1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1= ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 3（D） 2， 3， 4 2 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 c 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 3 设 1， 2， 3 均
2、为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件 4 设咒阶方阵 A 的秩为 r，且 rn，则在 A 的 n 个行向量中（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量均可构成极大线性无关组（C）任意 r 个行向量均线性无关（D）任一行向量均可由其它 r 个行向量线性表示 5 向量组()： 1， 2， ， m 线性无关的充分条件是()中（A）每个向量均不是零向量（B）任意两个向量的分量都不成比例（C）任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量
3、线性表示（D）有一部分向量线性无关 6 设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=mn，E 为 m 阶单位阵，则（A）A 的任意 m 个向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式都不为 0（C）若 BA=O，则 B=O（D）经初等行变换，可将 A 化为(E mO)的形式 7 设有两组 n 维向量 1， 2， m 与 1， 2， m，若存在两组不全为零的数1， 2， m 和 k1，k 2，k n，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1 一 k1)1+( m一 km)m=0，则（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1+1， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性相关（C） 1，
4、m 和 1， m 都线性无关（D） 1+1， ， m+m， 11， mm 线性无关 8 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m1，则（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示 9 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） 1+2， 2+3， 1+22+3。（B） 1+2， 2+3， 3 一 1（C） 1+22，2 2+
5、33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+5253 10 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示 11 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关则对于任意一组不全为零的数，k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要
6、条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 二、填空题12 若向量组 1=(1，1，2，一 2)， 2=(1，3，一 x，一 2x)， 3=(1，一 1，6，0)的秩为 2，则 x=_13 向量空间 w=(x，2y，0) TR3x，yR)的维数为_14 设向量组 1=(2，1，1，1)， 2=(2，1，a ，a)， 3=(3，2，1，a)，4=(4， 3，2， 1)线性相关，且 a1，a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设向量组 1， 2， 3 为 R。的一个基 1=21+2k3， 2=22， 3=1+(k+1)315
7、 证明向量 1， 2， 3 为 R3 的一个基；16 当 k 为何值时，存在非零向量 在基 1， 2， 3 与 1， 2， 3 下的坐标相同，并求所有的 17 设矩阵 A= ， 1， 2， 3 为线性无关的三维列向量组。则向量组A1，A 2，A 3的秩为 _18 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s1 一口、， s=s+1，讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性19 设 1= ，问 取何值时，(1) 不能由 1， 2， 3 线性表示?(2) 可由 1， 2， 3 线性表示且表达式唯一?(3) 可由1， 2， 3 线性表示但表达式不唯一?20 已知向量组
8、具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求 a、b 的值21 证明：n 维列向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式22 设向量组() ： 1， 2， 3 的秩为 3；向量组()： 1， 2， 3， 4 的秩为 3：向量组( )： 1， 2， 3， 5 的秩为 4证明：向量组( )： 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为 423 设口为实 n 维非零列向量， T 表示 的转置(1)证明：A E 一 为对称的正交矩阵；(2)若 =(1，2，一 2)T，试求出矩阵 A； (3)若 为 n 维列向量，试证明：A=(bc)，其中，b、c 为实常数24 设向量组() ： 1，
9、 2， ， r 线性无关，且()可由()： 1， 2， s 线性表示证明：存() 中至少存在一个向量 ，使得 j， 2， r 线性无关25 设向量组 1， r 线性无关，又 1=a111+a212+ar1r 2=a121+a222+ar2r r=a1r1+a2r2+arrr 记矩阵 A=(aij)rr，证明：1， 2， r 线性无关的充分必要条件是 A 的行列式 A026 求下列向量组的一个极大线性无关组并用极大线性无关组线性表出该向量组中其它向量： 1=(1，2，3，一 4)， 2=(2，3，一 4，1)， 3=(2，一 5，8，一 3)，4=(5， 26，一 9，一 12)， 5=(3，一
10、 4，1，2) 27 设有向量组() ： 1=(1，1，1，3) T， 2 一(一 1，一 3，5，1) T， 3=(3，2，一1，t+2) T， 4=(一 2，一 6，10，t) T (1)t 为何值时， ()线性无关?并在此时将向量=(4， 1，6， 10)T 用(1) 线性表出； (2)t 为何值时，( )线性相关? 并在此时求()的秩及一个极大无关组28 已知 R3 的两个基分别为求由基()到基( )的过渡矩阵 C29 设 1， n1， 1， 2 均为 n 维实向量， 1， ， n1 线性无关，且j(j=1， 2)与 1， n1 均正交证明： 1 与 2 线性相关30 设 1=(ai1
11、，a i2，a in)T(i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1， r 线性无关已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组 1， r， 的线性相关性31 设有向量组() ： 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a)T， 4=(4，4，4，4+a) T问 a 取何值时，()线性相关?当()线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用
12、排除法：当 c10 时，(A)组、(B) 组都线性无关；当 c3+c10 时，(D)组线性无关因此，只有选项(C) 正确【知识模块】 向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价所以选(B)【知识模块】 向量3 【正确答案】 A【试题解析】 记向量组()： 1+k3， 2+l3； 向量组()： 1， 2， 3()是由()线性表出的，写成矩阵形式即是： 1+k3， 2+l3
13、=1， 2， 3 当( )线性无关时，矩阵 1， 2， 3为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为 2，从而知向量组()线性无关，所以，()线性无关是()线性无关的必要条件 但() 线性无关不是() 线性无关的充分条件，例如当 k=l=0 时，()线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无关【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【知识模块】 向量5 【正确答案】 C【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 由 BA=O 知 A 的每个列向量均为齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，
14、因 r(A)=m，知 A 的列向量组的极大无关组含 m 个向量，故方程组 Bx=0 的基础解系至少含 m 个解向量，即 m 一 r(B)m，r(B)0，r(B)=0，B=O 故(B) 正确注意当 r(A)=mn 时，要将 A 化为标准形，仅仅通过初等行变换是不行的，还要对 A 作初等列变换，才能化成标准形，故(D)不对。【知识模块】 向量7 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知有不全为零的数 1， m，k 1，k m，使 1(1+1)+ m(m+m)+k1(11)+km(mm)=0，所以，向量组 11， ， m+m， 11， mm 必线性相关。【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析
15、】 由条件，存在常数 k1，k m1，k m，使 =k11+km1m1+kmm(*)，且 km 必有 km0(否则，=k 11+km1m1，这与 不能由( )线性表示矛盾)，于是由(*)式解得 m=一 m1，即 m 可由()线性表示但 m 不能由()线性表示，否则存在常数 1， m1，使m=11+m1m1，代入(*) 式，得 =(k1+1)1+(km1+m1)m1，这与 不能由( )线性表示矛盾，所以 m 不能由()线性表示综上可知只有(B)正确【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 选项(C) 中的 3 个向量分别为 1=1+22， 2=22+33， 3=33+1，则利用矩阵乘法
16、可将此线性表示式写成 1 2 3=1 2 3 ，因1， 2， 3 线性无关，故矩阵 1 2 3为列满秩矩阵，而用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，于是 r 1 2 3= =3 即知向量组 1， 2， 3 线性无关，故选项(C)正确 用上述方法也容易判别选项 (D)中的 3 个向量线性相关至于选项(A)、(B)由观察易知两组向量都是线性相关的【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 由部分组与整体组线性相关性的关系，知 ， 线性无关又， ， 线性相关，由此知 可由 ， 线性表示：=k 1+k2=k1+k2+0r，所以(C)正确 或由 ， 线性无关，而 ， ， 线性相关，知 必可由，
17、， 线性表示【知识模块】 向量11 【正确答案】 B【试题解析】 反例： 1= 线性相关，但存在 k1=1 与 k2=2 不全为零。使 k11+k220注意，“对于任意”与“存在”二者是不同的【知识模块】 向量二、填空题12 【正确答案】 2【试题解析】 由 ，知 x=2【知识模块】 向量13 【正确答案】 2【试题解析】 w 中的向量可写成 =(x，2y，0) T=x(1，0，0) T+y(0，2，0) T，可见w 是由向量 1=(1，0，0) T， 2=(0，2，0) T 生成的 R3 的子空间， 1， 2 线性无关，因而可作为 w 的基，所以 dim(w)=2【知识模块】 向量14 【正
18、确答案】 【试题解析】 由以 1， 2， 3， 4 为行构成的方阵的行列式等于零，即(a 一 1)(2s一 1)=0，及 a1，得 a= 【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量15 【正确答案】 将已知的线性表示式写成矩阵形式，得 ( 1， 2， 3)=(21+2k3，2 2， 1+(k+1)3)=(1， 2， 3)P 其中矩阵 P= ，由于 P的行列式P 一 40，所以 P 可逆，故向量组 1， 2， 3(线性无关)可作为 R3 的基【知识模块】 向量16 【正确答案】 设非零向量 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标(列)向量
19、为 X，则 =( 1， 2， 3)x=(1， 2， 3)x=(1， 2， 3)Px 由此得( 1， 2， 3)Px 一(1， 2， 3)x=(1， 2， 3)(Pxx)=(1， 2， 3)(PE)x=0 因为矩阵( 1， 2， 3)可逆所以(PE)x=0，其中 E 为 3 阶单位矩阵。因为 x0，所以 PE 是降秩矩阵，对 PE 施行初等行变换： 可见，当且仅当k=0 时方程组(P E)x=0 有非零解，且所有非零解为 x= ，c 为任意非零常数故在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同的所有非零向量为 =(1， 2， 3)=c(13)，c 为任意非零常数【知识模块】 向量17
20、 【正确答案】 2【试题解析】 由矩阵 A 的初等行变换 知矩阵 A 的秩为 2由 1， 2， 3 线性无关矩阵 1 2 3为满秩方阵 由矩阵乘法，有A 1 A2 A3=A1 2 3， 由于用满秩方阵乘矩阵后矩阵的秩不改变所以矩阵A 1 A2 A3的秩等于矩阵 A 的秩，等于 2，即向量组 A1，A 2，A 3 的秩为 2【知识模块】 向量18 【正确答案】 由于 1 2 s=1 2 s ，记上=式最右边的 s 阶矩阵为 A，则由于 1 2 s为列满秩矩阵，知 1 2 s=r(A)即有： 1， 2， s 线性无关(线性相关)A 0(A=0)，而A=1+(1) 1+s= 所以，当 s 为奇数时，
21、向量组线性无关；当s 为偶数时，线性相关【知识模块】 向量19 【正确答案】 没有一组数 x1，x 2，x 3，使 x11+x22+x33=，该方程组的系数行列式为= 1 2 3= 2(+3)故当 0 且 一 3 时，由克莱姆法则知方程组有唯一解，即此时 可由 1， 2， 3 线性表示且表达式唯一当 =0 时，=0，方程组为齐次线性方程组。有无穷多解，故此时 P 可由 1， 2， 3 线性表示，且表达式不唯一当 =一 3 时，对方程组的增广矩阵施行初等行变换，可见方程组无解，故此时 不能由1， 2， 3 线性表示。【知识模块】 向量20 【正确答案】 1 与 2 线性无关，且 3=31+22，
22、秩 1， 2， 3=2，秩1， 2， 3=2，行列式 1 2 3=0 ，a=3b，又 3 可由 1， 2， 3=31+22线性表示， 3 可由 1， 2 线性表示，行列式 1 2 3=0，b=5，a=15。【知识模块】 向量21 【正确答案】 令矩阵 A=1 2 n，则 1， 2， n，线性无关A0，而 D=A TA=A TA=A 2，故A0D0 【知识模块】 向量22 【正确答案】 由条件知()线性无关，而() 线性相关，故 4 可由 1， 2， 3线性表示，设为： 4=11+22+33 设有一组数 x1，x 2，x 3，x 4，使得x11+x22+x33+x4(5 一 4)=0，即(x 1
23、1x4)2+(x22x4)2+(x33x4)3+x46=0，由()线性无关，得齐次线性方程组 它只有零解 x1=x2=x3=x4=0，故()线性无关，即秩 ()=4 亦可利用()与()等价，()与()有相同的秩【知识模块】 向量23 【正确答案】 记常数 b= ，则 b0，A=E bT (1)A T=(EbT)T=EbT=A，所以 A 为对称矩阵AA T=AA=(EbT)(EbT)=E 一 2bT+b2(T)T，而 T= ，代入上式得 AAT=E，所以 A 为正交矩阵(2) T=1+4+4=9， T=，故(3)A=(E 一 bT)=b(T)= 一 b(T)= 一(bc)，其中常数 c=T【知识
24、模块】 向量24 【正确答案】 可用反证法：否则，对于 j=1，2，s，向量组 j， 2， r线性相关，又 2， r 线性无关，故 j 可由 2， r 线性表示，()可由2， ， r 线性表示，又已知 1 可由()线性表示， 1 可由 2， r 线性表示，这与( )线性无关矛盾【知识模块】 向量25 【正确答案】 不妨设 j 及 j 均为 n 维列向量(j=1，2，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 1 2 r=1 2 rA 或 B=PA，(*) 其中 B=1 2 r及 P=1 2 r均为 nr 矩阵，且矩阵 P 的列向量组线性无关于是可证两个齐次线性方程组 Bx=0 与 Ax=0 同解；若
25、 X 满足 Ax=0，两端左乘 P 并利用 PA=B，得 Bx=0；若 x 满足 Bx=0，即 PAx=0，或 P(Ax)=0，因 P 的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0 与 Bx=0 同解，它们的基础解系所含向量个数相等，即 rr(A)=rr(B)，r(A)=r(B)所以，向量组 1， r 线性无关r 1 2 r=rr(A)=rA0【知识模块】 向量26 【正确答案】 1， 2， 5 是一个极大无关组，且 3=1 一 2+5， 4=34+4225或 1， 2， 3 是一个极大无关组，且 4=51+2223， 5=一 1+2+3【知识模块】 向量27 【正确答案】 对下列矩阵作初等
26、行变换： 1， 2， 3， 4=(1)由阶梯形矩阵可见，当 t2 时， 1， 2， 3， 4 线性无关，此时，再对上面的阶梯形矩阵施行初等行变换，化为 (2)当t=2 时， 1， 2， 3， 4 线性相关，其极大无关组可取为 1， 2， 3(或1， 3， 4，)【知识模块】 向量28 【正确答案】 由 1 2 3=1 2 3CC= 1 2 311 2 3=【知识模块】 向量29 【正确答案】 n+1 个 n 维向量 1， n1， 1， 2，线性相关，故有不全为 0的一组数 k1，k n1，k n，k n+1，使是 k11+kn1n1+kn1+kn+12=0，且 kn 与kn+1 不全为 0(否
27、则 k1，k n1 不全为 0，使是 k11+kn1n1=0，这与1， ， n1 线性无关矛盾)，用 kn1+kn+12 与上面等式两端作内积，得k n1+kn+122=0，k n1+kn+12=0且因 kn 和 kn+1 不全为 0，知 1 与 2 线性相关【知识模块】 向量30 【正确答案】 线性无关，证明如下：由题设条件有 Ti=0(i=1，2，r)设k11+krr+kr+1=0，两端左乘 T，并利用 Ti=0 及 T0，得kr+1=0，k 11+krr=0，又 1， r 线性无关，k 1=kr=0，故1， ， r， 线性无关【知识模块】 向量31 【正确答案】 令矩阵 A=1， 2， 3， 4，由A=0 或由初等行变换，可得：当 a=0 或 a=一 10 时，( )线性相关当 a=0 时， 1 为()的一个极大无关组，且2=21， 3=31， 4=41；当 a=一 10 时，对 A 施行初等行变换：A，可知 2， 3， 4 为()的一个极大无关组，且 1=一2， 3， 4。【知识模块】 向量
