1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵A *为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 4 2 设矩阵 A= ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为3 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是 A 的（A）列向量组线性无关（B）列向量组线性相关（C）行向量组线性无关
2、（D）行向量组线性相关4 设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，且存在 3 阶方阵BO，使 AB=O，则（A）=一 2 且B=0 （B） =一 2 且B 0（C） =1 且B =0（D）=1 且B0 5 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且秩(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=二、填空题6 若方程组 有解。则常数 a1，a 2， a3，a 4 应满足的条件是_7 若 3 阶非零方程 B 的每一列都是方程组 的解，则=_，B=_8 设 其中a1，a 2，a n 是两
3、两不同的一组常数，则线性方程组 ATx=B 的解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设9 求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；10 对( )中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关10 设 A= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解11 求 ，a；12 求方程组 Ax=b 的通解12 设 A=13 计算行列式A；14 当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解15 设 A= 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C15 设 A= ，E 为 3 阶单位矩阵16 求方程组 Ax=0 的
4、一个基础解系；17 求满足 AB=E 的所有矩阵 B18 设矩阵 当 a 为何值时，方程AX=B 无解、有唯一解、有无穷多解? 在有解时，求解此方程18 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+2219 证明 r(A)=2；20 若 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解20 已知 a 是常数，且矩阵 A= 可经初等列变换化为矩阵 B=。21 求 a；22 求满足 AP=B 的可逆矩阵 P考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首先，4 元齐次线性方
5、程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为4 一 r(A*)，其中 r(A*)为 A*的秩，因此求 r(A*)是一个关键其次，由 Ax=0 的基础解系只含 1 个向量，即 4 一 r(A)=1，得 r(A)=3，于是由 r(A*)与 r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为 4 一 r(A*)=3，故选项 A、(B) 不对再次，由(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 或 x11+x22+x33 +x44=0的解，知 1+3=0，故 1 与 3 线性相关，于是只有选项 D 正确【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 对方
6、程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a 一 1)(a 一 2)=0，即 a=1 或 a=2，此时系数矩阵的秩为 2，由有解判定定理知，当且仅当 a 且 d，所以选 D【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 由 Ax=b 的解的结构知关键在于求出 Ax=0 的基础解系，由于 Ax=0的基础解系所含解向量个数为 4 一秩(A)=43=1，因此 Ax=0 的任意一个非零解都可作为 Ax=0 的基础解系易知 =21 一( 2+3)=(2，3，
7、4，5) T 是 Ax=0 的一个非零解，故 可作为 Ax=0 的基础解系，所以，Ax=b 的通解为 x=1+c，只有选项C 正确【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵及方程组 Ax=b 有解判定定理知，方程组有解 a 1，a 2，a 3，a 4=0【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 =1，B=0【试题解析】 由条件知方程组的系数行列式为零，即A= =5(1)=0，故 =1又由条件知 AB=O，若BO，则 B 可逆，用 B1 右乘 AB=O 两端得 A=O，这与 AO 矛盾，故B =0
8、【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 由于A T=A一 (ai 一 aj)0，故方程组 ATx=B 有唯一解由 Cramer 法则易求出这个唯一解为 x=(1，0，0) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 设 1=(x1，x 2，x 3)T，解方程组 A2=1，由A， 1=，得 x1=x2，x 3=1 一 2x2(x2 任意)令自由未知量 x2=一 c1，则得 2=，其中 c1 为任意常数设 3=(y1，y 2，y) T，解方程组A23=1，由A 2， 1= ，得 y1=一 一
9、y2(y2， y3 任意) 令自由未知量 y2=c2，y 3=c3，则得 3 =，其中 c2，c 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 3 个 3 维向量 1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式D= 1 2 30而 所以 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有A=0，而A=(1) 2(+1)，于是 =1 或 =一 1 当 =1 时，因为 r(A)rAb，所以Ax=b 无解( 亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解) ，故舍去=1 当
10、 =一 1 时，对 Ax=b 的增广矩阵施以初等行变换因为 Ax=b 有解，所以 a=一 2【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 当 =一 1、a=一 2 时， 所以，x 3=，x 3 任意，令自由未知量 x3=k，则得 Ax=b 的通解为，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 按第 1 列展开，得A=1+a(一 1)4+1a3=1 一 a4【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 若方程组 Ax= 有无穷多解，则A =0由()得 a=1 或 a=一1当 a=1 时，对增广矩阵作初等行变换：可见 r(A)r(A)，故方程组 Ax= 无解
11、； 当 a=一 1 时，对增广矩阵作初等行变换：可见 r(A)=r(A)=34，故方程组 Ax= 有无穷多解，其通为 x= ，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 设矩阵 C= ，由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 ACCA=B 成立的充分必要条件是对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当 a一 1 或 b0 时。方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解当 a=一 1 且 b=0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为，k 1，k 2 为任意常数综上，当且仅当 a=一1 且 b=0 时，存
12、在满足条件的矩阵 C，且 C= ，k 1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T，选取 x4 为自由未知量，则得方程组的一般解：x 1=一 x4，x 2=2x4，x 3=3x4(x4 任意) 令x4=1，则得方程组 Ax=0 的一个基础解系为 =( 一 1，2，3，1) T【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对矩阵AE施以初等行变换记 E=e1，e 2，e 3，则方程组 Ax=e1 的同解方程组为 ，从而得 Ax=e1 的通解为 x=k1+ ，k 1 为任意常
13、数，同理得方程组 Ay=e2 的通解为 y=k2+ ，k 2 为任意常数，方程组 Az=e3 的通解为 z=k3+ ，k 3 为任意常数，于是得所求矩阵为 B=x y z= +k1，k 2，k 3或 B=，k 1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 对矩阵AB施以初等行变换(1)当 a1 且 a一 2 时，矩阵 A 的秩等于矩阵AB的秩且等于 3，故此时方程Ax=B 有唯一解由得方程 Ax=B 的唯一解为 (2)当 a=1 时，由于记 X=x1x2，则得方程组 Ax1= ：得方程组 Ax2=，所以此时方程 AX=B 有无穷多解，且 X=x1x2= ，其中 k1
14、，k 2 为任意常数(3)当a=一 2 时，由 可知矩阵 A 的秩小于矩阵AB的秩，所以此时方程 AX=B 无解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 由于矩阵 A 的第 3 列可以由其前两列线性表示，即 A 的列向量组线性相关，从而知 A 的秩 r(A)2；又因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 至少有 2 个不为零的特征值，从而 r(A)2；故 t(A)=2【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由 0=1+223=1 2 3 知 = 是方程组Ax=0 的一个解又由 r(A)=2 知方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 32=1，所以 是方程
15、组 Ax=0 的一个基础解系 因为 =1+2+3=1 2 3是方程组 Ax= 的一个特解，故方程组 Ax= 的通解为x= ，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 (1)对矩阵 A 作初等行变换：由此知 A 的秩 r(A)=2；又因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以矩阵 B 的秩也为 2，对 B 作初等行变换：由此可知 r(B)=2a=2，所以 a=2【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 由(1)已知 a=2，对矩阵(A B)作初等行变换：设矩阵 B 按列分块为 B=(1， 2， 3)，则由上面的阶梯形矩阵知：方程组 Ax=1 的通解为 x=，k 1 为任意常数；方程组 Ax=2 的通解为 x= ，k 2 为任意常数；方程组 Ax=3 的通解为 x= ，k 3 为任意常数所以矩阵方程AX=B 的解为 由于行列式X =k 3 一k2，所以当 k3k2 时矩阵 X 可逆，故所求的矩阵 P=X(k3k2)【知识模块】 线性方程组
