1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 行列式 等于( )（A）(adbc) 2（B） (ad bc)2 （C） a2d2b 2c2（D）a 2d2+b2c22 设 A，B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )3 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得 B，再将 B 的第一列的1 倍加到第二列得 C，记 则( )（A）C=P 1 AP（B） C=PAP1（C） C=PTAP（D）C=PAP T4 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm
2、矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有行列式AB0（B）当 mn 时，必有行列式AB=0（C）当 nm 时，必有行列式AB0（D）当 nm 时，必有行列式AB=05 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价6 设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B
3、的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关7 设 1， 2， 3 均为三维向量，则对任意的常数 k，l，向量 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件8 设 A=(1， 2， 3， 4)是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为 ( )（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 49
4、 设有三张不同平面，其方程为 aiz+biy+ciz=di(i=1，2，3)，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为( )10 设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是( )（A）A T 与 BT 相似（B） A1 与 B1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A 1 与 B+B1 相似11 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22y 32，其中P=(e1，e 2，e 3)，若 Q=(e1，e 3，e 2)，f(x 1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标
5、准形为( )（A）2y 12y 22+y32（B） 2y12+y22y 32（C） 2y12y 22y 32（D）2y 12+y22+y3212 设 A 为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z)A =1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题13 行列式 =_。14 设矩阵 E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则B =_。15 设矩阵 则 A3 的秩为_。16 设 1=(1， 2，一 l，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T，若由 1， 2， 3生成的向量空间的
6、维数是 2，则 a=_。17 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_。18 设 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E 一 T 的秩为_。19 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x1x 2+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示。 ()求 a 的值； ()将1， 2， 3 由 1， 2， 3
7、线性表示。21 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21，其中 t1，t 2 为实常数。试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。22 设 ()求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；() 对() 中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关。23 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。24 设 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。()求 ，a 的值；()求方程组 Ax=b 的通解。25 设矩阵 当
8、 a 为何值时，方程 AX=B 无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时，求解此方程。26 设矩阵 B=P1 A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为三阶单位矩阵。27 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(1，2，1)T， 2=(0，1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 ()求 A 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A。28 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟
9、练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn，y n，记成向量 ()求()验证是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；()当29 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1a)x 22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2。 ()求 a 的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形； ()求方程f(x1，x 2，x 3)=0 的解。30 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12x 22+ax32+2x1x28x 1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1y1+2y2，求 a
10、的值及正交矩阵 Q。31 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且Ak1 0，证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。32 证明 n 阶矩阵 相似。考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式的展开定理展开第一列=ad(adbc)+bc(adbc)= ( adbc) 22 【正确答案】 B【试题解析】 根据 CC*=CE，则 C*=CC 1 ，C 1 =的行列式 =(1) 22AB=23=6，即分块矩阵可逆。故 故答案为 B。3 【正确
11、答案】 B【试题解析】 由题设可得 则有C=PAP1 。故应选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 B 是 nm 矩阵，当 mn 时，则 r(B)=n(系数矩阵的秩小于未知数的个数)，方程组 Bx=0 必有非零解，即存在 x00，使得 Bx0=0，两边左乘 A，得ABx0=0，即 ABx=0 有非零解，从而 AB=0，故选 B。5 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A，C 列分块如下： A=( 1， 2， n)，C=(1， 2， n)，由于 AB=C，则可知 得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示。同时由于 B 可逆，即A=CB1 。同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵
12、 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。应该选 B。6 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 为 mn 矩阵，B 为 ns 矩阵，则由 AB=O 知，r(A)+r(B)n。又 A，B 为非零矩阵，故 0r(A) n，0r(B) n，即 A 的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。故应选 A。7 【正确答案】 A【试题解析】 若向量 1， 2， 3 线性无关，则( 1+k3， 2+l3)=(1， 2， 3)=(1， 2， 3)K，对任意的常数 k，l，矩阵 K 的秩都等于 2，所以向量1+k3， 2+l3 一定线性无关。而当 时，对任意的常数k，l，向量
13、1+k3， 2+l3 均线性无关，但 1， 2， 3 线性相关。故选择 A。8 【正确答案】 D【试题解析】 由 Ax=0 的基础解系只包含一个向量可知，r(A)=3，所以 r(A*)=1，则 A*x=0 的基础解系中有三个线性无关的解。又由 A*A=A E=0 可知，1， 2， 3， 4 都是 A*x=0 的解，且 A*x=0 的极大线性无关组就是其基础解系。又=1+3=0，所以 1， 3 线性相关，故 1， 2， 4 或2， 3， 4 为极大线性无关组，即基础解系，故应选 D。9 【正确答案】 B【试题解析】 用 A 表示系数矩阵， =23，则方程组有无穷多解，那么三个平面有公共交点且不唯
14、一，因此应选 B。 选项 A 表示方程组有唯一解，其充要条件是 r(A)= =3。选项 C 中三个平面没有公共交点，即方程组无解，又因三个平面中任两个都不平行，故 r(A)=2 和 且 A 中任两个平行向量都线性无关。选项 D 中有两个平面平行，故 r(A)=2， 且A 中有两个平行向量共线。10 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 B 相似，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，两边分别取逆和转置可得 P 1 A1 P=B1 ，P TAT(PT)1 =BT，则 P1 (A+A1 )P=B+B1 ，由此可知唯一可能错误的选项是 C。11 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可知
15、f=xTAx=yT(PTAP)y=2y12+y22y 32，且所以 f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12y 22+y32。 答案选 A。12 【正确答案】 B【试题解析】 此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为所以 A 的正特征值个数为 1。故应选 B。二、填空题13 【正确答案】 2+3+22+3+4【试题解析】 令 D4= 将行列式按第一列展开可得 D4=D3+4，所以 D4=(D2+3)+4=2(AD1+2)+3+4 =2+3+22+3+4。14 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，有 B(AE)=2E，于是有BA E=4 ，而AE= =2，所以B =2。15 【正确答案
16、】 1【试题解析】 依照矩阵乘法直接计算得 故 r(A3)=1。16 【正确答案】 6【试题解析】 因为向量组生成的向量空间的维数就等于该向量组的秩，所以r(1， 2， 3)=2，即 所以 a6=0=a=6 。17 【正确答案】 n 和 0(n1 重)【试题解析】 r(A)=1，tr(A)=n，可知 A 的 n 个特征值为 0(n1 重)，n(1 重)。18 【正确答案】 2【试题解析】 矩阵 T 的特征值为 0，0，1，故 E T 的特征值为 1，1，0。又由于 E T 为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即 r(E T)=2。19 【正确答案】 一 2，2【试
17、题解析】 由配方法可知， f(x 1，x 2，x 3)=x1x 2+2ax1x3+4x2x3 =(x1+ax3)2(x 22x3)3+(4 一 a2)x32， 由已知二次型的负惯性指数为 1，故 4 一 a20，所以 a 的取值范围是2，2 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 () 因为 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以1， 2， 3 必线性相关，于是 1， 2， 3=a 一 5=0，即 a=5。()对(1， 2， 3， 1， 2， 3)进行初等行变换：( 1， 2， 3， 1， 2， 3)故 1=21+42 一3， 2=1+22， 3
18、=51+10223。21 【正确答案】 由题设知， 1， 2， s 均为 1， 2， s 的线性组合，当齐次方程组有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以1， 2， s 均为 Ax=0 的解。 由于 1， 2， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，可知 Ax=0 的基础解系中含有 s 个向量，故只要能证明 1， 2， s线性无关，就能证明 1， 2， s 也是 Ax=0 的一个基础解系。下面讨论1， 2， s 线性无关的条件。设 k11+k22+kss=0。 把1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21，代入整理得 (t 1k1+t2ks)s+(t
19、2k1+t1k2)2+(t2ks1 +t1ks)s=0。 (*) 由 1， 2， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，知 1， 2， s 线性无关，由线性无关的定义，知(*)中其系数全为零，即其系数行列式 = t1s+(1) s+1t2s。由齐次线性方程组只有零解的充要条件，可见，当 t1s+(1) s+1t2s0，即 t1s(t 2)s，即当 s 为偶数，t 1t2；当 s 为奇数， t1=t 2 时，上述方程组只有零解 k1=k2=ks=0，因此向量组 1， 2， s 线性无关，故当 时， 1， 2， s 也是方程组 Ax=0 的基础解系。22 【正确答案】 () 解方程 A2=1
20、。r(A)=2，故有一个自由变量，令 x3=2，由 Ax=0，解得 x2=1，x 1=1。 求特解，令x1=x2=0，得 x3=1，故 2=(0，0，1) T+k1(1，一 1，2) T，其中 k1 为任意常数。 解方程 A23=1。故有两个自由变量，令 x2=1，x 3=0，由 A2x=0 得 x1=1。令 x2=0，x 3=1，由 A2x=0得 x1=0。求得特解 其中 k2，k 3为任意常数。() 由题设可得 A1=0。设存在数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0， (1) 等式两端左乘 A，得 k2A2+k3A3=0，即 k 21+k3A3=0， (2)等式两端再左
21、乘 A，得 k3A23=0，即 k31=0。 由于 10，于是 k3=0，代入(2)式，得 k21=0，故 k2=0。将 k2=k3=0 代入(1)式，可得 k1=0，从而 1， 2， 3 线性无关。23 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，因此得基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一1，0，1，0) T， n1 =(1，0，0，1) T，所以方程组的通解为 x=k11+kn1 n1 ，其中 k1，k n1 为任意常数。 当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有 可知当 时
22、，r(A)=n1n，故方程组也有非零解，其同解方程组为于是得基础解系为 =(1，2，n) T，所以方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数。24 【正确答案】 () 已知 Ax=b 有两个不同的解，故 r(A)= 3，因此A=0，即 解得 =1 或 =一 1。当=1 时，r(A)=1 =2，此时，Ax=b 无解，因此 =1。由 r(A)= ，得a=2。()对增广矩阵作初等行变换，即由最后一个矩阵可以得到方程组 Ax=b 的通解为 x=k(1，0，1) T+ 其中 k 为任意常数。25 【正确答案】 对矩阵(A，B)作初等行变换，即则A=(a1)(a+2)。当 a=2 时，方程 Ax=B 系
23、数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程AX=B 无解。当 A0，即当 a1 且 a一 2 时，方程 AX=B 有唯一解。令b1=(2，0，a1) T，b 2=(2，a，2) T，则方程组 Ax=b1 和 Ay=b2 的解分别为x=(1，0，1) T， 当 a=1 时，方程 AX=B 有无穷多解。方程组 的通解分别为 x=(1，k 11，k 1)T， y=(1，k 21，k 2)T，则 其中 k1，k 2 为任意常数。26 【正确答案】 经计算可得故B+2E 的特征值为 1=2=9， 3=3。 当 1=2=9 时，解 (9E 一 A)x=0 得线性无关的特征向量为 故属于特征值 1=2=9 的所有特征
24、向量为k11+k22=k1 其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数。 当 3=3 时，解(3E 一 A)x=0，得线性无关的特征向量为 3= 故属于特征值 3=3 的所有特征向量为 k33=k3 其中 k3 是不为零的任意常数。27 【正确答案】 () 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以则由特征值和特征向量的定义知，=3 是矩阵 A 的特征值，=(1， 1，1) T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k，其中 k 为非零的常数。 又由题设知 Av=0，A 2=0，即 A1=0.1，A 2=0.2，而且 1， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2
25、 是其对应的特征向量，对应 =0 的全部特征向量为 k11+k22，其中 k1，k 2 是不全为零的常数。 ()因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，故只需将 1， 2 正交。取 1=1，再将 ， 1， 2 单位化，得令 Q=(1 ， 2 ， 3 )=则 Q1 =QT，由实对称矩阵必可相似对角化，得28 【正确答案】 () 由题意， 是年终由非熟练工变成的熟练工人数， 是年初支援其他部门后剩余的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列出等式(1)，根据年终非熟练工人数列出等式(2)得()把 1， 2 作为列向量写成矩阵的形式( 1， 2)，其行列式矩阵为满秩，由矩阵的秩和向量的关系可见
26、1， 2 线性无关。又 由特征值、特征向量的定义，得 1 为 A 的属于特征值 1=1 的特征向量 2 为 A 的属于特征值 2=特征向量。() 因为 因此只要计算 A*即可。令29 【正确答案】 () 二次型对应矩阵为 由二次型的秩为 2，知 得 a=0。()二次型矩阵 其特征值为1=2=2， 3=0。解(2EA)x=0，得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T。解(0EA)x=0，得特征向量 3=1，一 1，0) T。由于 1， 2， 3 已经两两正交，直接将 1， 2， 3 单位化，得 令Q=(1 ， 2 ， 3)，即为所求的正交变换矩阵，由 x=Qy，可化原二次型为
27、标准形f(x1，x 2，x 3)=2y12+2y22。()由 f(x1，x 2，x 3)=2y12+2y22=0，得 y1=y2=0，Y 3k(k 为任意常数)。从而所求解为：x=Qy=( 1 ， 2 ， 3) 其中 c 为任意常数。30 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 因为其标准形为1y1+2y2，所以 解得 a=2。 再由EA = =(+3)(6)=0 解得 1=6， 2=3， 3=0。当=6 时， 对应的一个特征向量为(1， 0，1) T；当 =3 时，3EA= 对应的一个特征向量为(1，1，1) T；当 =0 时，0EA= 对应的一个特征向量为(1，2，1) T。由于上述三个特征向量
28、已经正交，故将其直接单位化，可得 从而正交矩阵31 【正确答案】 用线性无关的定义证明。 设有常数 0， 1， k1 ，使得 0， 1A， k1 Ak1 =0 (*) 两边左乘 Ak1 ，则有 Ak1 (0， 1A， k1 Ak1 )=0，即 0Ak1 ， 1Ak， k1 A2(k1) =0，上式中因 Ak=0，可知 Ak+1=A 2(k1) =0，代入上式可得 0Ak1 =0。由题设Ak1 0，所以 0=0。将 0=0 代入(*)，有 1A+ k1 Ak1 =0。两边左乘Ak2 ，则有 Ak2 (1A+ k1 Ak1 )=0，即 1Ak1 + k1 A2k3 =0。同样，由 Ak=0，A k
29、+1=A 2(k1) =0，可得 1Ak1 =0。由题设 Ak1 0，所以 1=0。类似地可证明 2= k1 =0，因此向量组 ，A ，A k1 是线性无关的。32 【正确答案】 设 分别求解两个矩阵的特征值和特征向量如下：所以 A 的 n 个特征值为1=n， 2=3= n=0，而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化，且所以 B 的 n 个特征值也为 1=n， 2=3= n=0，对于 n1 重特征值 =0，由于矩阵(OEB)=B的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应 n1 重特征值 =0 的特征向量应该有 n1 个且线性无关。矩阵 B 存在 n 个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且从而可知 n 阶矩阵 相似。
