[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16及答案与解析.doc

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1、考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,则对于线性方程组():Ax=0 和():ATAx=0,必有(A)() 的解是 ()的解,()的解也是()的解(B) ()的解是( )的解,但( )的解不是()的解(C) ()的解不是( )的解,( )的解也不是()的解(D)() 的解是 ()的解,但()的解不是()的解 2 4 个平面 aix+biy+ciz=di(i=1,2,3,4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵 =(A)1(

2、B) 2(C) 3(D)43 设 A 是 n 阶矩阵, 是 n 维列向量,且 则线性方程组(A)Ax= 必有无穷多解(B) Ax= 必有唯一解(C) =0 仅有零解(D) =0 必有非零解4 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0,若 1, 2, 3, 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系(A)不存在(B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量(D)含有 3 个线性无关的解向量 5 设 A 为 43 矩阵, 1, 2, 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解,k1,k 2 为任意常数,则 Ax= 的通解为(A)

3、 +k1(21)(B) +k1(21)(C) +k1(21)+k2(31)(D) +k1(21)+k2(31) 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 对于方程组 问 k1 与 k2 各取何值,方程组无解?有唯一解?有无穷多解 ?在有无穷多解时求其一般解7 设方程组 有解(1)确定 a、b 的值;(2)求其导出组的基础解系,并用之表示原方程组的全部解8 设向量 1=(1,一 1,1) T, 2=(1,k,一 1)T, 3=(k,1,2) T,=(4,k 2,一 4)T问 k 取何值时, 可由 1, 2, 3 线性表示?并求出此线性表示式8 设有线性方程组 9 证明:当 a1,a

4、2,a 3,a 4 两两不等时,此方程组无解;10 设 a1=a3=k,a 2=a4=一 k(k0)时, 1=(一 1,1,1) T, 2=(1,1,一 1)T 是方程组的两个解,写出此方程组的通解11 设 A、B 的行数都是 m,证明:矩阵方程 AX=B 有解的充要条件是 r(A)=r(AB)12 设 A= X=(xij)33 问 a、b、c 各取何值时,矩阵方程 AX=B 有解? 并在有解时,求出全部解13 设 已知方程组 Ax=0 的解空间的维数为 2,求 c 的值,并求出方程组 Ax=0 的通解14 求解线性方程组 ,(a、b 为参数)15 设向量组 1, 2, t 是齐次线性方程组

5、Ax=0 的一个基础解系,向量 不是方程组 Ax=0 的解,即 A0,求证:,+ 1,+ t 线性无关16 设 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解 *,r(A)=rn,证明:方程组 Ax=b 有 n一 r+1 个线性无关的解,而且这 n 一 r+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解17 设 A 为 mn 矩阵证明:对任意 m 维列向量 b,非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m18 设齐次线性方程组 Amnx=0 的解全是方程 b1x1+b2x2+bnxn=0 的解,其中x=(x1,x 2,x n)T证明:向量 b=(b1,b 2,b n)可由 A 的行

6、向量组线性表出19 设 1, 2, , k(kn)是 Rn 中 k 个线性无关的列向量,证明:存在行阶满秩方阵 P,使得 P 以 1, 2, k 为其前 k 列20 设矩阵 A=(aij)nn 的秩为,2,记 A 的元素 aij 的代数余子式为 Aij,并记 A 的前 r行组成的 rn 矩阵为 B,证明:向量组 1=(Ar+1,1 ,A r+1,n )T 1=(Ar+2,1 , ,A r+2,n )T nr=(An1,A nn)T 是齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系21 设 A 为 n 阶方阵(n2),A *为 A 的伴随矩阵,证明:r(A *)=22 设有两个线性方程组: 其中向量b=(

7、b1,b 2,b m)T0证明:方程组()有解的充分必要条件,是()的每一解y=(y1,y 2,y m)T 都满足方程 b1y1+b2y2+bmym=023 已知齐次线性方程组 其中ai0试讨论 a1,a 2,a n 和 b 满足何种关系时, (1)方程组仅有零解; (2) 方程组有非零解在有非零解时,求此方程组的一个基础解系24 设有向量组() : 1=(1,0,2) T, 2=(1,1,3) T, 3=(1,一 1,a+2) T 和向量组(): 1=(1,2,a+3) T, 2=(2,1,a+6) T, 3=(2, 1,a+4) T试问:当 a 为何值时,向量组() 与 ()等价?当 a

8、为何值时,向量组()与()不等价?25 讨论三个平面:x+2y+z=1,2x+3y+(a+2)z=3,x+ay 一 2z=0 的相互位置关系26 设有向量 1=(1,2,0) T, 2=(1,a+2,一 3a)T, 3=(一 1,一 b 一 2,a+2b)T, =(1,3,一 3)T试讨论当 a、b 为何值时, (1) 不能由 1, 2, 3 线性表示; (2) 可由 1, 2, 3 惟一地线性表示,并求出表示式; (3) 可由 1, 2, 3 线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式27 已知(1 ,一 1,1,一 1)T 是线性方程组的一个解,试求: (1)该方程组的全部解,并用对应的齐次线

9、性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足 x2=x3的全部解28 确定常数 a 的值,使向量组 1=(1,1,a) T, 2=(1,a ,1) T, 3=(a,1,a) T 可由向量组 1=(1,1,a) T, 2=(一 2,a ,4) T, 3=(一 2,a ,a) T 线性表示,但向量组1, 2, 3 不能由向量组 1, 2, 3 线性表示29 已知齐次线性方程组同解,求a,b,c 的值考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 若 x 满足 Ax=0,两端左乘 AT,得

10、ATAx=0,故 Ax=0 的解都是ATAx=0 的解;若 x 满足 ATAx=0,两端左乘 xT,得 (xTAT)(Ax)=0,即(Ax) T(Ax)=0,或Ax 2=0,得 Ax=0,所以 ATAx=0 的解也都是 Ax=0 的解因此()与()同解,只有选项 A 正确【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 记 4 个平面方程联立所得方程组为 Ax=b,则 4 个平面交于一条直线Ax=b 的通解为 x=(x0,y 0,z 0)+c(l,m,n)r(A)=r(Ab)且 Ax=0 的基础解系所含解向量个数为 3 一 r(A)=1r(A)=r(A)=2 ,只有选项 B 正确【知识

11、模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 因为方程组 =0 是 n+1 元齐次线性方程组,而它的系数矩阵的秩为:秩 =秩(A)nn+1 ,故该齐次线性方程组必有非零解,即(D)正确注意,在题设条件下,有秩(A)=秩A 故方程组 AX= 必有解,但不能肯定它是有无穷多解还是有唯一解,故(A)、 (B)都不对【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*0 知 A*至少有一个元素 Aij=(一 1)i+jMij0,故 A 的余子式Mij0,而 Mij 为 A 的 n 一 1 阶子式,故 r(A)n 一 1,又由 Ax=b 有解且不唯一知r(A)n,故 r(A)=n 一

12、 1因此 Ax=0 的基础解系所含向量个数为 nr(A)=n 一(n一 1)=1,只有 B 正确【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 首先,由 A (2+3)=,知 (2+3)是 Ax= 的一个特解;其次,由解的性质或直接验证,知 21 及 31 均为方程组 Ax=0 的解;再次,由1, 2, 3 线性无关,利用线性无关的定义,或由 21, 31=1, 2, 3 及矩阵 的秩为 2,知向量组 21, 31 线性无关,因此,方程组 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解,但它不可能有 3 个线性无关的解(否则,3 一 r(A)=3,r(A)=0 ,A=O ,这与 A1=0 矛盾

13、),于是 21, 31 可作为 Ax=0 的基础解系,Ax=0 的通解为 k1(21)+k2(31),再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项 C 正确【知识模块】 线性方程组二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:由阶梯形矩阵可见: (1)当 k12 时,r(A)=r( )=4,故此时方程组有唯一解 (2)当k1=2 时,对 B 作初等行变换: 可见当 k1=2 且k21 时,r(A)=3 ,而 r( )=4,方程组无解 (3) 当 k1=2 且 k2=1 时,对矩阵 C 作初等行变换:由此得方程组的一般解为 x 1=一 8,

14、x 2=32x3,x 4=2(x3 任意),或 x1=一 8,x 2=32k,x 3=k,x 1=2,其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:由此可见,方程组有解b3a=0,22a=0 即 a=1,b=3 当 a=1,b=3 时,对矩阵 B 作初等行变换: 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 (x3,x 4,x 5 为自由未知量),对应齐次方程组 Ax=0 的通解为 (x3,x 4,x 5 为自由未知量)由此得 Ax=O 的基础解系为 1=(1,一 2,1,0,0) T, 2=(1,一 2,0,1,0)T, 3=(5,一 6,0,0,

15、1) T,又原方程组有特解 =(一 2,3,0,0,0) T,故原方程组的通解为 x=+c 11+c22+c33,其中 c1,c 2,c 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 设有数 x1,x 2,x 3,使 x11+x22+x33=对此方程组的增广矩阵施行初等行变换:由阶梯形矩阵可见 (1)当(4 一 k)(k+1)0,即 k4 且 k一 1 时,r(A)=r( )=3,方程组有唯一解此时,对矩阵 B 作初等行变换,可得方程组的唯一解为:x 1= (2)当 k=一 1 时,r(A)=2,而 r( )=3,方程组无解,故此时 不能由 1, 2, 3线性表示 (3)当 k=4

16、时,对矩阵 B 作初等行变换:由此得方程组的通解为 x 1=一 3c,x 2=4一 c,x 3=c,其中 c 为任意常数,故此时有 =一 3c1+(4 一 c)2+cx3(c 为任意常数)【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 当 a1,a 2,a 3,a 4 两两不等时,增广矩阵的行列式 (为一范德蒙行列式) (ai 一 aj)0,故有 r( )=4,但系数矩阵的秩不大于 3,故方程组无解【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 此时有 r(A)=r( )=2,故方程组有无穷多解,对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础联系含 3 一 r(A)=32=1 个解向量,由

17、于 A(12)=A1A2=0,所以, 12=(一 2,0,2) T 或 =(1,0,一 1)T 就是 Ax=0 的一个基础解系,故原方程组的通解为 x=1+c=(一 1,1,1) T+c(1,0,一 1)T【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 设矩阵 A、X、B 按列分块分别为:A= 1 n,X=x 1 xn,B=b1 bn,则 Ax=BAx 1 Axn=b1 bnAx j=bj(j=1,p)向量 bj 可由A 的列向量组线性表示矩阵 A=1 n与矩阵 AB=1 nb1 bn的列向量组等价r(A)=rAB 以上用到了:等价的向量组必同秩;反之,若向量组()与() 同秩,且() 可由()线

18、性表示,则()与 ()等价【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换:可见,r(A)=rABa=1,b=2 ,c=1 ,于是由上题知 Ax=B 有解a=1,b=2,c=1此时,对矩阵 D 作初等行变换:于是若将矩阵 B 按列分块为 B=b1 b2 b3,则得方程组 Ax=b1 的通解为:x 1=(1 一 l,一 l,l) T;方程组Ax=b2 的通解为:x 1=(2 一 m,2 一 m,m) T;方程组 Ax=b3 的通解为:x 3=(1 一 n,一 1 一 n,n) T,所以,矩阵方程 Ax=B 的通解为 x=x1 x2 x3=,其中 l,m,n 为任意常数【知识模块

19、】 线性方程组13 【正确答案】 由条件有 4 一 r(A)=2,r(A)=2,于是由知 c=1当 c=1时,对矩阵 B 作初等行变换: 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 (x3,x 4 任意),用基础解系表示的通解为 x=c 1(1,一 1,1,0) T+c2(0,一 1,0,1) T,其中 c1,c 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换:可见方程组恒有解 (1)当 a1 时,对矩阵 B 作初等行变换:得通解为:x1=一 x4,x 2=b+3x4,x 3=一 3x4(x4 任意),或 x=(0,b,0,0) T+c(一 1,3,一 3,1)T

20、,其中 c 为任意常数 (2)当 a=1 时,由 得通解为:x1=x3+2x4,x 2=b2x3 一 3x4,(x 2,x 4 任意),或 x=(0,b,0,0) T+c1(1,一2,1,0) T+c2(2,一 3,0, 1)T其中 c1,c 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 设有一组数 k0,k 1,k t,使得 k0+k1(+1)+kt(+t)=0, 即 (k 0, k1,k t)+k11+ktt=0, (*) 用矩阵 A 左乘上式两端,得 (k0,k 1,k t)A=0, 因 A0,得 k0,k 1,k t=0,代入(*)式,得 k11+ktt=0, 因基础解系

21、1, t 线性无关,得 k1=kt=0,代入k0+k1+kt=0,得 k0=0,所以,向量组 ,+ 1,+ t 线性无关【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 由条件知齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系含 n 一 r 个向量,设这个基础解系为 1, 2, nr则向量组 *, *+1, *+nr (*) 满足题意首先,由解的性质易知(*)式中的 n 一 r+1 个向量均为方程组 Ax=b 的解;其次,由上题知(*)式中的向量组线性无关;再次,设 x 为方程组 Ax=b 的任一解,则 x*为方程组 Ax=0 的解,因此 x*可由 1, nr,线性表示,即存在一组常数志 k1,k nr,使得

22、x *=k11+knrnr 得 x=*+k11+knrnr =(1 一 k1一一 knr)*+k1(*+1)+knr(*+nr) 即 x 可由向量组 (*)线性表示综上可知向量组(*)满足要求【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 必要性:设 j 为 Em 的第 j 个列向量,由必要性假定,方程组Ax=j 有解 cj,即 Acj=j, (j=1,2,m),Ac 1 c2 cm=1 2 m=Em,记C=c1 c2 cm,则有 AC=Em,故 m=r(Em)=r(AC)r(A)m,r(A)=m;充分性:设r(A)=m,即 A 的行向量组线性无关,故 的行向量组线性无关,从而有,r( )=m,由

23、有解判定定理,知方程组 Ax=b 有解(其中 =Ab)【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 由条件知方程组 Ax=0 与方程组 =0 同解,从而知矩阵 A 与有相同的秩,因此 A 的极大无关行向量组也是 的极大无关行向量组,故b 可由 A 的极大无关行向量组线性表出,从而知 b 可由 A 的行向量组线性表出【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 取齐次线性方程组 =0 的基础解系 1, nk,则可证1, , nk, 1, nk 线性无关:设 11+ kk+11+ nknk=0,两端左乘( 11+ kk)T,并利用 iTj=0,得 11+ kk2=0, 11+ kk=0,而 1, ,

24、nk 线性无关,故有 1= nk=0, 11+ nknk=0,又1, nk 线性无关,故有 1= nk=0,于是证得 1, nk, 1, nk 线性无关,令 P=1 nk 1 nk,则 P 为满秩方阵【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由于 A 的行向量组线性无关,故 B 的行向量组线性无关,r(B)=r,方程组 Bx=0 的基础解系含 n 一 r 个向量,所以,要证明 1, 2, nr是方程组 Bx=0 的基础解系,只要证明 1, 2, nr 是 Bx=0 的线性无关解向量即可首先,由于 aijAkj=0(i=1,2,r;k=r+1,n),故 1, nr都是方程组 Bx=0 的解向量

25、;其次,由于A *=A n10,知 A*的列向量组线性无关,而 1, nr 是 A*的后 n 一 r 列,故 1, nr 线性无关,因此1, , nr 是 Bx=0 的线性无关解向量【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 当 r(A)=n 时,A0,A *=A n10,即知 r(A*)=n;当r(A)=n 一 1 时,A 中非零子式的最高阶数为 n 一 1,一方面有 A*O,r(A *)1,另一方面有A=0,A *A=AE=O 故 A 的每一列都是方程组 A*x=0 的解向量,r(A)=n 一 1 说明 A*x=0 至少有 n 一 1 个线性无关解向量,故 n 一 r(A*)n一 1,r(

26、A *)1,以上两方面说明 r(A*)=1;当 r(A)n 一 1 时,A 中每个 n 一 1 阶子式一即 A 的每个元素的余子式都为零,A *=O,从而有 r(A*)=0【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 记 A=(aij)mn,x=(x 1,x 2,x n)T,y=(y 1,y 2,y n)T,则方程组( )的矩阵形式为 Ax=b,方程组()的矩阵形式为 ATy=0,方程 biyi=0 的矩阵形式为 bTy=0必要性:设方程组()有解 x,y 为()的任一解,则 bTy=(Ax)Ty=xT(ATy)=xTO=0,故( )的任一解 y 都满足方程 bTy=0充分性:在充分性条件下,两

27、个齐次线性方程组 =0 与 ATy=0 同解,故其系数矩阵的秩相同,从而系数矩阵的转置矩阵的秩也相同,即 r(A)=r(Ab)由有解判定定理知方程组( )有解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 方程组的系数行列式A=b n1(b+ ai)故当A0,即b0 且 b+ ai0 时,方程组仅有零解而当 b=0 或 b+ ai=0 时。方程组有非零解当 b=0 时,设 a10。则由 A ,得方程组的基础解系为:(一 ,1,0,0) T,得方程组的基础解系可取为(1,1,1) T【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 因行列式 1 2 3=a+10 ,故当 a一 1 时方程组x11+x22+

28、x33=t(i=1,2,3)均有解( 且有惟一解),所以向量组 ()可由( )线性表示又由行列式 1 2 3=60,同理可知向量组()可由()线性表示故当 a一 1 时,()与()等价当 a=一 1 时,由于秩 1 2 3秩 1 2 3i1,故方程组 x11+x22+x33=1 无解,即 1 不能由()线性表示,因此()与()不等价【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 首先由三个平面的法向量互不平行,知三个平面互不平行(更不会重合)考虑由三个平面方程联立所得线性方程组当 a3 且 a一 1 时,方程组有唯一解,故此时三个平面交于一点;当 a=3 时,方程组有无穷多解,通解为(x,y, z

29、)T=(3一 1,0) T+c(一 7,3,1) T,此通解在几何上代表一条空间直线 L,所以此时三个平面相交于直线 L;当 a=一 1 时,方程组无解,即三个平面无公共交点,故此时三个平面两两相交于一条直线【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 设有一组数 x1,x 2,x 3,使得 x 11+x22+x33= (*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换:(1)当 a=0,b 为任意常数时,有 可知 r(A)r( ),故方程组(*)无解, 不能由 1, 2, 3 线性表示 (2)当 a0,且 ab 时,r(A)=r( )=3,方程组(*) 有唯一解:x=1 一 ,x 3=0故此时 可由

30、 1, 2, 3 唯一地线性表示为:=2 (3)当 a=b0 时,对 施行初等行变换:可知 r(A)=r( )=2,故方程组 (*)有无穷多解,通解为:x1=1 一 +c,x 3=c,其中 c 为任意常数故此时 可由 1, 2, 3 线性表示,但表示式不唯一,其表示式为 = 2+c3【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 将解向量 x=(1,一 1,1,一 1)T 代入方程组,得 =对方程组的增广矩阵施行初等行变换:因 r(A)=r(A)=34,故方程组有无穷多解,全部解为 x=(0,一 ,0) T+k(一2,1,一 1,2) T,其中 k 为任意常数因 r(A)=r( )=24,故方程组

31、有无穷多解,全部解为 x=( 一 , 1,0,0) T+k1(1,一 3,1,0)T+k2(一 1,一 2,0,2) T,其中 k1,k 2 为任意常数 (2)当 时,由于 x2=x3,即,故此时,方程组的解为 x=(0,一(一 2,1,一 1,2) T=(一 1,0,0,1) T 当 = 时,由于 x2=x3,即 13k1 一 2k2=k1,解得 k2= 一 2k1,故此时全部解为 x=(一 ,1,0,0)T+k1(1,一 3,1,0) T+( 一 2k1)(一 1,一 2,0,2) T=(一 1,0,0,1)T+k1(3,1,1,一 4)T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 记 A

32、=(1, 2, 3),B=( 1, 2, 3),由于 1, 2, 3 不能由1, 2, 3 线性表示,故秩 r(A)3,从而A=一(a 一 1)2(a+2)=0,所以 a=1 或a=一 2 当 a=1 时, 1=2=3=1=(1,1,1) T,故 1, 2, 3 可由 1, 2, 3 线性表示,但 2=(一 2,1,4) T 不能由 1, 2, 3 线性表示,所以 a=1 符合题意 当a=一 2 时,由下列矩阵的初等行变换可知秩 r(B)=2,秩 r(B 2)=3,所以方程组 Bx=2 无解,即 2 不能由 1, 2, 3线性表示,所以 a=一 2 不符合题意因此 a=1【知识模块】 线性方程

33、组29 【正确答案】 因为方程组()的方程个数小于未知量个数,所以()有无穷多解,因()与() 同解。故方程组 ()有非零解,因此方程组(1) 的系数行列式等于零,由此解之得 a=2,此时,由()的系数矩阵的初等行变换 (1)得 =(一 1,一 1,1) T 是( )的一个基础解系将 代入方程组()可得b=1,c=2,或 b=0,c=1 当 b=1,c=2 时,对()的系数矩阵施行初等行变换,有(2)比较(1) 式与(2)式右边的矩阵知此时( )与()同解 当 b=0,c=1 时,对() 的系数矩阵施行初等行变换 (3)比较(1)式与(3)式右边的矩阵即知此时 ()与()的解不相同 综上可知,a=2,b=1,c=2 符合题意【知识模块】 线性方程组

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