1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (98 年 )设矩阵 是满秩的，则直线（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面2 (99 年 )设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有行列式|AB|0（B）当 mn 时，必有行列式|AB|=0（C）当 nm 时，必有行列式|AB|0（D）当 nm 时，必有行列式|AB|=03 (00 年 )设 n 维列向量组 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， m 线性无关的充分必要条件为（A）向量组 1， m 可由向量组 1，
2、 m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（C）向量组 1， m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵 A=1 m与矩阵 B=1 m等价4 (03 年 )设向量组 I： 1， 2， r，可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关5 (04 年 )设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线
3、性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关6 (06 年 )设 1， 2， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关7 (07 年 )设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1+
4、2， 2+3,3+1（C） 1 一 22， 223， 321（D） 1+22， 2+23， 3+218 (09 年 )设 1， 2， 3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为9 (12 年 )设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 1， 3， 410 (13 年) 设 A，B ，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（
5、C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价11 (14 年) 设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件12 (90 年) 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，k 1,k2 为任意常数，则方程组 AX=b 的通解(一般解)是13 (92 年) 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只
6、要系数矩阵A 为14 (93 年) 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 215 (97 年) 设 则 3 条直线a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=1 ，2，3)交于一点的充要条件是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C）秩 r(1， 2， 3)=秩 r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关二、填空题16 (03 年)
7、 从 R2 的基 的过渡矩阵为_17 (10 年) 设 1=(1，2，一 1，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T若由1， 2， 3 生成的向量空间的维数为 2，则 a=_18 (93 年) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解为_。19 (00 年) 已知方程组 无解，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (97 年) 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=(1，1，2，3) T， 2=(一 1，1，4，一 1)T， 3=(5，一 1，一 8，9) T 都是齐次线性
8、方程组 BX=0 的解向量求 BX=0 的解空间的一个标准正交基21 (98 年) 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak-10证明：向量组 ，A ，A k-1 是线性无关的22 (01 年) 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 x，Ax ，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax-2A2x (1)记 P=(x Ax A2x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1； (2)计算行列式|A+E|23 (08 年) 设 、 均为 3 维列向量矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置证明：(I)秩 r(A)2；()若
9、 ， 线性相关，则秩 r(A)224 (11 年) 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1,1) T， 2=(1，2，3) T， 2=(3，4，a) T 线性表示 (I)求 a 的值； ()将1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示25 (15 年) 设向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基， 1=21+2k3， 2=22， 3=1+(k+1)3 (I)证明向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基； ()当 k 为何值时，存在非零向量 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同，并求所有的 26 (
10、87 年) 问 a、b 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解27 (89 年) 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式28 (91 年) 已知 1=(1，0，2，3)， 2=(1，1，3，5)， 3=(1，一 1，a+2，1)，4=(1， 2，4， a+8)及 =(1，1，b+3，5) (1)a 、b 为何值时， 不能表示成1， 2， 3， 4 的线性组合 ? (2)a、b 为何值时， 有 1， 2， 3， 4 的唯一的线性表示式?并写出该表示式29 (94 年) 设 4 元齐次线性方程组(I) 为 又已知某齐次线性方程组()的通解为 k1
11、(0，1，1，0)+k 2(一 1，2，2，1)(1)求线性方程组 (I)的基础解系；(2)问线性方程组(I)和()是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解若没有,则说明理由30 (98 年) 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11,b12，b 1,2n)T，(b 21，b 22，b 2,2n)T，(b n1，b n2，b n,2n)T试写出线性方程组 的通解，并说明理由考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 L 1 的方向向量为 1=(a1 一 a2，b 1b2，c 1
12、 一 c2)，L 2 的方向向量为2=(a2 一 a3，b 2b3，c 2 一 c3)对矩阵 A 作初等行变换：因为 A 是满秩的，故 B 也是满秩的注意 B 的前 2 个行向量分别就是 1 和 2，故 1 与 2 不共线取 L1 上的点 P(a3，b 3，c 3)，取 L2 上的点 Q(a1，b 1，c 1)由于混合积故 L1 与 L2 共面，它们又不平行，故必交于一点【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 若
13、 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k 2，k s，使得 k 12+k22+kss=0 两端左乘矩阵 A，得 k1A1+k2A2+ksAs=0 因 k1，k 2，k s 不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0 即选项(A)中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项(A)正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 如果 3 维向量空间的一组基(I)： 1， 2， 3 与另一组基()：1， 2， 3
14、 之间有如下关系： j=a1j1+a2j2+a3j3(j=1，2，3)，写成矩阵形式，就是1， 2， 3=1， 2， 3 其中 aij 为常数(i ，j=1 ，2，3)，则称矩阵A=(aij)33 为由基(I) 到基() 的过渡矩阵现在容易得到因此所求过渡矩阵为只有选项(A)正确【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 当 c10 时，(A)组、(B) 组都线性无关；当 c3+c40 时，(D)组线性无关因此，只有选项(C) 正确【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施
15、行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 记向量组(I)： 1+k3， 2+l3；向量组()： 1， 2， 3(I)是由()线性表出的，写成矩阵形式即是： 1+k3， 2+l3=1， 2， 3 当()线性无关时，矩阵 1， 2， 3为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为 2，从而知向量组(I)线性无关，所以，(I) 线性无关是()线性
16、无关的必要条件但(I)线性无关不是()线性无关的充分条件，例如当 k=l=0 时，(I)线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无关【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 与 2 线性无关，所以，三元齐次线性方程组 AX=0 的基础解系中至少含 2 个解向量，即 3 一 r(A)2，或 r(A)1，而备选项(B)(C)及(D)中的矩阵的秩都大于 1，所以它们都不对，只有备选项(A)正确【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 C【试题解析】 由 PQ=O，知 Q 的每一列都是线性方程组 PX=0 的解当 t
17、6 时，Q 的列秩为 2，故 PX=0 至少有 2 个线性无关的解，所以其基础解系所含向量个数至少为 2，即 3 一 r(P)2，或 r(P)1；又 P0，有 r(P)1，故当 t6 时必有 r(P)=1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 D【试题解析】 考虑由 3 条直线的方程联立所得的线性方程组3 条直线交于一点，也就是方程组(I)有唯一解若3=0，则 1， 2， 3 线性相关且方程组(I) 有零解，由二元齐次线性方程组只有零解的充要条件(系数矩阵的秩等于未知量个数)，得 r(1， 2)=2，故此时只有(D)正确若 30，则 (I)为一非齐次线性方程组，由非齐次线性方程组有唯一解的充
18、要条件(系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知量个数)，得 r(1， 2)=r(1 2 一 3)=2，即 1， 2 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关故只有(D) 正确【知识模块】 线性代数二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 设由基 1， 2 到基 1， 2 的过渡矩阵为 A，则有 1 2=1 2A 因为矩阵 1 2为 2 阶可逆方阵，故由上式得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 6【试题解析】 由 1， 2， 3 生成的向量空间的维数等于该向量组的秩，而由下列矩阵的初等变换：知，r( 1， 2， 3)=2 得 a=6所以 a=6【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 k(1，1
19、，1) T【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系所含向量个数为 n 一 r(A)=n 一(n-1)=1，故AX=0 的任一非零解都可作为它的基础解系由已知， =(1，1，1) T 是 AX=0的一个非零解，从而 可作为 AX=0 的基础解系，故得通解为 X=k(1，1，1)T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 -1【试题解析】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换：由此可知：当 a3 且 a一 1 时，r(A)= =3，方程组有唯一解；当 a=3 时，r(A)= =2，方程组有无穷多解；当 a=一 1 时，r(A)=2 ，而 =3，方程组无解故当且仅当 a=一 1 时，方
20、程组无解【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 因 r(B)=2，故 BX=0 的解空间的维数为 42=2 又 1， 2 线性无关，故 1， 2 是解空间的基取 1=1=(1，1，2，3) T即是所求的一个标准正交基【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设有常数 1， 2， k，使得 1+2+ kAk-1=0 两端左乘Ak-1，得 1Ak-1+2Ak+ kA2k-2=0 由于 Ak=0，有 A【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)设 则由 AP=PB，得(Ax A 2x A3x)=(Ax A2x 3Ax 一 2A2x)=(x A
21、x A2x) 上式可写成 Ax=a1x+b1Ax+c1A2x (1)A2x=a2x+b2Ax+c2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () r(A)=r(T+T) r(T)+r(T) (利用 r(P+Q)r(P)+r(Q) r()+r() (利用 r(PQ)minr(P)，r(Q) 2 (利用矩阵的秩不大于其行数、列数) ()由于， 线性相关，不妨设 =k(k 为常数)，于是 r(A)=r( T+T)=r(1+k2)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (I)4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1 ，2，3)，若1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2，
22、3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (I)将已知的线性表示式写成矩阵形式，得( 1， 2， 3)=(21+2k3，2 2， 1+(k+1)3)=(1， 2， 3)P 其中矩阵 由于 P的行列式|P|=40，所以 P 可逆，故向量组 1， 2，【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 将方程组的增广矩阵 用初等行变换化成阶梯形：于是可知(记方程组的系数矩阵为 A)当 a1 时，r(A)= =4，因而方程组有唯一解当 a=1 且 b一 1 时，r(A)=2 ， =3，故方程组无解当 a=1 且 b=一 1 时
23、，r(A)= =2，故方程组有无穷多解此时，将 进一步化成简化行阶梯形故得方程组的用自由未知量表示的通解为用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 对方程组的增广矩阵进行初等行变换：由阶梯形矩阵知 r(A)=2，如一 +10，则 =3，方程组无解故当且仅当 =1 时，方程组有解，且有无穷多解，此时，阶梯形矩阵为 选取与首非零元对应的未知量 x1、x 2 为约束未知量，则 x3 就是自由未知量了，于是得通解【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 =x11+x22+x33+x44，即将上面方程组的增广矩阵用初等行变换化成阶梯形：由此可知(1)当 a=
24、一 1 且 b0 时，r(A)=2，而 =3，方程组无解，所以 不能表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合 (【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)由已知，(I) 的系数矩阵为 故(I) 的基础解系可取为：(0 ，0，1，0) ，(一 1，1，0，1) (2)有非零公共解将( )的通解代入方程组(I) ，则有 解得 k1=一 k2，当 k1=一 k20 时，则向量k1(0，1 ，1，0)+k 2(一 1，2，2，1)=k 2(0，一 1，一 1，0)+(一 1，2，2，1)=k 2【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 记方程组(I)、( )的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的(I)的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量因此，由(I)的已知基础解系可知 AB T=0 转置即得 BA T=0 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n(B 的行向量组线性无关)，故 ()的解空间的维数为 2n-r(B)=2n-n=n，所以()的任何 n 个线性无关的解就是( )的一个基础解系已知(I) 的基础【知识模块】 线性代数
