1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 是相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( ) 2 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（A）F(a+)+F(a 一 )=1（B） F(+a)+F( 一 a)=1（C） F(a)+F(一 a)=1（D）F(a )+F(a)=13 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa ，Yy)，则下列结论正确的是( ) （A）1 一 F(a，y)（B） 1 一 F(
2、一 a，y 一 0)（C） F(+，y 一 0)一 F(一 a，y 一 0)（D）F(+， y)一 F(一 a，y)4 设随机变量 XU0，2，Y=X 2，则 X，Y( )（A）相关且相互独立（B）不相互独立但不相关（C）不相关且相互独立（D）相关但不相互独立5 设 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2， ，X n，满足辛钦大数定律的条件是( ) （A）X 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与方差（B） X1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望（C） X1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量（D）X 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量6 设(X 1，
3、X 2，X 3)为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（A） +X3（B） kX12+(1k)X 22+X32（C） X12+2X22+X32（D）7 设总体 XN(， 2)，其中 2 未知，s 2= ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1 一 的置信区间为 ( )二、填空题8 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=07，P(A B)=03，则=_9 从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a11 的概率为 ，则 n=_10 设 XN(2， 2)，且 P(2X4)=04，则 P(X0)=_11 设随机变量 X 的概率密度函数为 fX(x)= ，则 Y=2X 的密度
4、函数为fY(y)=_12 设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2)= ，则n=_，p=_13 若随机变量 XN(2， 2)，且 P(2X4)=03，则 P(X0)=_14 设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 EXY=_ ，DX Y=_ 15 设总体 XN(2，4 2)，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( 一 2)2_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 10 件产品中 4 件为次品，6 件为正品，现抽取 2 件产品16 求第一件为正品，第二件为次品的概率；17 在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；18 逐个抽取，求第二件为正品的
5、概率19 设 XU(0，2) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数19 设 X，Y 的概率分布为 ，且 P(XY=0)=120 求(X，Y)的联合分布；21 X，Y 是否独立?22 设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，yN(0 ，1)，求 Z=2XY+3 的密度22 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= 23 求 c；24 求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?25 求 Z=max(X，Y)的密度26 设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差26 设随机变
6、量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2)，再设 U=aX+bY，V=aX 一bY，其中 a， b 为不相等的常数求：27 E(U)，E(V)，D(U) ，D(V) ， UV；28 设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系29 设总体 XN(0，2 2)，X 1，X 2，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量U= 所服从的分布及自由度30 一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布 N(， 2)，任取 9 袋测得其平均重量为 =99078，样本方差为 s2=1143 2，求 的置信度为 095 的置信区间考研数学一（概率统计）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出
7、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B，C 相互独立，所以它们的对立事件也相互独立，故与 C 相互独立，【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 F(a+)F( 一 a)= =1，选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P( 一 Xa，Yy)=P(X 一 a，Yy)，因为 P(Yy)=P(X一a，Yy) P(X一 a，Yy) ，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一a，Yy)=F(+，y 一 0)一 F(一 a，y0)，选(C)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D
8、【试题解析】 由 XU0，2得 fX(x)= E(X)=1，E(Y)=E(X 2)= 02x2dx= ，E(XY)=E(X 3)= 02x3dx=2，因为 E(XY)E(X)E(Y)，所以 X，Y 一定相关，故 X，Y 不独立，选(D)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 根据辛钦大数定律的条件，应选(B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 因为统计量为样本的无参函数，故选(B)【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 2 未知，所以选用统计量 t= t(n 一 1)，故 的置信度为 1 一 的置信区间为 ，选(D) 【知识模块】 概率
9、统计二、填空题8 【正确答案】 06【试题解析】 由 P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)=03 及 P(A)=07，得 P(AB)=04，则 =1P(AB)=06【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 9【试题解析】 n 阶行列式有 n！项，不含 a11 的项有 (n 一 1)(n 一 1)！个，则，则 n=9【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 01【试题解析】 由 P(2X4)= =04，得=09，则 P(X0)= =01【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 因为 FY(y)=P(Yy)= ，所以 fY(y)=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 n=15，
10、p=【试题解析】 因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2)=D(X)+E(X)2=np(1 一 p)+n2p2，所以 np=5，np(1 一 p)n 2p2= ，解得 n=15，p= 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 02【试题解析】 由 P(2X4)=03 得=08，则 P(X0)=02【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 2，2 ；【试题解析】 令 Z=XY，则 ZN(0，2)，f Z(z)= (一z+) EXY=EZ= zf Z(z)dz=因为 E(Z 2)=E(Z2)=D(Z)+E(Z)2=2，所以 D(Z)=E(Z 2)一E(Z) 2=2 一 【知
11、识模块】 概率统计15 【正确答案】 ( 2) 2 2(1)【试题解析】 因为 2(1)【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 令 Ai=第 i 次取到正品(i=1 ，2)，则【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 P(A 2)=P(A1A2+ )=P(A1)P(A2A 1)+ =【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 f Y(x)= F Y(y)=P(Yy)=P(X2y)当 y0 时，FY(y)=0；【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 因为 P(
12、XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0 ，P(X=一 1，Y=0)=P(X= 一 1)= ，P(X=1，Y=0)=P(X=1)= ，P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= (X，Y) 的联合分布律为：【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)= ，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(Y)+3=5，D(Z)=4D
13、(X)+D(Y)=9，则 Z 的密度函数为 fZ(z)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 1=c 0 dx0 xex(y1) dy=c c=1【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时， fX(x)=0 xex(y1) dy=ex 当y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0 ex(y1) dx= 显然当x0，y0 时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0 时，F Z(z)=P(Zz)=P(maxX
14、，Yz)=P(Xz，Yz)= 0zdx0zxex(y1) dy=1e z ，则 fZ(z)=【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 显然 XB(10，p)，其中 p=P(16L22)，因为 LN(18，4)，所以 N(0，1) 所以 p=P(16L22)=P(一 1 2)=(2)一 (一 1)=(2)+(1)一 1=0 8185，因此 E(X)=np=1008185=8185，D(X)=npq=1008185(108185)=14856【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 E(U)=E(aXbY)=0，E(V)=E(aXbY)=0，D(U)=D(V)=(a 2b 2
15、)2cov(U，V)=Cov(aX+bY ，aXbY)=a 2D(X)一 b2D(Y)=(a2 一 b2)2【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 U，V 不相关 a =b【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 因为 X1，X 2，X 20 相互独立且与总体 XN(0，2 2)服从同样的分布，所以 (X12+X22+X202) 2(20)，同理 (X212+X222+X302) 2(10)，且 (X12+X22+X202)与 (X212+X222+X302)相互独立，【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 因为 2 未知，所以选择统计量=t0025 (8)=2由 P(一231 231)=095，得 的置信度为 095 的置信区间为【知识模块】 概率统计
