1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( )2 设 0P(C)1，且 P(ABC)P(AC)P(BC)，则下列正确的是( )（A）（B） P(ACBC)P(AC)P(BC)（C） P(AB)P(A C)P(B C)（D）P(C)P(A)P(C A)P(B)P(C A)3 以下命题正确的是( )（A）若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立（B）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥（C）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，
2、则 A，B 一定独立（D）A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)0 或 P(B)04 设事件 A，C 独立，B ， C 也独立，且 A，B 不相容，则 ( )（A）AB 与 独立（B） AB 与 C 不相容（C） AB 与 不独立（D）AB 与 对立5 若事件 A1，A 2，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立 （B） 两两独立（C） P(A1A2A3)P(A 1)P(A2)P(A3) （D） 相互独立6 下列命题不正确的是( )（A）若 P(A)0，则事件 A 与任意事件 B 独立（B）常数与任何随机变量独立（C）若 P(A)1，则事件 A 与任意
3、事件 B 独立（D）若 P(AB)P(A)P(B)，则事件 A，B 互不相容7 设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 ABB 不等价的是( ) 8 设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是 ( )（A）A 与 BC 相互独立（B） AB 与 AC 相互独立（C） AB 与 AC 相互独立（D）AB 与 AC 相互独立9 连续独立地投两次硬币，令 A1第一次出现正面)，A 2 第二次出现正面)，A3两次中一次正面一次反面)，A 4 两次都出现正面 )，则( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A1，A 2，A 3 两两独立（C） A2，A 3，A
4、4 相互独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立二、填空题10 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)P(B)08，P(AB)06，则_。11 设 A，B 是两个随机事件，P(AB)04，P(BA)04， 07，则 P(AB)_。12 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)04，P(B)05，P(AB) ，则 _。13 设 P(A)06， _14 独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 AX Y 10，BXY)，则 P(AB)_.15 设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 ，则 P(A)_16 随机向区域 D： 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域
5、的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为_17 一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_18 三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 ，则一次试验中 A 发生的概率为_19 设 10 件产品中有 4 件木合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_20 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p_时，成功次数的标准差最大，其最大值为_21 设每次试验成功的概率为 ，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_.
6、22 设随机变量 X 的概率密度为 的概率密度为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率24 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1kab) 25 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率26 某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第
7、 k 次才拨通对方电话的概率27 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率27 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 5028 甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；29 甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率30 设事件 A，B 独立证明：事件 是独立的事件组31 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)P(B)132 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(
8、1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q考研数学一（概率统计）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)0，于是有【知识模块】 概率统计部分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(ABC)P(A C)P(BC)，因为 P(ABC)P(AC)P(BC)一 P(ABC)，所以 P(ABC) 0，从而 P(ABC)0，故P(ACBC) P(AC)P(BC)一 P(ABC)P(AC) P(BC)，选(
9、B)【知识模块】 概率统计部分3 【正确答案】 D【试题解析】 当 P(A)0，P(B) 0 时，事件 A， B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则P(AB)0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)【知识模块】 概率统计部分4 【正确答案】 A【试题解析】 因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容， 【知识模块】 概率统计部分5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A1，A 2，A 3 两两独立，所以 也两两独立，但不一相互独立，选(B)【知识模块】 概
10、率统计部分6 【正确答案】 D【试题解析】 P(A)0 时，因为 ，所以 P(AB)0，于是 P(AB)P(A)P(B) ，即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)1，则 P(A)0，A，B 独立，则 A，B 也独立，因为 P(AB)P(A) P(B)，得 P(AB)0，但 AB 不一定是不可能事件，故选(D) 【知识模块】 概率统计部分7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分8 【正确答案】 A【试题解析】 在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)P(A)P(BC)，所以正确答案为
11、(A)【知识模块】 概率统计部分9 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分二、填空题10 【正确答案】 04【试题解析】 因为 P(AB)P(A) P(B)一 P(AB)，且 P(A)P(B)08，P(A B)06，所以 P(AB)02又因为 P(B)一 P(AB)，P(A)一 P(AB)，所以 P(A)P(B) 一 2P(AB)08 一0404【知识模块】 概率统计部分11 【正确答案】 【试题解析】 ，因为 P(AB)04，P(BA) 04，所以 P(A)P(B)且 P(AB)04P(A)，解得，于是 P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)【知识模块】 概率统计部分12
12、 【正确答案】 02【试题解析】 因为 P(AB) ，所以 A， B 相互独立，从而 相互独立，故 P(A)1 一 P(B)040502【知识模块】 概率统计部分13 【正确答案】 【试题解析】 由 P(AB)P(A) 一 P(AB)02 及 P(A)06 得 P(AB)04，再由 P(BA)P(B) 一 P(AB)03 得 P(B)07，所以【知识模块】 概率统计部分14 【正确答案】 【试题解析】 P(A)PX4，Y6)PX5，Y5)PX6，Y4 ， P(B) PX2，Y1PX3，Y1PX 3，Y 2PX4，Y3 PX4，Y2PX 4，Y 1 PX5，Y 4PX5，Y3 PX5，Y2PX
13、5，Y 1 PX6，Y 5PX6，Y4 PX6，Y3PX 6，Y 2 PX6，Y 1 P(AB)PX 6，Y4) ，则 P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)【知识模块】 概率统计部分15 【正确答案】 【试题解析】 根据题意得 ，因为 P(A)一 P(AB)，P(B) 一 P(AB)，所以 P(A)P(B)，再由独立得 P(A)一 P2(A) ，解得【知识模块】 概率统计部分16 【正确答案】 【试题解析】 半圆的面积为 ，落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的区域记为 D1，所求概率为 【知识模块】 概率统计部分17 【正确答案】 【试题解析】 令 Ai所取产品为 i 等品)(i1，2
14、，3) ，P(A 1)06，P(A 2)03，P(A 3)01，所求概率为【知识模块】 概率统计部分18 【正确答案】 【试题解析】 设一次试验中 A 发生的概率为 p，B三次试验中 A 至少发生一次) ，则 P(B) ，又 P(B)1 一 1 一(1 一 p)3，所以有 1 一(1p) 3 ，解得，即一次试验中 A 发生的概率为 【知识模块】 概率统计部分19 【正确答案】 【试题解析】 令 A 第一件产品合格 )，B 第二件产品合格)，则所求概率为【知识模块】 概率统计部分20 【正确答案】 5【试题解析】 设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，【知识模块】 概率统计部分21 【正确
15、答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分22 【正确答案】 【试题解析】 F y(y)P(Yy)P(X 2y)当 y0 时，F y(y)0；【知识模块】 概率统计部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 设 Ai第 i 本书正好在第 i 个位置 ，B至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 BA 1A 2A 3，且 【知识模块】 概率统计部分24 【正确答案】 基本事件数 n(ab)! ，设 Ak 第 k 次取到黑球)，则有利样本点数为 a(a b1)!，所以【知识模块】 概率统计部分25 【正确答案】 设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x
16、24，0y24)，【知识模块】 概率统计部分26 【正确答案】 令 Ak第 k 次拨通对方电话)(k1，2，10)，【知识模块】 概率统计部分27 【正确答案】 设 A1甲数为 5)，A 2 甲数为 10，A 3甲数为 15，B甲数大于乙数，【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分28 【正确答案】 设 A甲击中目标 ，B(乙击中目标，C(击中目标 ，则CAB ，P(C)P(A B)P(A)P(B)一 P(AB)P(A)P(B)一 P(A)P(B)0605060508【知识模块】 概率统计部分29 【正确答案】 设 A1选中甲 ，A 2选中乙，B 目标被击中，则【知识模块】 概率统
17、计部分30 【正确答案】 由 A，B 独立，得 P(AB)一 P(A)P(B)，由 P(AB)P(A)一 P(AB)P(A)一 P(A)P(B)P(A)1 一 P(B) ， 【知识模块】 概率统计部分31 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 ，于是 P(C)P(AB)，而 P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)1，所以有 P(AB)P(A)P(B) 一 1，于是 P(C)P(A)P(B) 1【知识模块】 概率统计部分32 【正确答案】 (1)设 Ai 所抽取的报名表为第 i 个地区的)(i1，2，3)， Bj 第 j 次取的报名表为男生报名表)(j1，2)，则【知识模块】 概率统计部分
