1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：ATAx=0，必有（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解 2 4 个平面 aix+biy+ciz=di(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵 =（A）1（
2、B） 2（C） 3（D）43 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且 则线性方程组（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C） =0 仅有零解（D） =0 必有非零解4 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有 3 个线性无关的解向量 5 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）
3、 +k1(21)（B） +k1(21)（C） +k1(21)+k2(31)（D） +k1(21)+k2(31) 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 对于方程组 问 k1 与 k2 各取何值，方程组无解?有唯一解?有无穷多解 ?在有无穷多解时求其一般解7 设方程组 有解(1)确定 a、b 的值；(2)求其导出组的基础解系，并用之表示原方程组的全部解8 设向量 1=(1，一 1，1) T， 2=(1，k，一 1)T， 3=(k，1，2) T，=(4，k 2，一 4)T问 k 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示?并求出此线性表示式8 设有线性方程组 9 证明：当 a1，a
4、2，a 3，a 4 两两不等时，此方程组无解；10 设 a1=a3=k，a 2=a4=一 k(k0)时， 1=(一 1，1，1) T， 2=(1，1，一 1)T 是方程组的两个解，写出此方程组的通解11 设 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充要条件是 r(A)=r(AB)12 设 A= X=(xij)33 问 a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AX=B 有解? 并在有解时，求出全部解13 设 已知方程组 Ax=0 的解空间的维数为 2，求 c 的值，并求出方程组 Ax=0 的通解14 求解线性方程组 ，(a、b 为参数)15 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组
5、Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0，求证：，+ 1，+ t 线性无关16 设 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解 *，r(A)=rn，证明：方程组 Ax=b 有 n一 r+1 个线性无关的解，而且这 n 一 r+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解17 设 A 为 mn 矩阵证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m18 设齐次线性方程组 Amnx=0 的解全是方程 b1x1+b2x2+bnxn=0 的解，其中x=(x1，x 2，x n)T证明：向量 b=(b1，b 2，b n)可由 A 的行
6、向量组线性表出19 设 1， 2， ， k(kn)是 Rn 中 k 个线性无关的列向量，证明：存在行阶满秩方阵 P，使得 P 以 1， 2， k 为其前 k 列20 设矩阵 A=(aij)nn 的秩为，2，记 A 的元素 aij 的代数余子式为 Aij，并记 A 的前 r行组成的 rn 矩阵为 B，证明：向量组 1=(Ar+1，1 ，A r+1，n )T 1=(Ar+2，1 ， ，A r+2，n )T nr=(An1，A nn)T 是齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系21 设 A 为 n 阶方阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明：r(A *)=22 设有两个线性方程组： 其中向量b=(
7、b1，b 2，b m)T0证明：方程组()有解的充分必要条件，是()的每一解y=(y1，y 2，y m)T 都满足方程 b1y1+b2y2+bmym=023 已知齐次线性方程组 其中ai0试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系24 设有向量组() ： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2， 1，a+4) T试问：当 a 为何值时，向量组() 与 ()等价?当 a
8、为何值时，向量组()与()不等价?25 讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)z=3，x+ay 一 2z=0 的相互位置关系26 设有向量 1=(1，2，0) T， 2=(1，a+2，一 3a)T， 3=(一 1，一 b 一 2，a+2b)T， =(1，3，一 3)T试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1， 2， 3 线性表示； (2) 可由 1， 2， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式27 已知(1 ，一 1，1，一 1)T 是线性方程组的一个解，试求： (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线
9、性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足 x2=x3的全部解28 确定常数 a 的值，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，a) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a ，4) T， 3=(一 2，a ，a) T 线性表示，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示29 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 若 x 满足 Ax=0，两端左乘 AT，得
10、ATAx=0，故 Ax=0 的解都是ATAx=0 的解；若 x 满足 ATAx=0，两端左乘 xT，得 (xTAT)(Ax)=0，即(Ax) T(Ax)=0，或Ax 2=0，得 Ax=0，所以 ATAx=0 的解也都是 Ax=0 的解因此()与()同解，只有选项 A 正确【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 记 4 个平面方程联立所得方程组为 Ax=b，则 4 个平面交于一条直线Ax=b 的通解为 x=(x0，y 0，z 0)+c(l，m，n)r(A)=r(Ab)且 Ax=0 的基础解系所含解向量个数为 3 一 r(A)=1r(A)=r(A)=2 ，只有选项 B 正确【知识
11、模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 因为方程组 =0 是 n+1 元齐次线性方程组，而它的系数矩阵的秩为：秩 =秩(A)nn+1 ，故该齐次线性方程组必有非零解，即(D)正确注意，在题设条件下，有秩(A)=秩A 故方程组 AX= 必有解，但不能肯定它是有无穷多解还是有唯一解，故(A)、 (B)都不对【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*0 知 A*至少有一个元素 Aij=(一 1)i+jMij0，故 A 的余子式Mij0，而 Mij 为 A 的 n 一 1 阶子式，故 r(A)n 一 1，又由 Ax=b 有解且不唯一知r(A)n，故 r(A)=n 一
12、 1因此 Ax=0 的基础解系所含向量个数为 nr(A)=n 一(n一 1)=1，只有 B 正确【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 首先，由 A (2+3)=，知 (2+3)是 Ax= 的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知 21 及 31 均为方程组 Ax=0 的解；再次，由1， 2， 3 线性无关，利用线性无关的定义，或由 21， 31=1， 2， 3 及矩阵 的秩为 2，知向量组 21， 31 线性无关，因此，方程组 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解，但它不可能有 3 个线性无关的解(否则，3 一 r(A)=3，r(A)=0 ，A=O ，这与 A1=0 矛盾
13、)，于是 21， 31 可作为 Ax=0 的基础解系，Ax=0 的通解为 k1(21)+k2(31)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项 C 正确【知识模块】 线性方程组二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵可见： (1)当 k12 时，r(A)=r( )=4，故此时方程组有唯一解 (2)当k1=2 时，对 B 作初等行变换： 可见当 k1=2 且k21 时，r(A)=3 ，而 r( )=4，方程组无解 (3) 当 k1=2 且 k2=1 时，对矩阵 C 作初等行变换：由此得方程组的一般解为 x 1=一 8，
14、x 2=32x3，x 4=2(x3 任意)，或 x1=一 8，x 2=32k，x 3=k，x 1=2，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由此可见，方程组有解b3a=0，22a=0 即 a=1，b=3 当 a=1，b=3 时，对矩阵 B 作初等行变换： 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 (x3，x 4，x 5 为自由未知量)，对应齐次方程组 Ax=0 的通解为 (x3，x 4，x 5 为自由未知量)由此得 Ax=O 的基础解系为 1=(1，一 2，1，0，0) T， 2=(1，一 2，0，1，0)T， 3=(5，一 6，0，0，
15、1) T，又原方程组有特解 =(一 2，3，0，0，0) T，故原方程组的通解为 x=+c 11+c22+c33，其中 c1，c 2，c 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 设有数 x1，x 2，x 3，使 x11+x22+x33=对此方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵可见 (1)当(4 一 k)(k+1)0，即 k4 且 k一 1 时，r(A)=r( )=3，方程组有唯一解此时，对矩阵 B 作初等行变换，可得方程组的唯一解为：x 1= (2)当 k=一 1 时，r(A)=2，而 r( )=3，方程组无解，故此时 不能由 1， 2， 3线性表示 (3)当 k=4
16、时，对矩阵 B 作初等行变换：由此得方程组的通解为 x 1=一 3c，x 2=4一 c，x 3=c，其中 c 为任意常数，故此时有 =一 3c1+(4 一 c)2+cx3(c 为任意常数)【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等时，增广矩阵的行列式 (为一范德蒙行列式) (ai 一 aj)0，故有 r( )=4，但系数矩阵的秩不大于 3，故方程组无解【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 此时有 r(A)=r( )=2，故方程组有无穷多解，对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础联系含 3 一 r(A)=32=1 个解向量，由
17、于 A(12)=A1A2=0，所以， 12=(一 2，0，2) T 或 =(1，0，一 1)T 就是 Ax=0 的一个基础解系，故原方程组的通解为 x=1+c=(一 1，1，1) T+c(1，0，一 1)T【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 设矩阵 A、X、B 按列分块分别为：A= 1 n，X=x 1 xn，B=b1 bn，则 Ax=BAx 1 Axn=b1 bnAx j=bj(j=1，p)向量 bj 可由A 的列向量组线性表示矩阵 A=1 n与矩阵 AB=1 nb1 bn的列向量组等价r(A)=rAB 以上用到了：等价的向量组必同秩；反之，若向量组()与() 同秩，且() 可由()线
18、性表示，则()与 ()等价【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=rABa=1，b=2 ，c=1 ，于是由上题知 Ax=B 有解a=1，b=2，c=1此时，对矩阵 D 作初等行变换：于是若将矩阵 B 按列分块为 B=b1 b2 b3，则得方程组 Ax=b1 的通解为：x 1=(1 一 l，一 l，l) T；方程组Ax=b2 的通解为：x 1=(2 一 m，2 一 m，m) T；方程组 Ax=b3 的通解为：x 3=(1 一 n，一 1 一 n，n) T，所以，矩阵方程 Ax=B 的通解为 x=x1 x2 x3=，其中 l，m，n 为任意常数【知识模块
19、】 线性方程组13 【正确答案】 由条件有 4 一 r(A)=2，r(A)=2，于是由知 c=1当 c=1时，对矩阵 B 作初等行变换： 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 (x3，x 4 任意)，用基础解系表示的通解为 x=c 1(1，一 1，1，0) T+c2(0，一 1，0，1) T，其中 c1，c 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换：可见方程组恒有解 (1)当 a1 时，对矩阵 B 作初等行变换：得通解为：x1=一 x4，x 2=b+3x4，x 3=一 3x4(x4 任意)，或 x=(0，b，0，0) T+c(一 1，3，一 3，1)T
20、，其中 c 为任意常数 (2)当 a=1 时，由 得通解为：x1=x3+2x4，x 2=b2x3 一 3x4，(x 2，x 4 任意)，或 x=(0，b，0，0) T+c1(1，一2，1，0) T+c2(2，一 3，0， 1)T其中 c1，c 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 设有一组数 k0，k 1，k t，使得 k0+k1(+1)+kt(+t)=0， 即 (k 0， k1，k t)+k11+ktt=0， (*) 用矩阵 A 左乘上式两端，得 (k0，k 1，k t)A=0， 因 A0，得 k0，k 1，k t=0，代入(*)式，得 k11+ktt=0， 因基础解系
21、1， t 线性无关，得 k1=kt=0，代入k0+k1+kt=0，得 k0=0，所以，向量组 ，+ 1，+ t 线性无关【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 由条件知齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，设这个基础解系为 1， 2， nr则向量组 *， *+1， *+nr (*) 满足题意首先，由解的性质易知(*)式中的 n 一 r+1 个向量均为方程组 Ax=b 的解；其次，由上题知(*)式中的向量组线性无关；再次，设 x 为方程组 Ax=b 的任一解，则 x*为方程组 Ax=0 的解，因此 x*可由 1， nr，线性表示，即存在一组常数志 k1，k nr，使得
22、x *=k11+knrnr 得 x=*+k11+knrnr =(1 一 k1一一 knr)*+k1(*+1)+knr(*+nr) 即 x 可由向量组 (*)线性表示综上可知向量组(*)满足要求【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 必要性：设 j 为 Em 的第 j 个列向量，由必要性假定，方程组Ax=j 有解 cj，即 Acj=j， (j=1，2，m)，Ac 1 c2 cm=1 2 m=Em，记C=c1 c2 cm，则有 AC=Em，故 m=r(Em)=r(AC)r(A)m，r(A)=m；充分性：设r(A)=m，即 A 的行向量组线性无关，故 的行向量组线性无关，从而有，r( )=m，由
23、有解判定定理，知方程组 Ax=b 有解(其中 =Ab)【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 由条件知方程组 Ax=0 与方程组 =0 同解，从而知矩阵 A 与有相同的秩，因此 A 的极大无关行向量组也是 的极大无关行向量组，故b 可由 A 的极大无关行向量组线性表出，从而知 b 可由 A 的行向量组线性表出【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 取齐次线性方程组 =0 的基础解系 1， nk，则可证1， ， nk， 1， nk 线性无关：设 11+ kk+11+ nknk=0，两端左乘( 11+ kk)T，并利用 iTj=0，得 11+ kk2=0， 11+ kk=0，而 1， ，
24、nk 线性无关，故有 1= nk=0， 11+ nknk=0，又1， nk 线性无关，故有 1= nk=0，于是证得 1， nk， 1， nk 线性无关，令 P=1 nk 1 nk，则 P 为满秩方阵【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由于 A 的行向量组线性无关，故 B 的行向量组线性无关，r(B)=r，方程组 Bx=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，所以，要证明 1， 2， nr是方程组 Bx=0 的基础解系，只要证明 1， 2， nr 是 Bx=0 的线性无关解向量即可首先，由于 aijAkj=0(i=1，2，r；k=r+1，n)，故 1， nr都是方程组 Bx=0 的解向量
25、；其次，由于A *=A n10，知 A*的列向量组线性无关，而 1， nr 是 A*的后 n 一 r 列，故 1， nr 线性无关，因此1， ， nr 是 Bx=0 的线性无关解向量【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A0，A *=A n10，即知 r(A*)=n；当r(A)=n 一 1 时，A 中非零子式的最高阶数为 n 一 1，一方面有 A*O，r(A *)1，另一方面有A=0，A *A=AE=O 故 A 的每一列都是方程组 A*x=0 的解向量，r(A)=n 一 1 说明 A*x=0 至少有 n 一 1 个线性无关解向量，故 n 一 r(A*)n一 1，r(
26、A *)1，以上两方面说明 r(A*)=1；当 r(A)n 一 1 时，A 中每个 n 一 1 阶子式一即 A 的每个元素的余子式都为零，A *=O，从而有 r(A*)=0【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 记 A=(aij)mn，x=(x 1，x 2，x n)T，y=(y 1，y 2，y n)T，则方程组( )的矩阵形式为 Ax=b，方程组()的矩阵形式为 ATy=0，方程 biyi=0 的矩阵形式为 bTy=0必要性：设方程组()有解 x，y 为()的任一解，则 bTy=(Ax)Ty=xT(ATy)=xTO=0，故( )的任一解 y 都满足方程 bTy=0充分性：在充分性条件下，两
27、个齐次线性方程组 =0 与 ATy=0 同解，故其系数矩阵的秩相同，从而系数矩阵的转置矩阵的秩也相同，即 r(A)=r(Ab)由有解判定定理知方程组( )有解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 方程组的系数行列式A=b n1(b+ ai)故当A0，即b0 且 b+ ai0 时，方程组仅有零解而当 b=0 或 b+ ai=0 时。方程组有非零解当 b=0 时，设 a10。则由 A ，得方程组的基础解系为：(一 ，1，0，0) T，得方程组的基础解系可取为(1，1，1) T【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 因行列式 1 2 3=a+10 ，故当 a一 1 时方程组x11+x22+
28、x33=t(i=1，2，3)均有解( 且有惟一解)，所以向量组 ()可由( )线性表示又由行列式 1 2 3=60，同理可知向量组()可由()线性表示故当 a一 1 时，()与()等价当 a=一 1 时，由于秩 1 2 3秩 1 2 3i1，故方程组 x11+x22+x33=1 无解，即 1 不能由()线性表示，因此()与()不等价【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 首先由三个平面的法向量互不平行，知三个平面互不平行(更不会重合)考虑由三个平面方程联立所得线性方程组当 a3 且 a一 1 时，方程组有唯一解，故此时三个平面交于一点；当 a=3 时，方程组有无穷多解，通解为(x，y， z
29、)T=(3一 1，0) T+c(一 7，3，1) T，此通解在几何上代表一条空间直线 L，所以此时三个平面相交于直线 L；当 a=一 1 时，方程组无解，即三个平面无公共交点，故此时三个平面两两相交于一条直线【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x 3，使得 x 11+x22+x33= (*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当 a=0，b 为任意常数时，有 可知 r(A)r( )，故方程组(*)无解， 不能由 1， 2， 3 线性表示 (2)当 a0，且 ab 时，r(A)=r( )=3，方程组(*) 有唯一解：x=1 一 ，x 3=0故此时 可由
30、 1， 2， 3 唯一地线性表示为：=2 (3)当 a=b0 时，对 施行初等行变换：可知 r(A)=r( )=2，故方程组 (*)有无穷多解，通解为：x1=1 一 +c，x 3=c，其中 c 为任意常数故此时 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 = 2+c3【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 将解向量 x=(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组，得 =对方程组的增广矩阵施行初等行变换：因 r(A)=r(A)=34，故方程组有无穷多解，全部解为 x=(0，一 ，0) T+k(一2，1，一 1，2) T，其中 k 为任意常数因 r(A)=r( )=24，故方程组
31、有无穷多解，全部解为 x=( 一 ， 1，0，0) T+k1(1，一 3，1，0)T+k2(一 1，一 2，0，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数 (2)当 时，由于 x2=x3，即，故此时，方程组的解为 x=(0，一(一 2，1，一 1，2) T=(一 1，0，0，1) T 当 = 时，由于 x2=x3，即 13k1 一 2k2=k1，解得 k2= 一 2k1，故此时全部解为 x=(一 ，1，0，0)T+k1(1，一 3，1，0) T+( 一 2k1)(一 1，一 2，0，2) T=(一 1，0，0，1)T+k1(3，1，1，一 4)T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 记 A
32、=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，由于 1， 2， 3 不能由1， 2， 3 线性表示，故秩 r(A)3，从而A=一(a 一 1)2(a+2)=0，所以 a=1 或a=一 2 当 a=1 时， 1=2=3=1=(1，1，1) T，故 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示，但 2=(一 2，1，4) T 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以 a=1 符合题意 当a=一 2 时，由下列矩阵的初等行变换可知秩 r(B)=2，秩 r(B 2)=3，所以方程组 Bx=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3线性表示，所以 a=一 2 不符合题意因此 a=1【知识模块】 线性方程
33、组29 【正确答案】 因为方程组()的方程个数小于未知量个数，所以()有无穷多解，因()与() 同解。故方程组 ()有非零解，因此方程组(1) 的系数行列式等于零，由此解之得 a=2，此时，由()的系数矩阵的初等行变换 (1)得 =(一 1，一 1，1) T 是( )的一个基础解系将 代入方程组()可得b=1，c=2，或 b=0，c=1 当 b=1，c=2 时，对()的系数矩阵施行初等行变换，有(2)比较(1) 式与(2)式右边的矩阵知此时( )与()同解 当 b=0，c=1 时，对() 的系数矩阵施行初等行变换 (3)比较(1)式与(3)式右边的矩阵即知此时 ()与()的解不相同 综上可知，a=2，b=1，c=2 符合题意【知识模块】 线性方程组
