[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编6及答案与解析.doc

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1、考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 行列式 等于( )(A)(adbc) 2(B) (ad bc)2 (C) a2d2b 2c2(D)a 2d2+b2c22 设 A,B 均为二阶矩阵,A *,B *分别为 A,B 的伴随矩阵,若A=2,B =3,则分块矩阵 的伴随矩阵为( )3 设 A 为三阶矩阵,将 A 的第二行加到第一行得 B,再将 B 的第一列的1 倍加到第二列得 C,记 则( )(A)C=P 1 AP(B) C=PAP1(C) C=PTAP(D)C=PAP T4 设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm

2、矩阵,则( )(A)当 mn 时,必有行列式AB0(B)当 mn 时,必有行列式AB=0(C)当 nm 时,必有行列式AB0(D)当 nm 时,必有行列式AB=05 设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若 AB=C,且 B 可逆,则 ( )(A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价(B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价(C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价(D)矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价6 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵,则必有( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B) A 的列向量组线性相关,B

3、的列向量组线性相关(C) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关7 设 1, 2, 3 均为三维向量,则对任意的常数 k,l,向量 1+k3, 2+l3 线性无关是向量组 1, 2, 3 线性无关的( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件8 设 A=(1, 2, 3, 4)是四阶矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,若(1,0,1,0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系,则 A*x=0 的基础解系可为 ( )(A) 1, 3(B) 1, 2(C) 1, 2, 3(D) 2, 3, 49

4、 设有三张不同平面,其方程为 aiz+biy+ciz=di(i=1,2,3),它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为( )10 设 A,B 是可逆矩阵,且 A 与 B 相似,则下列结论错误的是( )(A)A T 与 BT 相似(B) A1 与 B1 相似(C) A+AT 与 B+BT 相似(D)A+A 1 与 B+B1 相似11 设二次型 f(x1,x 2,x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22y 32,其中P=(e1,e 2,e 3),若 Q=(e1,e 3,e 2),f(x 1,x 2,x 3)在正交变换 x=Qy 下的标

5、准形为( )(A)2y 12y 22+y32(B) 2y12+y22y 32(C) 2y12y 22y 32(D)2y 12+y22+y3212 设 A 为三阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A =1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则 A 的正特征值个数为 ( )(A)0(B) 1(C) 2(D)3二、填空题13 行列式 =_。14 设矩阵 E 为二阶单位矩阵,矩阵 B 满足 BA=B+2E,则B =_。15 设矩阵 则 A3 的秩为_。16 设 1=(1, 2,一 l,0) T, 2=(1,1,0,2) T, 3=(2,1,1,a) T,若由 1, 2, 3生成的向量空间的

6、维数是 2,则 a=_。17 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1,则 A 的 n 个特征值是_。18 设 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵 E 一 T 的秩为_。19 二次型 f(x1,x 2,x 3)=x1x 2+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数是 1,则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设向量组 1=(1,0,1) T, 2=(0,1,1) T, 3=(1,3,5) T 不能由向量组1=(1,1,1) T, 2=(1,2,3) T, 3=(3,4,a) T 线性表示。 ()求 a 的值; ()将1, 2, 3 由 1, 2, 3

7、线性表示。21 设 1, 2, , s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,1=t11+t22, 2=t12+t23, s=t1s+t21,其中 t1,t 2 为实常数。试问 t1,t 2 满足什么关系时, 1, 2, , s 也为 Ax=0 的一个基础解系。22 设 ()求满足 A2=1,A 23=1 的所有向量2, 3;() 对() 中的任意向量 2, 3,证明 1, 2, 3 线性无关。23 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。24 设 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。()求 ,a 的值;()求方程组 Ax=b 的通解。25 设矩阵 当

8、 a 为何值时,方程 AX=B 无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时,求解此方程。26 设矩阵 B=P1 A*P,求 B+2E 的特征值与特征向量,其中 A*为 A 的伴随矩阵,E 为三阶单位矩阵。27 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1=(1,2,1)T, 2=(0,1,1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 ()求 A 的特征值与特征向量;()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 QTAQ=A。28 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟

9、练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn,y n,记成向量 ()求()验证是 A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;()当29 已知二次型 f(x1,x 2,x 3)=(1 一 a)x12+(1a)x 22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2。 ()求 a 的值; ()求正交变换 x=Qy,把 f(x1,x 2,x 3)化成标准形; ()求方程f(x1,x 2,x 3)=0 的解。30 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=2x12x 22+ax32+2x1x28x 1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1y1+2y2,求 a

10、的值及正交矩阵 Q。31 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 Akx=0 有解向量 ,且Ak1 0,证明:向量组 ,A,A k1 是线性无关的。32 证明 n 阶矩阵 相似。考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式的展开定理展开第一列=ad(adbc)+bc(adbc)= ( adbc) 22 【正确答案】 B【试题解析】 根据 CC*=CE,则 C*=CC 1 ,C 1 =的行列式 =(1) 22AB=23=6,即分块矩阵可逆。故 故答案为 B。3 【正确

11、答案】 B【试题解析】 由题设可得 则有C=PAP1 。故应选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 B 是 nm 矩阵,当 mn 时,则 r(B)=n(系数矩阵的秩小于未知数的个数),方程组 Bx=0 必有非零解,即存在 x00,使得 Bx0=0,两边左乘 A,得ABx0=0,即 ABx=0 有非零解,从而 AB=0,故选 B。5 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A,C 列分块如下: A=( 1, 2, n),C=(1, 2, n),由于 AB=C,则可知 得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示。同时由于 B 可逆,即A=CB1 。同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵

12、 C 的列向量组线性表示,所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。应该选 B。6 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 为 mn 矩阵,B 为 ns 矩阵,则由 AB=O 知,r(A)+r(B)n。又 A,B 为非零矩阵,故 0r(A) n,0r(B) n,即 A 的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关。故应选 A。7 【正确答案】 A【试题解析】 若向量 1, 2, 3 线性无关,则( 1+k3, 2+l3)=(1, 2, 3)=(1, 2, 3)K,对任意的常数 k,l,矩阵 K 的秩都等于 2,所以向量1+k3, 2+l3 一定线性无关。而当 时,对任意的常数k,l,向量

13、1+k3, 2+l3 均线性无关,但 1, 2, 3 线性相关。故选择 A。8 【正确答案】 D【试题解析】 由 Ax=0 的基础解系只包含一个向量可知,r(A)=3,所以 r(A*)=1,则 A*x=0 的基础解系中有三个线性无关的解。又由 A*A=A E=0 可知,1, 2, 3, 4 都是 A*x=0 的解,且 A*x=0 的极大线性无关组就是其基础解系。又=1+3=0,所以 1, 3 线性相关,故 1, 2, 4 或2, 3, 4 为极大线性无关组,即基础解系,故应选 D。9 【正确答案】 B【试题解析】 用 A 表示系数矩阵, =23,则方程组有无穷多解,那么三个平面有公共交点且不唯

14、一,因此应选 B。 选项 A 表示方程组有唯一解,其充要条件是 r(A)= =3。选项 C 中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不平行,故 r(A)=2 和 且 A 中任两个平行向量都线性无关。选项 D 中有两个平面平行,故 r(A)=2, 且A 中有两个平行向量共线。10 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 B 相似,所以存在可逆矩阵 P,使得 P1 AP=B,两边分别取逆和转置可得 P 1 A1 P=B1 ,P TAT(PT)1 =BT,则 P1 (A+A1 )P=B+B1 ,由此可知唯一可能错误的选项是 C。11 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可知

15、f=xTAx=yT(PTAP)y=2y12+y22y 32,且所以 f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12y 22+y32。 答案选 A。12 【正确答案】 B【试题解析】 此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为所以 A 的正特征值个数为 1。故应选 B。二、填空题13 【正确答案】 2+3+22+3+4【试题解析】 令 D4= 将行列式按第一列展开可得 D4=D3+4,所以 D4=(D2+3)+4=2(AD1+2)+3+4 =2+3+22+3+4。14 【正确答案】 2【试题解析】 由题设,有 B(AE)=2E,于是有BA E=4 ,而AE= =2,所以B =2。15 【正确答案

16、】 1【试题解析】 依照矩阵乘法直接计算得 故 r(A3)=1。16 【正确答案】 6【试题解析】 因为向量组生成的向量空间的维数就等于该向量组的秩,所以r(1, 2, 3)=2,即 所以 a6=0=a=6 。17 【正确答案】 n 和 0(n1 重)【试题解析】 r(A)=1,tr(A)=n,可知 A 的 n 个特征值为 0(n1 重),n(1 重)。18 【正确答案】 2【试题解析】 矩阵 T 的特征值为 0,0,1,故 E T 的特征值为 1,1,0。又由于 E T 为实对称矩阵,是可相似对角化的,故它的秩等于它非零特征值的个数,也即 r(E T)=2。19 【正确答案】 一 2,2【试

17、题解析】 由配方法可知, f(x 1,x 2,x 3)=x1x 2+2ax1x3+4x2x3 =(x1+ax3)2(x 22x3)3+(4 一 a2)x32, 由已知二次型的负惯性指数为 1,故 4 一 a20,所以 a 的取值范围是2,2 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 () 因为 1, 2, 3 不能由 1, 2, 3 线性表出,所以1, 2, 3 必线性相关,于是 1, 2, 3=a 一 5=0,即 a=5。()对(1, 2, 3, 1, 2, 3)进行初等行变换:( 1, 2, 3, 1, 2, 3)故 1=21+42 一3, 2=1+22, 3

18、=51+10223。21 【正确答案】 由题设知, 1, 2, s 均为 1, 2, s 的线性组合,当齐次方程组有非零解时,解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量,所以1, 2, s 均为 Ax=0 的解。 由于 1, 2, s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,可知 Ax=0 的基础解系中含有 s 个向量,故只要能证明 1, 2, s线性无关,就能证明 1, 2, s 也是 Ax=0 的一个基础解系。下面讨论1, 2, s 线性无关的条件。设 k11+k22+kss=0。 把1=t11+t22, 2=t12+t23, s=t1s+t21,代入整理得 (t 1k1+t2ks)s+(t

19、2k1+t1k2)2+(t2ks1 +t1ks)s=0。 (*) 由 1, 2, s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,知 1, 2, s 线性无关,由线性无关的定义,知(*)中其系数全为零,即其系数行列式 = t1s+(1) s+1t2s。由齐次线性方程组只有零解的充要条件,可见,当 t1s+(1) s+1t2s0,即 t1s(t 2)s,即当 s 为偶数,t 1t2;当 s 为奇数, t1=t 2 时,上述方程组只有零解 k1=k2=ks=0,因此向量组 1, 2, s 线性无关,故当 时, 1, 2, s 也是方程组 Ax=0 的基础解系。22 【正确答案】 () 解方程 A2=1

20、。r(A)=2,故有一个自由变量,令 x3=2,由 Ax=0,解得 x2=1,x 1=1。 求特解,令x1=x2=0,得 x3=1,故 2=(0,0,1) T+k1(1,一 1,2) T,其中 k1 为任意常数。 解方程 A23=1。故有两个自由变量,令 x2=1,x 3=0,由 A2x=0 得 x1=1。令 x2=0,x 3=1,由 A2x=0得 x1=0。求得特解 其中 k2,k 3为任意常数。() 由题设可得 A1=0。设存在数 k1,k 2,k 3,使得 k11+k22+k33=0, (1) 等式两端左乘 A,得 k2A2+k3A3=0,即 k 21+k3A3=0, (2)等式两端再左

21、乘 A,得 k3A23=0,即 k31=0。 由于 10,于是 k3=0,代入(2)式,得 k21=0,故 k2=0。将 k2=k3=0 代入(1)式,可得 k1=0,从而 1, 2, 3 线性无关。23 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换,有当 a=0 时,r(A)=1n,方程组有非零解,其同解方程组为 x1+x2+xn=0,因此得基础解系为 1=(一 1,1,0,0) T, 2=(一1,0,1,0) T, n1 =(1,0,0,1) T,所以方程组的通解为 x=k11+kn1 n1 ,其中 k1,k n1 为任意常数。 当 a0 时,对矩阵 B 作初等行变换,有 可知当 时

22、,r(A)=n1n,故方程组也有非零解,其同解方程组为于是得基础解系为 =(1,2,n) T,所以方程组的通解为 x=k,其中 k 为任意常数。24 【正确答案】 () 已知 Ax=b 有两个不同的解,故 r(A)= 3,因此A=0,即 解得 =1 或 =一 1。当=1 时,r(A)=1 =2,此时,Ax=b 无解,因此 =1。由 r(A)= ,得a=2。()对增广矩阵作初等行变换,即由最后一个矩阵可以得到方程组 Ax=b 的通解为 x=k(1,0,1) T+ 其中 k 为任意常数。25 【正确答案】 对矩阵(A,B)作初等行变换,即则A=(a1)(a+2)。当 a=2 时,方程 Ax=B 系

23、数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,方程AX=B 无解。当 A0,即当 a1 且 a一 2 时,方程 AX=B 有唯一解。令b1=(2,0,a1) T,b 2=(2,a,2) T,则方程组 Ax=b1 和 Ay=b2 的解分别为x=(1,0,1) T, 当 a=1 时,方程 AX=B 有无穷多解。方程组 的通解分别为 x=(1,k 11,k 1)T, y=(1,k 21,k 2)T,则 其中 k1,k 2 为任意常数。26 【正确答案】 经计算可得故B+2E 的特征值为 1=2=9, 3=3。 当 1=2=9 时,解 (9E 一 A)x=0 得线性无关的特征向量为 故属于特征值 1=2=9 的所有特征

24、向量为k11+k22=k1 其中 k1,k 2 是不全为零的任意常数。 当 3=3 时,解(3E 一 A)x=0,得线性无关的特征向量为 3= 故属于特征值 3=3 的所有特征向量为 k33=k3 其中 k3 是不为零的任意常数。27 【正确答案】 () 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3,所以则由特征值和特征向量的定义知,=3 是矩阵 A 的特征值,=(1, 1,1) T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k,其中 k 为非零的常数。 又由题设知 Av=0,A 2=0,即 A1=0.1,A 2=0.2,而且 1, 2 线性无关,所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值, 1, 2

25、 是其对应的特征向量,对应 =0 的全部特征向量为 k11+k22,其中 k1,k 2 是不全为零的常数。 ()因为 A 是实对称矩阵,所以 与 1, 2 正交,故只需将 1, 2 正交。取 1=1,再将 , 1, 2 单位化,得令 Q=(1 , 2 , 3 )=则 Q1 =QT,由实对称矩阵必可相似对角化,得28 【正确答案】 () 由题意, 是年终由非熟练工变成的熟练工人数, 是年初支援其他部门后剩余的熟练工人数,根据年终熟练工的人数列出等式(1),根据年终非熟练工人数列出等式(2)得()把 1, 2 作为列向量写成矩阵的形式( 1, 2),其行列式矩阵为满秩,由矩阵的秩和向量的关系可见

26、1, 2 线性无关。又 由特征值、特征向量的定义,得 1 为 A 的属于特征值 1=1 的特征向量 2 为 A 的属于特征值 2=特征向量。() 因为 因此只要计算 A*即可。令29 【正确答案】 () 二次型对应矩阵为 由二次型的秩为 2,知 得 a=0。()二次型矩阵 其特征值为1=2=2, 3=0。解(2EA)x=0,得特征向量 1=(1,1,0) T, 2=(0,0,1) T。解(0EA)x=0,得特征向量 3=1,一 1,0) T。由于 1, 2, 3 已经两两正交,直接将 1, 2, 3 单位化,得 令Q=(1 , 2 , 3),即为所求的正交变换矩阵,由 x=Qy,可化原二次型为

27、标准形f(x1,x 2,x 3)=2y12+2y22。()由 f(x1,x 2,x 3)=2y12+2y22=0,得 y1=y2=0,Y 3k(k 为任意常数)。从而所求解为:x=Qy=( 1 , 2 , 3) 其中 c 为任意常数。30 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 因为其标准形为1y1+2y2,所以 解得 a=2。 再由EA = =(+3)(6)=0 解得 1=6, 2=3, 3=0。当=6 时, 对应的一个特征向量为(1, 0,1) T;当 =3 时,3EA= 对应的一个特征向量为(1,1,1) T;当 =0 时,0EA= 对应的一个特征向量为(1,2,1) T。由于上述三个特征向量

28、已经正交,故将其直接单位化,可得 从而正交矩阵31 【正确答案】 用线性无关的定义证明。 设有常数 0, 1, k1 ,使得 0, 1A, k1 Ak1 =0 (*) 两边左乘 Ak1 ,则有 Ak1 (0, 1A, k1 Ak1 )=0,即 0Ak1 , 1Ak, k1 A2(k1) =0,上式中因 Ak=0,可知 Ak+1=A 2(k1) =0,代入上式可得 0Ak1 =0。由题设Ak1 0,所以 0=0。将 0=0 代入(*),有 1A+ k1 Ak1 =0。两边左乘Ak2 ,则有 Ak2 (1A+ k1 Ak1 )=0,即 1Ak1 + k1 A2k3 =0。同样,由 Ak=0,A k

29、+1=A 2(k1) =0,可得 1Ak1 =0。由题设 Ak1 0,所以 1=0。类似地可证明 2= k1 =0,因此向量组 ,A ,A k1 是线性无关的。32 【正确答案】 设 分别求解两个矩阵的特征值和特征向量如下:所以 A 的 n 个特征值为1=n, 2=3= n=0,而且 A 是实对称矩阵,所以一定可以对角化,且所以 B 的 n 个特征值也为 1=n, 2=3= n=0,对于 n1 重特征值 =0,由于矩阵(OEB)=B的秩显然为 1,所以矩阵 B 对应 n1 重特征值 =0 的特征向量应该有 n1 个且线性无关。矩阵 B 存在 n 个线性无关的特征向量,即矩阵 B 一定可以对角化,且从而可知 n 阶矩阵 相似。

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