1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=0 2 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A 的秩为 3。则 A 相似于二、填空题3 设 A 为 n 阶矩阵，A0，A *为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 ，则(A *)2+E 必有特征值是_4 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_5
2、 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维向量A 1=0，A 2=21+2，则 A 的非零特征值为_6 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置则矩阵 T 的非零特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 已知矩阵 (1)求 x 与 y；(2)求一个满足 P1AP=B 的可逆矩阵 P7 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：8 为 A1 的特征值；9 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值9 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为 1=10 将 用 1， 2， 3 线性表出11 求 An(行为自
3、然数 )12 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为1=(0，1，1) T，求 A12 已知 的一个特征向量13 试确定参数 a、b 及特征向量 所对应的特征值；14 问 A 能否相似于对角阵?说明理由15 设矩阵 其行列式A =一 1，又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为 0，属于 0 的一个特征向量为 =(一 1，一 1，1) T，求 a、b、c 和 0的值15 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n
4、 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量 16 求 的关系式并写成矩阵形式： ；17 验证 1= 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；18 当 18 设 A，B 为同阶方阵，19 如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等20 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立21 当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立22 设矩阵 矩阵 B=P*A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵23 设矩阵 A= 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化2
5、3 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T、是线性方程组 Ax=0 的两个解24 求 A 的特征值与特征向量；25 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A25 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，且 1=(1，一 l，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵26 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；27 求矩阵 B27 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且28 求 A 的所
6、有特征值与特征向量29 求矩阵 A考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 12 及特征值的性质知 1， 2 线性无关显然，向量组1， A(1+2)=1， 11+22等价于向量组 1， 2当 20 时，它线性无关，当 2=0 时，它线性相关，故 1，A( 1+2)线性无关 20【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1， 2， 3， 4，由 r(A)=3，知 A 的列向量组的极大无关组含 3 个向量，不妨设 1， 2， 3 是
7、A 的列向量组的极大无关组由于 A2=一 A，即 A 1 2 3 4=一 1 2 3 4， 即 A 1 A2 A3 A4=一 1 2 3 4， 得 Aj=一 j，j=1，2，3，4 由此可知一 1 是 A 的特征值值且1， 2， 3 为对应的 3 个线性无关的特征向量，故一 1 至少是 A 的 3 重特征值 而 r(A)=34，知 0 也是 A 的一个特征值于是知 A 的全部特征值为：一 1，一1，一 1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故 A 相似于对角矩阵 D=diag(一 1，一 1，一 1，0) ，故选项 D 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二
8、、填空题3 【正确答案】 ( )2+1【试题解析】 因 为 A 的特征值，故存在非零列向量 X，使 AX=X 两端左乘 A*并利用 A*A=AE，得 AX=A *X 因为 A 可逆，故 0，两端同乘 ，得 A*X= 两端左乘 A*，得 (A *)2X= 两端同加 X，得 E(A*)2+EX=( )*+1X 由定义即知( )*+1 为 (A*)2+E 的一个特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 1=n， 2=3= n=0【试题解析】 由EA=( 一 n)n1=0 即得 A 的特征值为 1=n， 2=3= n=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 1【试题解
9、析】 由 1， 2 线性无关，知 21+20，又由已知条件知 A(21+2)=2A1+A2=0+21+2=21+2=1(2 1+2)，于是由定义知 =1 为 A 的一个特征值且 21+2 为对应的一个特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 2【试题解析】 由于 T=2，故 0，且有 ( T)=(T)=2， 于是由特征值与特征向量的定义，知 2 为方阵 T 的一个特征值且 为对应的一个特征向量下面还可证明方砗 T 只有一个非零特征值首先可证方阵 T 的秩为 1：由 TO 知r(T)1，又由 r(T)r()=1，知 r(T)=1，故 0 为 T 的特征值其次可证 0 为T 的
10、 2 重特征值：由于齐次线性方程组(O 一 T)x=0 的基础解系所含向量的个数即方阵 T 的属于特征值 0 的线性无关特征向量的个数 =3 一 r(T)=31=2，所以 0 至少是 T 的 2 重特征值，但不会是 3 重特征值 (否则 T=0)既然 3 阶方阵 T 有 2 重特征值 0，因此其非零特征值就只能有一个【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 因 A 与 B 相似，故E 一 A=E 一 B，即亦即 ( 一 2)(2 一 x 一 1)=( 一 2)2+(1 一 y)y，比较上式两端关于 的同次幂的系数，得 x=0，y=1
11、(2)由(1)，有 计算可得 A 的对应于特征值 2，1，1 的特征向量分别可取为 P1= 因 p1，p 2，p 3 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关令矩阵 P=p1 p2 p3= 则 P 可逆，且有 P1AP=B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 由已知，有非零向量 满足 A=，两端左乘 A1得 =A1因 0，故 0，于是有 A1= 为 A1 的一个特征值( 为对应的一个特征向量)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 由于 A1=为 A*的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征
12、向量10 【正确答案】 设 =x11+x22+x33，即得唯一解 x1=2， x2=一 2，x 3=1，故 =212+3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 A n=An(2122+3)由于 A i=ii，A ni=ini，(i=1，2，3)故 An=2An1 一 2An2+An3=21n1 一 22n2+3n3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 对应于 2=3=1 有两个线性无关的特征向量 2， 3，它们都与 1正交，故可取【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 由解得 a=一 3，b=0，=一 1【知
13、识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 由 知 =一 1 是 A的 3 重特征值但 从而 =一 1 对应的线性无关特征向量只有 1 个，故 A 不能相似于对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 由题设，有 A *=0 两端左乘 A，并利用 AA*=AE=一 E(已知A= 一 1)，得 一 =0A解之得0=1，b= 一 3，a=c 由A= 一 1 和 a=c，有 =a 一 3=一 1 故a=c=2因此 a=2，b= 一 3，c=2， 0=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 由题设，有【知识模块】 矩阵的特
14、征值和特征向量17 【正确答案】 由于 1 与 2 的对应分量不成比例，故 1 与 2 线性无关因 A1=1，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值为 1=1因 A2= 2 故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值为 2= 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 由 A，B 相似知，存在可逆方阵 P，使 P1AP=B，故 E 一B=E 一 P1AP= P 1EPP1AP = P 1(E 一 A)P=P 1E 一AP =P 1P E 一 A= E 一 A【知识模块】 矩阵的特征值和特
15、征向量20 【正确答案】 令 A= ，则有 E 一 A= 2=E 一B，但 A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B=O，从而 A=POP1=O，这与 AO 矛盾【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，则 A 与 B 有相同的特征值，设 A(B)的全部特征值为1， 2， n，则 A，B 都相似于对角阵 即存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P1AP= =Q1BQ 于是有 (PQ 1)1A(PQ1)=B 由PQ1 可逆知 A 与 B 相似【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案
16、】 经计算可得于是由 B+2E 的特征方程 E 一(B+2E) = =( 一 9)2( 一 3)=0 得 B+2E 的特征值为 1=2=9， 3=3对于 1=2=9，由 9E 一(B+2E)=得对应的线性无关特征向量可取为 1=所以对应于特征值 1=2=9 的全部特征向量为 k11+k22=k1(一 1，1，0) T+k2(一 2，0，1) T 其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数 对于 3=3，对应的一个特征向量可取为 3=(0，1，1，) T 所以对应于特征值 3=3 的全部特征向量为 k33=k3(0，1，1) T，其中 k3 是不为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2
17、3 【正确答案】 A 的特征多项式为=( 一 2)(2一 8+18+3a) (1)若 =2 是 f()的二重根，则有( 2 一 8a+18+3a) =2=2216+18+3a=3a+6=0，解得 a=一 2 当 a=一 2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵2EA= 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化 (2)若 =2 不是 f()的二重根，则 2 一 8+18+3a 为完全平方，从而 18+3a=16解得 a= 当 a=一 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 的秩为 2，故 A 的对应于特征值 4 的线性无关特征向量只有一个，从而 A 不可
18、相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以因为 A1=0，A 2=0，即 A 1=01，A 2=02 故由定义知1=2=0 是 A 的二重特征值， 1， 2 为 A 的属于特征值 0 的两个线性无关特征向量；3=3 是 A 的一个特征值， 3=(1，1，1) T 为 A 的属于特征值 3 的特征向量 总之，A 的特征值为 0，0，3属于特征值 0 的全体特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为 k33(k30)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2
19、5 【正确答案】 对 1， 2 正交化令 1=1=(一 1，2，一 1)T2=2 一(一 1，0，1) T 再分别将 1， 2， 3 单位化，得那么 Q 为正交矩阵，且 QTAQ=A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 A ki=iki(i=1，2，3，k=1 ，2，)，于是有 B 1=(A5 一 4A3+E)1=(15 一 413+1)1=一 21 因 10，故由定义知一 2 为 B 的一个特征值且 1 为对应的一个特征向量类似可得 B 2=(25
20、 一 423+1)2=2 B3=(35 一 433+1)3=3 因为 A 的全部特征值为 1， 2， 3，所以 B 的全部特征值为 i5 一 4i5+1(i=1，2，3) ，即 B 的全部特征值为一 21，1 因一 2 为 B 的单特征值，故 B 的属于特征值一2 的全部特征向量为 k11，其中是 k1 是不为零的任意常数 设 x=(x1，x 2，x 3)T 为B 的属于特征值 1 的任一特征向量因为 A 是实对称矩阵，所以 B 也是实对称矩阵因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x 1，x 2，x 3)1=0，即 x 1x2+x3=0 解得该方程组的基础解系为 2=(11，0)
21、 T， 3=(一 1，0，1) T 故 B的属于特征值 1 的全部特征向量为 k22+k33，其中 k2，k 3 为不全为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 由() 知 1， 2， 3 为 B 的 3 个线性无关的特征向量，令矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值由题设可得所以，一 1 是 A 的一个特征值，且属于一1 的特征向量为 k1(1，0，一 1)T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数 设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 A的属于。的特征向量，由于 A 为实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T，于是属于 0 的特征向量为 k3(0，1，0)T，其中 k3 为任意非零常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
