1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 矩阵 相似的充分必要条件为（A）a=0 ，b=2（B） a=0b 为任意常数（C） a=2，b=0（D）a=2 ，b 为任意常数2 设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（A）A T 与 BT 相似（B） A1 与 B1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A 1 与 B+B1 相似3 已知矩阵 A= ，则（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似
2、（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似4 下列矩阵中，与矩阵 相似的为5 与矩阵 D= 相似的矩阵是6 n 阶方阵 A 有 n 个两两不同特征值是 A 与对角矩阵相似的（A）充分必要条件（B）充分而非必要的条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件 7 设 A、B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是（A）秩(A)=秩(B) （B） A= B（C） A、B 有相同的特征多项式（D）A、B 有相同的特征值 1， 2， n 且 1， 2， n 两两不同 8 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E 一 A=E 一 B（B） A 和 B 有相同的特
3、征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于同一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tEB 都相似9 设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A*的特征根之一是（A） 1A n（B） 1A（C） A（D）A n 二、填空题10 设 2 阶矩阵 A 有两个不同特征值， 1， 2 是 A 的线性无关的特征向量，且满足A2(1+2)=1+2，则A=_11 设 1=(1， 2，0) T 和 2=(1，0，1) T 都是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量。又 =(一 1，2，一 2)T，则 A=_12 设 1， 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，X
4、1 为对应于 1 的一个单位特征向量则矩阵 B=A1X1X1T 有两个特征值为_13 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 ，则行列式B 1一 E=_14 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 A2)1+12A*一E=_15 设向量 =(1，0，一 1)T，矩阵 A=T，a 为常数，n 为正整数，则行列式aE一 An=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 证明 n 阶矩阵 相似16 设矩阵 A= 17 求 a，b 的值；18 求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角矩阵18 已知矩阵 A= 19 求 A99；20 设 3 阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足 B2=B
5、A，记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合21 设 3 阶矩阵 A 的特征值为一 11，1，相应的特征向量分别为 (1，一 1，1)T， (1，0， 1)T，(1，2，一 0)T，求 A10022 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，0对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若B=A2 一 9A+3E试求 B1 的特征值和特征向量23 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，一 3，B=A 3 一 7A+5E，求矩阵 B24 3 阶矩阵 A 与对角阵 相似，证明：矩阵 B=(A1E)(A2E)(A3E)=O25 设 A 为 n 阶非零矩阵，存
6、在某正整数 m，使 Am=O，求 A 的特征值，并证明 A不与对角阵相似26 下列矩阵是否相似于对角阵?为什么?27 已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 A 的逆矩阵 A1 的特征向量，试求常数 k 的值及 对应的特征值27 设矩阵 相似28 求 x 和 y 的值；29 求可逆矩阵 P，使 P1AP=B30 设 3 阶矩阵 A 满足 Ai=ii(i=1，2，3)，其中 1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1)T， 3=(一 2，一 1，2) T，求矩阵 A31 设 1， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，X 1、X 2 分别为属于 1、 2 的特征向量证明：X 1+X2 不
7、是 A 的特征向量32 设 有 3 个线性无关的特征向量，求 x、y 应满足的条件考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，b，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有由此得 a=0当 a=0 时，矩阵 A 的特征多项式为由此得 A 的全部特征值为2，b，0以下可分两种情形： 情形 1：若 b 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵且对角矩阵的主对角线元素为该实对称
8、矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似于 B综上可知，A 与 B 相似的充分必要条件为a=0，b 为任意常数所以只有选项 B 正确 情形 2：若 b 是任意复数而不是实数，则 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，因此 A 必相似于对角矩阵 B只有选项B 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件知，存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=B(1) 由(1)两端取转置得 PT、A T(PT)1=BT，可见 AT 与 BT 相似，因此选项 A 正确： 由(1)两端取逆矩阵，得 P1A1P=B1(2)，可见 A1 与 B1 相似，因此选项 B 正确： 将(
9、1)与(2)相加，得 P1(A+A1)P=B+B1，可见 A+A1 与 B+B1 相似，因此选项D 正确故只有选项 C 错误【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 本题要判别 3 阶矩阵 A，B 是否与 3 阶对角矩阵 C 相似的问题，易知这 3 个矩阵具有相同的特征值 2，2，1，它们都有一个 2 重特征值 2利用结论：方阵 A 与对角矩阵相似的充要条件，是 A 的每个重特征值对应的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数因此问题归结为齐次线性方程组(2I A)x=0的基础解系是否含 2 个向量、亦即矩阵 2IA 的秩是否为 1 的问题由【知识模块】 矩阵的
10、特征值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 记矩阵 A= ，记 4 个选项中的矩阵分别为A1，A 2，A 3，A 4若矩阵 A 与矩阵 Ak 相似，则矩阵 AE 与矩阵 Ak 一 E 相似，从而矩阵 AE 与矩阵 Ak 一 E 有相同的秩，容易求出矩阵 AE，A 1 一 E，A 2 一E，A 3 一 E， A4 一 E 的秩依次为 2，2，1，1，1，故选项 B、C 、D 都不对，只有选项 A 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 C【试题解析】 A 与对角矩阵 D 相似A 的特征值为 1=2=l， 3=2，且 A 的对应于2 重特征值 1 的线性无关特征向量的个数为
11、 2后一条件即方程组(EA)X=0 的基础解系含 2 个向量，即 3 一 r(EA)=2，或 r(E 一 A)=1，经验证，只有备选项 C中的矩阵满足上述要求【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 D【试题解析】 当 n 阶方阵有 n 个互不相同特征值时，它也相似于对角矩阵故在选项 D 的条件下存在适当的可逆矩阵 P、O，使 P1AP=D，Q 1PQ=D，其中D=diag(1， 2， n)为对角矩阵故有 P1AP=Q1BQ，QP 1APQ 妒 1=B，(PQ 1)1A(PQ1)=B，记矩阵 M=PQ1，则 M 可逆，且使 M
12、1AM=B，所以在选项 D 的条件下，A 与 B 必相似【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 D【试题解析】 当 A 与 B 相似时，有可逆矩阵 P，使 P1AP=B故 P1(tEA)P=P1tEPP1AP=tEB，即 tEA 与 tEB 相似，故选项 D 正确实际上，若 A 与 B 相似，则对任何多项式 f，f(A)与 f(B)必相似【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 B【试题解析】 由条件，存在非零列向量 x，使 Ax=x，两端左乘 A*并利用A*A=AE，得Ax=A xx，因 A 可逆，故 A 的特征值 0，两端乘为 A*的一个特征值且 x 为对应的一个
13、特征向量只有 B 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题10 【正确答案】 一 1【试题解析】 设 2 阶矩阵 A 的两个不同特征值为 1， 2，则这两个特征值都是 A的单特征值，因为属于单特征值的线性无关特征向量只有 1 个故 k 是属于k(k=1，2)的特征向量于是有 Ak=kk，A 2k=k2k(k=1，2)， 从而有 A 2(1+2)=A21+A22=121+222， 由已知条件得 A 2(1+2)=121+222=1+2， 或 ( 12 一1)1+(22 一 1)2=0， 因为 1， 2 线性无关，得 12 一 1=0， 12 一1=0， 1=1 2=一 1，或 1=一
14、1， 2=1， 于是由特征值的性质得 A= 12=一1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 (一 2，4，一 4)T【试题解析】 = 122 也是 A 的属于特征值 2 的特征向量，故 A=2=(一2，4，一 4)T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 0， 2【试题解析】 设 X2 是 A 的属于 2 的一个特征向量，则 BX1=AX1 一 1X1(X1TX1)=1X11X1=0=0X1BX 2=AX2 一 1X1(X1TX2)=AX2 一 1X10=X2=2X2故 B 有特征值 0 和 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 24【试题
15、解析】 B 的特征值为 ，B 1 的特征值为 2，3，4，5，B 1 一E 的特征值为 1，2，3，4，方阵的全部特征值的乘积等于方阵的行列式，故B 1 一 E =1234=24【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 1 620【试题解析】 A= ，A *=AA 1= A2)1+12A*一 E=2(A1)2+A1 一 E=f(A1)，其中 f(x)=2x2+x 一 1，A 1 的特征值为：2，2，3，故 f(A1)的特征值为： f(2)=9，f(2)=9，f(3)=20，故f(A 1)=9920=1 620【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 a 2(a2n)
16、【试题解析】 实对称 A 的特征值为 0，0，2，故存在可逆矩阵 P，使 P1AP=，P 1(aEAn)P=aE 一 P1AnP=aE 一(P 1AP)n=aE 一，两端取行列式，得aEA n=a 2(a 一 2n)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=B，或 AP=PB，设 P 按列分块为P=p1，p 2，p 3，则 AP=PBAp 1，p 2，p n=p1，p 2，p nAp 1=0，Ap n1=0， Apn=p1+2p2+npn由解上面的方程组，可求出可逆矩阵 P=p1，p 2，p n
17、=满足 P1AP=B，所以 A 相似于B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹 (主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得a+3=b+2，2a 一 3=b解得 a=4，b=5【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： E 一A=E 一 B=( 一 1)2( 一 5) 由此得 A 的特征值为 1=2=1， 3=5 对于A1=2=1，解方程组(E 一 A)x=0，有 得对应于 1=2=1 的线性无关特征向量 1= 对于 3=5
18、，解方程组(5EA)x=0，由得对应于 3=5 的特征向量 3= 令矩阵 P=1 2 3= 则矩阵 P 可作为所求的可逆矩阵，使得 P1AP= 为对角矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 利用方阵 A 的相似对角化来求方阵 A 的幂，为此先来求 A 的特征值与特征向量，由E 一 A= =(+1)(+2)=0得 A 的全部特征值为 1=1， 2=一 1， 3=一 2，对于特征值 1=0，解方程组 Ax=0，得对应的特征向量 1=(3，2，2) T，对于特征值 2=一 1，解方程组(一 EA)x=0，得对应的特征向量 2=(1，1，0) T
19、对于特征值 3=一 2，解方程组(一 2EA)x=0，得对应的特征向量 3=(1，2，0) T，令矩阵 P=(1， 2， 3)=D，于是得 A99=(PDP1)99=PD99PT=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 因为 B2=BA，所以 B 100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=BA99，即(1， 2， 3)=(1， 2， 3) 所以 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由条件知 3 阶方阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 可相似对角化即存在可逆矩阵 P，使 P1AP=diag(一 1，1，1)，A=Pdiag(一 1，1，
20、1)P 1，A 100=Pdiag(一 1，1 ，1) 100P1=Pdiag(一 1)100，1 100，1 100)P1=PEP1=E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 对于 A 的特征值 i，有 Am1=Ami1(i=1，23；m=1，2，)，故 B1=(A2 一 2A+3E)1=A212A1+31=(12 一 21+3)1=(12 一 21+3)1=21，类似地有 B2=(一 1)2 一 2(一 1)+32=62，B 2=02x0+33=33，因此，B 有特征值 2，6，3(由 B 为 3 阶方阵知这就是 B 的全部特征值)，对应的线性无关特征向量分别为 1， 2，
21、 3，B =2630，故 B 可逆，再由特征值的性质知 B1 的全部特征值为 ，对应的特征向量分别为 k11，k 22，k 33，其中 ki 为任意非零常数(i=1，2，3)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 一 EB 的特征值为一 1，一 1，一 1，由 A 相似于对角阵，知 B相似于对角阵，故有叮逆阵 P，使 P1BP=一 E。B=P(一 E)P1=一 E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 存在可逆阵 P，使 P1AP=D，故 A=PDP1，B=(PDP 11PP1)(PDP1 一 2PP1)(PDP1 一 3PP1)=P(D1E)P1P(D2E)P
22、1P(D3E)P1=P(D1E)(D2E)(D3E)P1=P1=O【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则有 Ax=x，两端左乘 A，得 A2x=Ax=3x，再左乘 A得 A3x=3x，一般地可得 Amx=mx，因Am=O，得 mx=0，因 x0，得 =0。故 A 的特征值全为 0因 r(0EA)=r(A)1，故(0EA)x=0 的基础解系最多含 n 一 1 个向量，故 A 没有 n 个线性无关的特征向量亦可用反证法证明 A 不相似于对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 (1)是因该 3 阶方程有 3 个
23、两两不同的特征值 1，2，3；(2)否因该 4 阶方阵 A 的线性无关特征向量只有 2 个：特征值为 1=2=3=4=1，而EA 的秩为 2，故(E A)x=0 的基础解系含 2 个向量，即 A 的线性无关特征向量只有 2 个【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 由条件有 A1=，两端左乘 A，得 A=，即对照上式两端的对应分量得方程组由此解得 k=一 2，=1；或 k=1，= 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 由条件知 A 的特征值为 1=一 1 2=2， 3=y，故有 0=一 EA=(一 1)3 E+A=E+A=
24、=2x，x=0又由特征值的性质，有一 1+2+y=一 2+x+1，解得 y=一 2所以， x=0，y=一 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 对于 1=一 1，由一 EAE+A= ，得对应于 1=一 1 的线性无关特征向量可取为 1=(0，2，一 1)T；类似可求出对应于2=2， 3=一 2 的线性无关特征向量分别可取为 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，一 1)T因此，令矩阵 P=1 2 3= 则有 P1AP=B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 由条件知 1， 2， 3 分别是 A 的对应于特征值 1，2，3 的特征向量，因此 A 可相似对角
25、化，令矩阵 P=1， 2， 3= ，则有 P1AP=diag(1，2，3)，A=Pdiag(1，2，3)P 1= 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 可用反证法：若 X1+X2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量，则有A(X1+X2)=0(X1+X2)得 AX1+AX2=0(X1+X2)， 1X1+2X2=0X1+0X2，( 10)X1+(2 一 0)X2=0，因为 X1 与 X2 线性无关， 10=0， 2 一0=0， 1=0=2，这与 12 矛盾【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 1，A 有 3 个线性无关特征向量A的属于 1=2=1 的线性无关特征向量有 2 个矩阵 EA= 的秩为1x+y=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
