1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下命题正确的是( ) （A）若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立（B）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥（C）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立（D）A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=02 连续独立地投两次硬币，令 A1=第一次出现正面，A 2=第二次出现正面，A3=两次中一次正面一次反面 ，A 4=两次都出现正面，则( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A1，
2、A 2，A 3 两两独立（C） A2，A 3，A 4 相互独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立3 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(z)，F Y(y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=FX(2)FY(z)（C） FZ(z)=maxFX(z)，F Y(z)（D）F Z(z)=FY(z)4 设随机变量 XU1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（A）1（B） 0（C） 12（D）15 从正态总体 XN(0， 2)中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，则
3、可作为参数2 的无偏估计量的是( )二、填空题6 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 P=_。7 随机向区域 D：0y (a0) 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 4 的概率为_8 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=_时，成功次数的标准差最大，其最大值为_9 设(X，Y) 的联合分布函数为 F(x，y)= 则P9(maxX，Y1)=_10 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 13，且 E(X)=0，E(Y)=1 ，E(X 2)=4，E(Y 2)=10
4、，则 E(X+Y)2=_11 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，S 2=，则 D(S2)=_12 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体的简单样本，其中参数 ，未知，令 ，则假设 H0：=0 的 t 检验使用统计量_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 5013 甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；14 甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率15 设事件 A，B 独立证明：事件 A， 都是独立的事件组16 设 X 的密度函数
5、为 fX(x)= (x+)，求 Y=1 的密度 fY(y)17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处17 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)=18 求 P(X2Y)；19 设 Z=X+Y，求 Z 的概率密度函数20 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，Y N(0 ，12)，Z=|XY|，求 E(Z)，D(Z)20 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)=12e |x|( x+)21 求 E(X)，D(X)，22 求 Cov(X，|X|) ，问 X，
6、|X| 是否不相关?23 问 X，|X|是否相互独立?24 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Z=maxX，Y，求E(Z)25 设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9， XY=12，用切比雪夫不等式估计 P|X+Y3|1026 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，令 T=，求 E(X1T)考研数学一（概率统计）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 P(A)0，P(B) 0 时，事件 A， B 独立与互斥
7、是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则P(AB)=0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 P(A 1)=P(A2)=12，P(A 3)=P(A， =12，P(A 4)=14， P(A1A2)=14，P(A 1A3)=P(A1)=14，P(A 2A3)=P( A2)=14，因为 P(A3A4)=0，所以 A2，A 3，A 4 不两两独立，(C)、(D)不对；因为 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)，所以 A1，A
8、 2，A 3 两两独立但不相互独立，选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=P(maxX，Yz)=P(Xz，Yz) =P(Xz)P(Yz)=F X(z)FY(z)，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 当 PY=aX+b=1(a0)时， XY=1；当 PY=aX+b=1(a0)时，XY= 1因为 arcsinx+arccox=2(1x1)，即 U+V=2 或 U=V+ ，所以 UV=1，选(A) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 E(1n Xi2)1=1n E(Xi2)=2，所以 1n Xi
9、2 为 2 的无偏估计量，选(A) 【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 04【试题解析】 因为 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) ，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=0 6，所以 P(AB)=02又因为 P( B)=P(B) P(AB)，P(A )=P(A)P(AB)，所以 P( )=P(A)+P(B)2P(AB)=0804=04【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 半圆的面积为 S=2a 2，落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于4 的区域记为 D1，所求概率为【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 12，5【试题解析】 设成功的次数为 X，则
10、 XB(100，p)，D(X)=100p(1p) ，标准差为 令 f(p)=p(1p)(0p1)，由 f(p)=12p=0 得 p=12，因为f“(12)=20，所以 p=12 为 f(p)的最大值点，当 p=12 时，成功次数的标准差最大，最大值为 5【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 e 2 +e3 e 5【试题解析】 由 FX(x)=F(x，+)= 得 XE(2)，同理 YE(3)，且X，Y 独立P(maxX ，yY1)=P(X1 或 Y1)=1 P(X1，Y1)=1P(X1)P(Y1)=1F X(1)FY(1)=1(1e 2 )(1e 3 )=e2 +e3 e 5 【知识模块】 概
11、率统计10 【正确答案】 18【试题解析】 D(X)=E(X 2)E(X) 2=4，D(Y)=E(Y 2)E(Y) 2=9，Cov(X，Y)=XY =2D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+4=17 ，则E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2=17+1=18【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 因为 2(n1)，所以【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 在 未知的情况下，对参数 进行假设检验选用统计量【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 设 A=甲击中目
12、标 ，B= 乙击中目标 ，C=击中目标，则C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=06+05 0605=08【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 设 A1=选中甲 ，A 2=选中乙 ，B=目标被击中 ，则 P(A1)=P(A2)=12，P(B|A 1)=06，P(B|A 2)=05，P(A 1|B)【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)，由 P(A )=P(AB)=P(A)P(AB)=P(A) P(A)P(B)=P(A)1P(B)=P(A)P( )，得 A， 独立，同理可证
13、，B 独立；由 P( )=1P(A+B)=1P(A)P(B)+P(AB)=1 P(A)1P(B)=P( 独立【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(1 y)=P(X(1y) 3)=1P(X(1y) 3)fY(y)=FY(y)(y+) 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 由 p11+p21=p1 得 p11=124， 因为 X，Y 相互独立，所以p1 p 1=p11，于是 p1 =14， 由 p1 p2 =p12 得 p2 =12，再由 p12+p22=p2 得p22=3 8， 由 p11+p12+p13=p1 得 p13=112，再由 p1 p3 =p13
14、 得 p3 =13， 由p13+p23=p3 得 p23=14，再由 p1 +p2 =1 得 p2 =34【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 PX2Y= f(x，y)dxdy= 012 dy2y1(2xy)dx=724【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 F Z(z)=P(Zz)=P(X+Yz)= f(x，y)dxdy当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z1 时，F Z(z)=0zdy0zy (2xy)dx=z 2 当 1z2 时，F Z(z)=1 z 11dyzy 1(2xy)dx=1 当 z2 时，F Z(z)=1【知识模块】 概率统计20 【正确答案】
15、令 U=XY，因为 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，YN(0 ，12) ，所以 U N(0，1) u+E(Z2)=E(U2)=D(U)+E(U)2=1 D(Z)=E(Z2)E(Z) 2=1【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 E(X)= +xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2)E(X) 2= +x2f(x)dx=0+x2ex dx=(3)=2【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 Cov(X，|X|)=EX|X| E(X)E|X|=EX|X| = +x|x|f(x)dx=0， 所以 X，|X|不相关【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 对任意
16、的 a0，PXa ，|X|a=P|X|a，而 0P(Xa)1，所以 PXa，|X|aP|X|aP(Xa)，故|X|，X 不相互独立【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 X，Y 都服从 N(， 2)分布，所以且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=V+，故 Z=maxX，Y=maxU，V+，由 U，V 相互独立得(U， V)的联合密度函数为于是 E(Z)=EmaxU， V+而 EmaxU，V= +du +maxu，vf(u ，v)dv故 E(Z)=E(maxU， V)+= +【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3，D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2( 12)23=7 ，于是 P|X+Y3|10=P|UE(U)|107100【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以有 E(X1T)=E(X2T)=E(XnT) E(X1T)=1nE(X 1+x2+Xn)T=E( T)(n1)E( S2)=(n1)E( )E(S2)=(n1) 2【知识模块】 概率统计
