续与求极限的方法36 【正确答案】 因此，当 x+时，按从低阶到高阶的顺序排列为【知识模块】 极限、连续与求极限的方法37 【正确答案】 先写出 fg(x)的表达式考察 g(x)的值域：当 x1，2，5时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5 时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时，从而 fg(x)在 x=1 不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
