1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 为任意常数，则方程组 AX=b 的通解(一般解) 是（A）k 11+k2(1+2)+ （B） k11+k2(12)+ （C） k11+k2(1+2)+ （D）k 11+k2(12)+ 2 要使 1 = 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为3 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则（A）t=6 时 P 的秩必为 1
2、（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 24 设 1 = 则 3 条直线a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=1 ，2，3)交于一点的充要条件是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C）秩 r(1， 2， 3)=秩 r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关 1， 2 线性无关5 设有三张不同平面的方程 ai1x+ai2y+ai3z=bi，i=123它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为
3、6 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0。其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解；则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A）（B） （C） （D） 二、填空题7 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组 AX=0的通解为_8 已知方程组 无解，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 问 a、b 为何值时，线
4、性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解10 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式11 已知 1=(1，0，2，3) ， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，一 1，a+2 ，1) ，4=(1， 2，4， a+8)及 =(1，1，b+3，5) (1)a 、b 为何值时， 不能表示成1， 2， 3， 4 的线性组合 ? (2)a、b 为何值时， 有 1， 2， 3， 4 的唯一的线性表示式?并写出该表示式11 设 4 元齐次线性方程组()为 ，又已知某齐次线性方程组()的通解为 k1(0，1，1，0)+k 2(一 1，2，2，1)12 求线性方程组()
5、的基础解系；13 问线性方程组() 和() 是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由14 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b11，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2，2n )T，(b n1，b n2，b n，2n )T试写出线性方程组 的通解，并说明理由15 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t22，其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么天系时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系16 已知方阵 A=1 2 3 4， 1，
6、2， 3， 4 均为 n 维列向量，其中 2， 3， 4 线性无关， 1=223如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的解17 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0 l 2：bx+2cy+3a=0 l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=018 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解19 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵B= (k 为常数)，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解19 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解20
7、证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；21 求 a，b 的值及方程组的通解22 设线性方程组 与方程 ()：x 1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解22 设 n 元线性：方程组 Ax=b，其中23 证明行列式A=(n+1)a n；24 当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 x1；25 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 (1+2)是AX=b 的一个解，由于向量组 1， 12与
8、向量组 1， 2等价，故 1， 12线性无关且可作为 AX=0 的一个基础解系由于非齐次线性方程组 AX=b 的通解等于 AX=b 的任一特解与 AX=0 的通解之和故知只有 B 正确【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 与 2 线性无关，所以，三元齐次线性方程组 AX=0 的基础解系中至少含 2 个解向量，即 3r(A)2，或 r(A)1，而备选项 B(C)及(D)中的矩阵的秩都大于 1，所以它们都不对，只有备选项 A 正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【试题解析】 由 PQ=O，知 Q 的每一列都是线性方程组 PX=0 的解当 t6时，Q 的列秩
9、为 2，故 PX=0 至少有 2 个线性无关的解，所以其基础解系所含向量个数至少为 2，即 3 一 r(P)2，或 r(P)1；又 PO，有 r(P)1，故当 t6时必有 r(P)=1【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 考虑由 3 条直线的方程联立所得的线性方程组3 条直线交于一点，也就是方程组()有唯一解 若3=0，则 1， 2， 3 线性相关且方程组( )有零解，由二元齐次线性方程组只有零解的充要条件(系数矩阵的秩等于未知量个数)，得 r(1， 2)=2，故此时只有(D)正确 若 30，则(T)为一非齐次线性方程组，由非齐次线性方程组有唯一解的充要条件(系数矩阵的秩=
10、增广矩阵的秩=未知量个数)，得 r(1， 2)=r(1 2 3)=2，即1， 2 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关故只有(D) 正确【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 设由三个平面方程联立所得线性方程组为 Ax=b，则由题设条件知Ax=b 有解，且因其导出组 Ax=0 的基础解系所含向量个数为 3 一 r(A)=32=1，故 Ax=b 的通解具有如下形式： ，其中 t 为任意常数这显然是一空间直线的方程，故此时三个平面必交于一条直线，因而只有(B)正确【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组二、填空题7 【正确答案】 k(1，1，1) T
11、【试题解析】 因为 AX 一 0 的基础解系所含向量个数为 nr(A)=n 一(n 一 1)=1故 AX=0 的任一非零解都可作为它的基础解系由已知，=(1，1，1) T是 AX=0 的一个非零解，从而 可作为 AX=0 的基础解系。故得通解为X=k(1，1， ，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 一 1【试题解析】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换：由此可知： 当 a3且 a一 1 时，r(A)=r( )=3，方程组有唯一解； 当 a=3 时，r(A)=r( )=2，方程组有无穷多解； 当 a=一 1 时， r(A)=2，而 r( )=3，方程组无解 故当且仅
12、当 a=一 1 时，方程组无解【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 将方程组的增广矩阵 用初等行变换化成阶梯形：于是可知(记方程组的系数矩阵为 A) 当 a1 时，r(A)=r( )=4，因而方程组有唯一解 当 a=1 且 b一 1 时，r(A)=2 ，r( )=3，故方程组无解当 a=1 且 b=一 1 时，r(A)=r( )=2，故方程组有无穷多解此时，将 进一步化成简化行阶梯形故得方程组的用自由未知量表示的通解为(x3，x 4 任意)用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组10 【
13、正确答案】 对方程组的增广矩阵进行初等行变换：由阶梯形矩阵知 r(A)=2，如一 +10，则 r( )=3，方程组无解故当且仅当 =1时，方程组有解，且有无穷多解，此时，阶梯形矩阵为 选取与首非零元对应的未知量 x1，x 2 为约束未知量，则 x3 就是自由未知量了，于是得通解 (x3 任意)或 (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 设 =x11+x22+x33 +x44，即将上面方程组的增广矩阵用初等行变换化成阶梯形：由此可知 (1)当 a=一 1 且 b0 时，r(A)=2，而 r( )=3，方程组无解，所以 不能表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合 (2)当
14、a一 1 时，r(A)=r( )=4，方程组有唯一解，即 可由 1， 2， 3， 4 唯一地线性表出，且有 =一3+01。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 由已知，()的系数矩阵为 故()的基础解系可取为：(0 ，0，1，0) ，(一 1，1，0，1) 【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 有非零公共解 将()的通解代入方程组()，则有解得 k1=一 k2，当 k1=一 k20 时，则向量 k 1(0，1，1，0)+k2(一 1，2，2，1)=k 2(0，一 1，一 1，0)+(一 1，2，2，1)=k 2(一 1，1，1，1)满足方程组()(显然是()
15、的解 )，故方程组()、()有非零公共解，所有非零公共解是 k(一 1，1，1，1)(k 是不为 0 的任意常数) 【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 记方程组()、() 的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量因此，由()的已知基础解系可知 AB T=O 转置即得 BA T=O 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n(B 的行向量组线性无关)故()的解空间的维数为 2n 一 r(B)=2n 一 n=n，所以()的任何 n 个线性无关的解就是() 的
16、一个基础解系已知() 的基础解系含 n 个向量，即 2n 一 r(A)=n，故 r(A)=n，于是可知 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成 ()的一个基础解系，因此()的通解为 y=c 1(a11，a 12，a 1，2n )T+c2(a21，a 22，a 2，2n )T+cn(an1，a n2，a n，2n )T， 其中 c1，c 2，c n 为任意常数【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 由 A1=A(t11+t22)=t1A1+t2A2=0+0=0，知 1 为 Ax=0 的解，同理可知 2， 3， s 均为 Ax=0 的解已知 Ax=0 的基础解系含 s 个向量，故
17、Ax=0 的任何 s 个线性无关的解都可作为 Ax=0 的基础解系因此 1， 2， s为 Ax=0 的基础解系，当且仅当 1， 2， s 线性无关 设有一组数k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+kss=0 即(t 1k1+t2k2)1+(t2k1+t1k2)2+(t2ks1+t1ks)s=0，由于 1， 2， s 线性无关，有 = (*)上面齐次线性方程组的系数行列式为 =t1s+(一 1)1+st2 故当且仅当t1s+(一 1)1+st20 时，即当 s 为偶数，t 1t2；s 为奇数，t 1一 t2 时，齐次线性方程组(*)只有零解， 1， 2， s 线性无关，从而可作为 Ax=
18、0 的基础解系【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 令 x= ，则由 Ax=1 2 3 4 = 得 x 11+x22+x33 +x44=1+2+3+4 将 1223 代入上式，整理后得 (2x 1+x23)2+(一 x1+x3)3+(x41)4=0 由 2， 3， 4 线性无关，知 解此方程组得 x=，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 必要性 设三直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则二元线性方程组(*)有惟一解，故其系数矩阵 A=的秩均为 2，于是有 =0由于=6(a+b+c)a2+b2+c2 一 ab 一 ac 一 bc =3(a+b+c)(a 一 b
19、)2+(b 一 c)2+(c 一 a)2及 (a 一 b)2+(b 一 c)(c 一 a)20，(否则 a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以 a+b+c=0 充分性 若 a+b+c=0，则由必要性的证明知 3，又系数矩阵 A 中有一个二阶于式故秩(A)=2，于是有秩(A)=秩( )=2，因此方程组 (*)有惟一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点【试题解析】 三条平面直线交于一点由这三条直线的方程联立所得二元线性方程组 Ax=b 有惟一解秩 (A)=秩( )=2【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换：(1)当a
20、=0 时，r(A)=1 n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1+x2+xn=0 由此得基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， n1=(一1，0，0，1) T于是方程组的通解为 x=k 11+k22+kn1n1，其中k1，k n1 为任意常数 (2)当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换：可知 a=一时，r(A)=n 一 1n，故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 x 2=2x1，x 3=31，x n=nx1 (x1 任意)，由此得基础解系为 =(1，2，3，n) T 于是方程组用基础解系表示的通解为 x=k，其中 k 为任意常数
21、【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 由 AB=O 知矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0必有非零解，要求其通解只要求出它的基础解系即可而基础解系所含向量个数等于 3 一 r(A)，所以需要先确定 A 的秩 r(A) 由于 AB=O，故 r(A)+r(B)3，又由a，b，c 不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)=2，于是 r(A)=1； 当 k=9 时，r(B)=1，于是 r(A)=1 或 r(A)=2 (1) 当 k9 时，因 r(A)=1，知 Ax=0 的基础解系含2 个向量又由 AB=O 可得 由于 1=(1，2，3)T， 2=(3，6， k)
22、T 线性无关，故 1， 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=c 11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数 (2)当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和 r(A)=1进行讨论 如果 r(A)=2，则 Ax=0 的基础解系由一个向量构成又因为=0，所以 Ax=0 的通解为 x=c1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数 如果 r(A)=1，则 Ax=0 的基础解系由两个向量构成又因为 A 的第一行为(a，b，c)且a，b，c 不全为零，所以 Ax=0 等价于 ax1+bx2+cx3=0不妨设 a0，则 1=(一b，a，0) T， 2=(一 c，0，a) T 是
23、 Ax=0 的两个线性无关的解，故 Ax=0 的通解为 x=c11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 设 1， 2， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则由解的性质知1=12， 2=13 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，且由 1 2=1 2 3及 1， 2， 3 线性无关，知向量组 1， 2 线性无关，故齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系至少含 2 个向量，即 4 一 r(A)2，得 r(A)2，又显然有 r(A)2(A 中存在 2 阶非零子式一 1，或由 A 的前 2 行线性无关)，于是有 r(A)=2【
24、知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 对增广矩阵 施行初等行变换：因 r(A)=2，故有 42a=0，4a+b 一 5=0 由此解得 a=2，b= 一 3此时由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为(x3，x 4 任意)令 x3=k1，x 4=k2，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 方程组()的系数矩阵 A 的行列式为(1)当A0，即 a1 且 a2 时，方程组() 只有零解，而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程( )，故当 a1 且 a2 时，()与()无公共解； (2)当 a=1 时，由 A
25、的初等行变换 得方程组()的通解为 x=c(1，0，一 1)T，其中 c 为任意常数显然当 a=1 时，()是()的一个方程，()的解都满足()所以，当 a=1 时，( )与()的所有公共解是 x=c(1，0，一 1)T，其中 c 为任意常数； (3)当 a=2 时，由 A 的初等行变换 得( )的通解为x=k(0，1，一 1)T，要使它是()的解，将其代入方程()，得 k=1，故当 a=2 时，()与() 的公共解为 x=(0，1，一 1)T【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 记 Dn= A，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an当 n=1 时，D1=2a
26、，结论成立；当 n=2 时，D 2= =3a2=(n+1)an 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开，得 Dn=2aDn+1=2aDn1a2Dn2 (代入归纳假设 Dk=(k+1)ak，kn)=2anan1 一 an(n 一 1)an2=(n+1)an 故A=(n+1)a n【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 该方程组有唯一解A0，即 a0此时，由克莱姆法则，将 Dn 第 1 列换成 b，得行列式【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n 一 1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0，0) T+k(1，0，0，0) T 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组
