1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 19 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 设 的一个特征值为 31 求 y 的值；2 求可逆方阵 P，使(AP) T(AP)为对角阵3 设 4 阶方阵 A 满足条件 I+A=0，AA T=2I，A0，其中 I 是 4 阶单位阵求 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值4 设 (1)求 a、b 的值；(2)求可逆矩阵 P，使 P1AP=B5 设 问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=D 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵 D6 设 已知 A 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的 2 重特征值，试求可
2、逆矩阵 P，使 P1AP 为对角形矩阵7 设 已知线性方程组 AX= 有解不唯一试求：(1)a的值；(2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵7 设向量 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0记 n 阶矩阵 A=T，求：8 A2；9 矩阵 A 的特征值和特征向量10 设 A= ，B=(kE+A) 2，(k 为实数)求对角矩阵 D，使 B 与 D 相似；并问 k 取何值时 B 为正定矩阵?11 已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 6，3，3， 1=(1，1，1) T 是属于特征值 1=6的特征向量，求矩阵 A12 已知矩阵 A=(aij
3、)nn(n2)的秩为 n 一 1，求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征向量13 设 n 阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵14 若矩阵 A= 相似于对角矩阵 ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P使 P1AP=A15 设矩阵 A= 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 a 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值15 设 =(a1，a 2，a n)T 为 Rn 中的非零向量，方阵 A=T16 证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 Am=tm1A，并求出
4、t；17 求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角阵 A17 设 n 阶矩阵18 求 A 的特征值和特征向量；19 求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角矩阵19 设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量20 求 A 的另一特征值和对应的特征向量；21 求矩阵 A21 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=2+3，A 3=22+3322 求矩阵 B，使 A1， 2， 3=1， 2， 3B；23
5、 求 A 的特征值；24 求一个可逆矩阵 P，使得 P1AP 为对角矩阵24 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3满足 A3=2+325 证明 1， 2， 3 线性无关；26 令 P=1， 2， 3，求 P1AP27 设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T，求 a，Q考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 19 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量1 【正确答案】 3EA=8(2 一 y)=0，y=2【知识模块】 矩阵的特征
6、值和特征向量2 【正确答案】 A T=A，可知(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，由配方法：XTA2X=(x1，x 2，x 3，x 4)A2(x1，x 2，x 3，x 4)T=x12+x22+5(x3+ x42，令，即 X=PY 则 XTA2X y12+y22+4y32+ y42 故所求可逆阵 且使 (AP) T(AP)=PTA2P= 若用正交矩阵化实对称阵 A2 为对角阵，则可取 且使(ALP) T(AP)=PTA2P=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 由 0 +A=(一 1)4一 A知 A 有一个特征值 =一 ，由 AAT=2I，A 2=24=16，及A0，
7、得A =一 4，由特征值的性质知A*有一个特征值为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 由 解得 a=5，b=6，计算可得对应于特征值 2，2；6 的线性无关特征向量分别可取为 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1)T， 3=(1，一 23) T，于是可取 P=1 2 3= 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 由E A=(+1)2(一 1)=0，得 A 的全部特征值为 1=2=一 1， 3=1故 A 可对角化A 的属于 2 重特征值 1=2=一 1 的线性无关特征向量有 2 个方程组(一 EA)x=0 的基础解系含 2 个向量3 一 r(一 EA)
8、=2r(EA)= =1k=0当 k=0时，可求出 A 的对应于特征值一 1，一 1；1 的线性无关特征向量分别可取为1=(一 l，2， 0)T， 2=(1，0，2) T； 3=(1，0，1) T，故令 P=1 2 3= ，则有 P1AP=diag(一 1，一 1，1)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 由条件知方程组(2E 一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量，故 2EA的秩为 1，得 x=2，y= 一 2，【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 由条件知 r(A)=rA3，a=一 2，Q=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征
9、向量8 【正确答案】 由于 T=T=0，故 A2=TT=(T)T=(0)T=O【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 因 A2=0，故 A 的特征值全为零因 0，0，不妨设a10， b10，则由则 A 的属于特征值 0 的线性无关特征向量为因 A的特征向量只属于特征值 0，故 A 的全部特征向量为 k11+k22+kn1n1，其中k1，k 2，k n1 为不全为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 易求得实对称矩阵 A 的特征值为 2，2，0，故存在可逆矩阵 P，使 1AP= ，故 P1BP=P1(kE+A)2P=P1(kE+A)P2=(kE+P1A
10、P)2=D，即 B 与对角矩阵 D 相似；且由D 知 B 的特征值为(2+k) 2，(2+k) 2，k 2，因为实对称矩阵正定当且仅当它的特征值都大于零，故 B 正定k一 2 且 k0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 设 A 的属于特征值 2=3=3 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则由实对称矩阵的性质，有 0=1T=x1+x2+x3，解这个齐次线性方程得其基础解系为2=(一 1，1， 0)T， 3=(1，1，一 2)T，则 2， 3 就是属于 2=3=3 的线性无关特征向量 1， 2， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得 A 的标准正交的特征向量为，1=
11、(1，1，一 2)T，于是得正交矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 由 A*A=AE=O，知 A 的 n 一 1 个线性无关的列向量都是方程组 A*X=0 的解向量，即 =0 至少是 A*的 n 一 1 重特征值，而上述 n 一 1 个列向量即为对应的线性无关的特征向量又由全部特征值之和等于 A11+A22+Ann(Aij 为aij 的代数余子式 )，故 A*的第 n 个特征值为 Akk，由 r(A*)=1，故 A*的列成比例，不妨设 A110，则有常数 k2，k n，使 于是A11+A22+Ann=A11+k2A12+knA1n，且有可推知(A11+A12+A1n)T
12、 为 A*的对应于特征值 Akk 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2) 必成立故只需证明(1)设 为 A 之特征向量，则有数 ，使 A=，两端左乘 B，并利用 BA=AB，得 A(B)=(B)若 B0，则B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量因(EA)x=0 的解空间为 1 维的，故有数，使 B=，故 亦为 B 之特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量总之， 必为 B 之特征向量，由于 的任意性说明 A 的特征向量都是 B 的
13、特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 A 的特征值为 1， 2=6， 3=一 2，由 A 相似于对角阵知矩阵6EA 的秩为 1，a=0 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 设 A*的属于特征值 的特征向量为 ，则由 A 可逆知 A*可逆有 0，A *=，A= ，比较两端对应分量得方程组 3+b=，解之得 b=1 或 b=一 2，a=2，再由A=3a 一 2=4，= ，所以，a=2，b=1，=1；或 a=2，b=一2，=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 A m=(T)(T)( T)=(T)m
14、1T=(T)m1(T)=( aim1)m1A=tm1A，其中 t= ai2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 AOA T=A，1r(A)=r( T)r()=1，r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩故矩阵 A 只有一个非零特征值，而有 n1 重特征值 1=2= n1=0A 的属于特征值 0 的线性无关特征向瞳可取为 (设 a10)： 1=(一 ，1，0，0) T， 2=(一 ，0，1，0) T， n1=(一 ，0，0，1) T；属于特征值 n= ai2 的特征值为 ，令矩阵 P=1 2 n1 ，则有 P1AP=diag(0，0，0， ai2)对角阵其中，
15、n 的求法可利用特征值的性质： 1+2+ n1+n=(A 的主对角线元素之和) ai2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 1 当 b0 时，E A= = 一 1 一(n一 1)b 一(1b) n1，故 A 的特征值为 1=1+(n 一 1)b， 2= n=1 一 b对于1=1+(n 一 1)b，设对应的一个特征向量为 1，则 =1=1+(n 一 1)b1 解得 1=(1，1， 1)T，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1=k(1，1，1)T，其中 k 为任意非零常数 对于 2= n=1b，解齐次线性方程组(1b)EAx=0由 解得基础
16、解系为2=(1，一 1，0，0) T， 3=(1，0，一 1，0) T， n=(1，0，0，一 1)T故属于 2= n 的全部特征向量为 k22+k33+knn，其中 k2，k 3，k n 为不全为零的任意常数 2 当 b=0 时，A=E，A 的特征值为 1=2= n=1，任意 n维非零列向量均是特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 1 当 b0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令矩阵 P=1 2 n，则有 P 1AP=diag(1+(n 一 1)b，1b，1b) 2 当 b=0 时，A=E，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P1AP=E【知识模块】 矩阵的特征
17、值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 因为 1=2=6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 的一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 由 r(A)=2 知A=0，所以A 的另一特征值为 3=0 设 3=0 对应的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则有2T=0(i=1， 2)，即 解得此方程组的基础解系为 =(一 1，1，1)T，即 A 的属于特征值 3=0 的特征向量为 k=k(一 1，1，1) T(k 为任意非零常数)【知识模块】 矩阵
18、的特征值和特征向量21 【正确答案】 令矩阵 P=1 2 ，则有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由题设条件，有 A 1， 2， 3=A1，A 2，A 3=1+2+3， 22+3，2 2+33=1， 2， 3 所以，B=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 记矩阵 C=1， 2， 3，则由(1)知 AC=CB，又因 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，知 C 为 3 阶可逆方阵，故得 C1AC=B，计算可得 B 特征值为 1=2=1， 3=4，因相似矩阵有相同特征值，得 A 的特征值为 1=2=1， 3=4【知
19、识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 对于 1=2=1，解方程组(E 一 B)x=0，得基础解系 1=(一11，0) T， 2=(一 2，0， 1)T；对应于 3=4，解方程组(4EB)x=0，得基础解系己=(0，1，1) T令矩阵 Q=1 2 3= 则有 Q 1B Q= 因 Q1BQ=Q1C1ACQ=(CO)1A(CQ)，记矩阵 PCQ 一 1， 2， 3 =一 1+2，一 21+3， 2+3则有 P1AP=diag(1，1，4)，故 P 为所求的可逆矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 设存在一组常数 k1，k 2，k
20、 3，使得 k 11+k22+k33=0 用 A 左乘式两端，并利用 A1=一 1， 2=2， 一 k11+(k2+k3)2+k33=0 一 ，得 2k11 一 k32=0 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 1， 2 线性无关，从而由式知走 k1=k3=0，代入式 得 k22=0，又由于 20，所以k2=0，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由题设条件可得 AP=A 1， 2， 3=A1，A 2，A 3 =1， 2， 3=1， 2， 3 由()知矩阵 P 可逆，用 P1 左乘上式两端，得 P1AP=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 =(1，2，1) T 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，A=，比较两端对应分量解得 a=一 1， 1=2由 A 的特征方程解得 A 的特征值为 2，5，一4正交矩阵 Q= ，可使 QTAQ=diag(2，5，一 4)，故 Q 为所求矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
