1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B、A+B、A 1+B1 均为 n 阶可逆方阵，则 (A1+B1)1=（A）A 1+B1（B） A+B（C） A(A+B)1B（D）(A+B) 1 2 设 n 维行向量 =( )，矩阵 A=IT，B=I+2 T，其中 I 为 n 阶单位矩阵，则 AB（A）O（B）一 I（C） I（D）I+ T3 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0。（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+
2、2b04 设矩阵 B= ，已知矩阵 A 相似于 B，则秩 (A 一 2E)与秩(A E)之和等于（A）2（B） 3（C） 4（D）55 设 其中 A 可逆，则 B1等于（A）A 1P1P2（B） P1A1P2（C） P1P2A1（D）P 2A1P16 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a1，a 2，a 3 为三个相等的正数，则 a11 为二、填空题7 设 则秩(AB)=_8 设 BO 满足 BA=O，则 t=_9 设 矩阵 B 满足 A2 一 AB=2B+4E，则 B=_10 设 n(n3)阶方阵 的秩为 n 一 1，则
3、a=_11 设 的伴随矩阵为 A*，且 A*BA=2BA 一 8E则矩阵B=_12 设 n2 为正整数，则 An 一 2An1=_13 设 A、B 分别为 m 阶和 n 阶方阵，且A=a ，B=b，则行列式=_14 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_15 设 A、B 均是 n 阶矩阵，且A2，B=一 3，A *为 A 的伴随矩阵，则行列式2A *B1=_16 设 B=(E+A)1(EA)，则(E+B) 1=_17 设 为 3 维列向量， T 是 的转量若 T= ，则T=_18 设三阶方阵 A、B 满足 A2BAB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A=，则行列式B=_1
4、9 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E 一T，B=E+ T，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_20 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵已知 AB=2A+B，B= ，则(A E)1=_21 设 A= ， B=P1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B20042A2=_22 设 A=(aij)33 是实正交矩阵，且 a11=1，b=(1 ，0， 0)T，则线性方程组 Ax=b 的解是_23 已知 1， 2 均为 2 维向量，矩阵 A=21+2， 12，= 1， 2，若行列式A=6，则B =_ 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤。24 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2=E，B 2=E，A+B=0，证明：A+B=024 设25 求 An(n=2，3，)；26 若方阵 B 满足 A2+AB 一 A=E，求矩阵 B27 设 A、B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，证明 A 一 E 可逆，并求(A E)128 没 A 为 mn 矩阵，证明：r(A)=n存在 nm 矩阵 C，使得 CA=E。29 设 A=(aij)为 n 阶方阵，证明：对任意的 n 维列向量 X都有 XTAX=0A 为反对称矩阵30 设实方阵 A=(aij)14 满足：(1)a ij=Aij(i，j=1，2 3，4其中 Aij 为 ai
6、j 的代数余子式)：(2)a 110求A31 设 A*是 A33 的伴随矩阵，A= 求行列式(3A) 1 一 2A*的值32 设 A*为 A 的伴随矩阵矩阵 B 满足 A*B=A1+2B求B33 设 3 阶矩阵 A 的逆阵为 A1= A*为 A 的伴随矩阵，求(A *)133 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量b 为常数记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，I 为 n 阶单位矩阵34 计算并化简 PQ；35 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1b36 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 足 3 阶单位阵求 X考研数学一（线性代数）历年真
7、题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由(A 1+B1)A(A+B)1B=(E+B1A)(A+B)1BB1(B+A)(A+B)1B=B1B=E，或 A(A+B)1B=B1(A+B)A11=(B1AA1+B1BA1)1=(B1+A1)1=(A1+B1)1 即知只有(C)正确【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(I 一 T)(I+2T)=I+2TT 一 2TT=I+T 一 2T(T)而 T+ 故得 AB=I【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1，知 A*至少有
8、一个元素 Aij=(一 1)i+1Mij0其中 Mij 为 A的(i，j)元素的余子式即 A 的一个 2 阶子式，故 r(A)2，又由0= A*= A2知A=0，故得，r(A)=2 由 0=A=(a+2b)(a 一 b)2，得a=b 或 a+2b=0，若 a=b则显然有 r(A)1，与 r(A)=2 矛盾，故 ab 且 a+2b=0【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P使 P1AP=B故有 P1(A 一 2E)P=P1AP2E=B 一 2E= ，P 1(AE)P=BE= ，利用相似矩阵有相同的秩得 r(A 一 2E)+r(AE)= =3+1=4【知识模块】
9、 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 利用初等变换与初等矩阵的关系可得 B=AP2P1故 B1=P1P1A1=P1P2A1【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 A【试题解析】 由比较 A*=AT 对应元素知 a=A，(i，j=1，2，3)，其中 A，为A ij中 aij 的代数余子式，利用行列式按行展开法则得A= a1j2=3a1120又由 A*=AT 两端取行列式得A 2=A，A=1，故得 3a112=1，a 11= 【知识模块】 矩阵二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 秩(AB)=秩(A)=2【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 t=一 3【试题解析】 BA=O 且 BO 时，必有A
10、=0【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 B=(A+2E) 1(A2 一 4E)=(A+2E)1(A+2E)(A 一 2E)=A 一 2E=【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 r(A)=n 一 1A=1+(n1)a(1 一 a)n10a= 或 a=1 而当a=1 时，有 r(A)=1；而当 a= 时，有 r(A)=n 一 1【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 B=8(2E A*)1A1=8A(2EA*)1=8(2AAA*)1=8(2AAE)1=8(2A+2E)=4(A+E)1=【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 O【试题解析】 因 A2=2A，故当
11、 n=2 时，A n 一 2An+1=A2 一 2A=O；当 n2 时，A n一 2An+1=An2(A2 一 2A)=An2O=O，故恒有 An 一 2An1=O(n2)【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 (一 1)mnAB【试题解析】 (一 1)mnab可用行列式的拉普拉斯展开法则或经 mn 次相邻两列的互换，得 =(一 1)mnAB【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 O【试题解析】 0当 r(A44)=2 时，A 中 3 阶子式全为零=A *=O【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 2A *B1=2 nA *B 1=2 nA n1B 1=一 【知识模块】 矩阵16 【正
12、确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) 1(EA)，两端左乘 E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+EA=2E (E+A)(E+B)=E(E+B) 1= 【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 3【试题解析】 设 = ，则 T= 故 T=a12+a22+a32=1+1+1=3【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 由题设方程解得(AE)B=E，两端取行列式，得 2B=1，故B=【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 T=2a2，及 E=AB=E+ T 一 T 一 (T)T=E+( 一 12a)T，得 一 12a=0，a=一 1【知识模块】 矩阵20 【
13、正确答案】 【试题解析】 由题设方程得(AE)B 一 2A=O，(AE)B 一 2(AE)=2E，(A E)(B 一 2E)=2E，(AE) 1= 【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 由于 A2= ，A 4=(A2)2=E，A 2004=(A4)501=E501=E故 B2004 一 2A2=P1A2004P 一 2A2=E 一 2A2=【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 【试题解析】 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A=，又 A1=AT，故方程组 Ax=b 的解为 x=A1b=ATb=【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 一 2【试题解析】 A=2 12
14、， 12=1， 2 两端取行列式，得 A=B( 一 3)因A=6得B=一 2【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 由条件知A=1，B=1，且A=一B AB =一 1。故A+B= AE+EB=AB 2+A2B=A(B+A)B=AB+A B= 一A+BA+B=0【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 A 2=4E故 A2k=(A2)k=(4E)k=4kE，A 2k+1=A2kA=4kA(k=1，2，)【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 由 A2=4EA 1= AB=A 1(EAA2)=A1+EA=。【知识模块】 矩阵27 【正确答
15、案】 (AE)(BE)=E(AE) 1=BE【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 若 r(A)=n，则存在可逆矩阵 Pnm 及 Qnn，使 PAQ= 为 A 的秩标准形PA= ，两端左乘Q O，得Q OPA=E n，故 C=Q 0P，使得 CA=En。反之，若存在 Cnm，使得 CA=En，则 n=r(En)=r(CA)r(A)r(A)=n【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 必要性：取 X=j=(0，0，1， 0，0) T(第 j 个分量为 1，其余分量全为零的 n 维列向量)，则由 0=jTAj=ajj，及 ij 时，有 0=(i+j)TA(i+j)=iTAi+iTAj+jTAi+jTAj
16、=0+aij+aji+0=aij+aji，可知 A 为反对称矩阵充分性：若AT=一 A，则 XTATX=一 XTAX，又 XTATX 为 1 阶方阵其转置不变，因而有XTATX=(XTATX)T=XTAXX TAX=一 XTAX2X TAX=0X TAX=0【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 A=1【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 由 A*= AA 1= A1，及A 1= =2，得(3A) 1 一2A*= 【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 利用 AA*=AE=4E，用 A 左乘方程两端，得4B=E+2AB，(4E 一 2A)B=F，B=(4F 一 2A)1= 【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 (A *)1= A=A 1(A 1)1= 【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 PQ= 【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 由(1)得 PQ=A 2(b 一 1A1)，而 PQ=PQ且由条件知 P=A0Q = A(b 一 TA1)，因而 Q 可逆Q0b TA1【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 由题设等式得(AB)X(AB)=E故 X=(AB)1(AB)1=【知识模块】 矩阵
