1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (95 年 )设 则必有（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B2 (04 年 )设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为3 (05 年 )设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A* ，B*分别为 A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换
2、A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*4 (06 年 )设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则（A）C=P -1AP（B） C=PAP-1（C） C=PTAP（D）C=PAP T5 (08 年 )设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆6 (
3、09 年 )设 A，B 均为 2 阶矩阵，A*，B*分别为 A，B 的伴随矩阵若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为7 (10 年 )设 A 为 mn 矩阵， B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则（A）秩 r(A)=m，秩 r(B)=m（B）秩 r(A)=m，秩 r(B)=n（C）秩 r(A)=n，秩 r(B)=m （D）秩 r(A)=n，秩 r(B)=n8 (11 年 )设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2行与第 3 行得单位矩阵记 则 A=（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2
4、P1-19 (12 年 )设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 p-1AP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 Q-1AQ=10 (88 年)n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充分必要条件是（A）存在一组不全为 0 的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出（D） 1， 2， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出11 (89 年) 设 A 是 4 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0 ，则 A 中（A）必有一列
5、元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合12 (94 年) 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1，线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1，线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1，线性无关（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1，线性无关二、填空题13 (97 年) 设 B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_14 (01 年) 设矩阵 A 满足 A2+A 一 4E=O，其中 E 为单位矩阵，
6、则(A E)-1=_15 (04 年) 设矩阵 ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则|B|=_16 (05 年) 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)如果|A|=1，那么|B|=_ 17 (06 年) 设矩阵 ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则|B|=_18 (07 年) 设矩阵 A= 则 A3 的秩为_ 19 (12 年) 设 为 3 维单位列向量， E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E 一 T 的秩为_20 (13 年) 设
7、 A=(aij)是 3 阶非零矩阵，|A| 为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若 aij+Aij=0(i，j=1，2，3) ，则|A|=_ 21 (87 年) 已知三维线性空间的一组基底为 1=(1，1，0)， 2=(1，0，1)，3=(0， 1，1)，则向量 u=(2，0，0)在上述基底下的坐标是_22 (90 年) 已知向量组 1=(1，2，3，4)， 2=(2，3，4，5)， 3=(3，4，5，6)，4=(4， 5，6， 7)，则该向量组的秩是_23 (92 年) 设 其中 ai0，b i0(i=1，2，n)，则矩阵A 的秩 r(A)=_24 (96 年) 设 A 是
8、43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 则 r(AB)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 (95 年) 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=I(I 是 n 阶单位阵，A T 是 A 的转置矩阵)，|A|0，求|A+I|26 (96 年) 设 A=I 一 T，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明： (1)A 2=A 的充要条件是 T=1； (2)当 T=1 时，A 是不可逆矩阵27 (97 年) 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB-128 (
9、00 年) 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA-1=BA-1+3E，其中E 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 B29 (92 年) 设向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 2， 3， 4 线性无关，问： (1) 1能否由 2， 3 线性表出? 证明你的结论 (2) 4 能否由 1， 2， 3 线性表出?证明你的结论30 (93 年) 设 A 是 nm 矩阵， B 是 mn 矩阵，其中 nmI 是 n 阶单位矩阵若AB=I，证明 B 的列向量组线性无关考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
10、 矩阵 B 可以看作由矩阵 A 依次进行下列两次初等行变换得到的：把A 的第 1 行加到第 3 行上去，再把所得矩阵的 1、 2 两行互换这两次初等变换对应的初等方阵分别为题中给的矩阵 P2 和 P1，于是由“对矩阵 A 施行初等行变换相当于给 A 左乘相应的初等方阵”，即知(C)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有AE(1，2)=B ，BE(3 ，2(1)=C，故有 AE(1，2)E(3，2(1)=C，于是
11、得所求逆矩阵为所以只有选项(D)正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法以 2 阶方阵为例，设由此可见，交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*，而其它选项均不对，故只有(C)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有 B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于所以，C=PAQ=PAP -1，只有选项(B)正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由于(E 一 A
12、)(E+A+A2)=EA3=E，(E+A)(E 一 A+A2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E 一 A 和 E+A 均是可逆的【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 记矩阵 ，则 C 的行列式 |C|=(一 1)4 =|A|B|=60，因此 C 为可逆矩阵，由公式 CC*=|C|E，得故只有选项(B)正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 m=r(E)=r(AB)r(A)m，所以有 r(A)=m，同理有 r(B)=m【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1=I，两端左乘 P2-1，两端右乘 P1-1，得
13、A=P2-1P1-1，因 P2-1=P2，而 P1-1P1，故只有(D) 正确【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 Q( 1+2， 2， 3)=(1， 2， 3) =PM于是，Q -1AQ=(PM)-1A(PM)=M-1(P-1AP)M= 因此选(B)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由于 1， 2， s 线性相关的充分必要条件是该组中至少存在一个向量，它可以用该组中其余 s 一 1 个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此立即知(D) 正确【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 对于方阵 A，由于|A|=0,A 的列(行)向
14、量组线性相关，由向量组线性相关的充要条件即知(C) 正确【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 若记备选项(A)中的 4 个向量依次为 1， 2， 3， 4，则可以看出它们满足 1 一 2+3 一 4=0，故(A) 组线性相关同样通过观察可知(B)组、(D)组都是线性相关组，由排除法即知只有备选项(C)正确【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 一 3【试题解析】 A 为方阵，若|A|0，则 A 可逆，于是有 A-1AB=A-1O，得 B=O，这与 BO矛盾，故必有 |A|=0，由此解得 t=一 3【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 由(A+2
15、E)(AE)=A 2+A 一 2E=4E 一 2E=2E，得由逆矩阵的定义，即知(AE) -1=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*A=|A|E，而|A|=3，所以 A*A=3E用矩阵 A 右乘题设方程两端，可得 3AB=6B+A 或 3(A 一 2E)B=A 两端取行列式，得 33|A 一 2E|B|=|A|由于 故有 27|B|=3，所以|B|=【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2【试题解析】 利用矩阵乘法，可将 B 表示为两端取行列式，得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BA 一 B=2E, B(AE)=2E
16、 两端取行列式，得 |B|AE|=|2E|因 |2E|=22|E|=4 所以有 2|B|=4，从而得|B|=2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 由于 A3 中非零子式的最高阶数为 1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)=1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 2【试题解析】 若取单位向量 =(1，0，0) T，则矩阵 的秩为2，本题作为填空题，要求一般成立的结果，自然应对个例成立，所以矩阵 E-T的秩为 2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 -1【试题解析】 由 AO，不妨设 a110，由已知的 Aij=一 aij(i，j=1，2，
17、3) ，得及 A=一(A*) T，其中 A*为 A 的伴随矩阵用 AT 右乘 A=一(A*) T 的两端，得 AAT=一(A*)A T=一(AA*) T=一(|A|I) T，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A| 2=(-1)3|A|3，或|A| 2(1+|A|)=0，因|A|0，所以 |A|=一 1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1，1，一 1)【试题解析】 设 u 在基底 1， 2， 3 下的坐标为(x 1，x 2，x 3)，即x11+x22+x33=u，或 解此方程组得唯一解：x 1=1，x 2=1，x 3=一 1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 2
18、【试题解析】 由于矩阵的秩等于其行向量组的秩，所以由 1， 2， 3， 4 为行向量组成矩阵 A，通过求 A 的秩即得所求向量组的秩对 A 作初等行变换：由此可知 r(A)=2，故1， 2， 3， 4 的秩为 2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 的第 1 行非零，又 A 的第 2，3，n 行都可由 A 的第 1行线性表出，故 A 的行秩为 1，即 r(A)=1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 2【试题解析】 因为 B 为满秩方阵，而用满秩方阵乘矩阵，不改变矩阵的秩，所以有 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明
19、过程或演算步骤。25 【正确答案】 因为 |A+I|=|A+AA T|=|A|I+AT|=|A|(I+AT)T|=|A|I+A|=|A|A+I|所以 (1一|A|)|A+I|=0 又因 1 一|A|0 故 |A+I|=0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)A 2=(I 一 T)(I 一 T)=I 一 2T+TT =I 一 2T+(T)T=I 一2T+(T)T =I 一(2 一 T)T A2=A 即 I 一(【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因|A|0，及|B|=一|A|0，故 B 可逆 (2)记 Eij 是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得到的初等方
20、阵，则 B=EijA 因而 AB -1=A(EijA)-1=AA-1Eij-1=Eij-1=Eij【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由|A*|=|A| n-1，有|A| 3=8，得|A|=2又由题设方程，有 (AE)BA -1=3E 两端右乘 A，得 (AE)B=3A 两端左乘 A-1，得 (E 一 A-1)B=3E 即 亦即 (2EA*)B=6E 又 2EA*为可逆矩阵，于是B=6(2EA*)-1 计算可得【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1) 1 能由 2， 3 线性表出因为已知 2， 3， 4 线性无关，所以2， 3 线性无关又因为 1， 2， 3 线性相关，故证得 1 能由 2， 3 线性表出 (2)4 不能由 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 B=1 2 n，其中 j 是 B 的第 j 个列向量(j=1，2，n)若数 x1，x 2，x n 使得 x11+x22+xnn=0两边左乘 A，得 ABX=0，即 IX=0，亦即 X=0所以 【知识模块】 线性代数
