1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 121 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，则|(2A) *|=（A）2 n|A*|（B） 2n1 |A*|（C） |A*|（D） |A*|2 （A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P3.3 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s， s+1 线性无关（D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表出4 设 n 维向量 1， 2，
2、s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1+2， 2+3， s1 +s， s+1 也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关（C）如果 1， 2， s 线性相关，A 是 mn,非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s1 线性表出5 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 ，则自由变量不能取成（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 36 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则(13A 2)1 +E 的一个特征值是（
3、A）73（B） 13（C） 74（D）527 二次型 xTAx 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=E（C） A 的特征值全大于零（D）存在 n 阶矩阵 C，使 A=CTC二、填空题8 设 A= ，则|2A 1 |=_9 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A22A+E=0，则(A+2E) 1 =_10 设 A2BA=E，其中 A= ，则 B=_11 若 =(1，3，0) T 不能由 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，2) T 线性表出，则 a=_12 已知 A= 且 AXA*=B，秩 r(X)=2，则a=_13 已知 1，
4、 2， 3 与 1， 2， 3 是三维向量空间的两组基，且1=1+22 3， 2=2+3， 3=1+32+23，则由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵是_14 已知方程组 总有解，则 应满足_15 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c11+c22+ctt仍是 Ax=b 的解，则 c1+c2+ct=_16 设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值_，且其重数至少是_17 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_18 设三元二次型 x12+x22+5x32+2tx1x22x 1x3+4x2x3 是正定二次
5、型，则 t_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和.20 设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB(E+AB) 1 A21 证明 1， 2， s(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， i1 线性表出22 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解23 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量24 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且
6、线性无关，如1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=325 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A1 ，A *也是正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 121 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 |(2A) *|=|2A|n1 =(2n|A|)n1 =2n(n1) |A|n1 =2n(n1) |A*|或利用(kA)*=kn1 A*，那么|(2A) *|=2n1 A*|=(2n1 )n|A*|= |A*|故应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1
7、，3 两列互换可得到矩阵B，A 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP1，故应在(A)、(B)中选择而 P3= 表示第 1 和 3 两列互换，所以选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1=(1，1，1)T， 2=(1，2， 3)T， 3=(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1+2 3=0， 1， 2， 3 线性相关(C)是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s+1 线性无关 1， 2， ， s 线性无关，但由1， 2， s 线性无关 1， 2， s， s+1
8、 线性无关 (D)是线性相关的意义故应选(D) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ：当 s 为偶数时，命题不正确例如，1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系例如， 1， 2， s与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A 1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)=rA(1， 2， s)r(1， 2， s)s， 所以，A 1，A 2，A s 必线性相关故应选(C) (D)：要正确理解线性相关的意义【知识模块】
9、线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定如果选择 x4，x 5，对应齐次方程组写作 显见把 x4，x 5 当作参数时，x 1，x 2，x 3 不是唯一确定的因此 x4，x 5 不能唯一确定 x1，x 2，x 3，它们不能取为自由变量选(A) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=，则(13A 2)1 +E=3(A1 )2+ 当 =2时，知(1 3A2) 1+E 有特征值 74选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是正定的必要条件若 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x32，虽 q
10、=0，但 f 不正定(B) 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵 E相似，但二次型 xTAx 正定(D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E合同，例如 C= ，A=C TC= ，则 xTAx 不正定故应选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 4【试题解析】 用|kA|=k n|A|及|A 1 |=1|A| ，可知| 2A1 |=(2)3|A1 |=81|A| ，又|A|=2 ，从而| 2A 1 |=4【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 19(4EA)【试题解析】 由(A+2E)(A4E)+9E=A 22A+E=0 有 (A+2E)19
11、(4EA)=E 所以(A+2E) 1 =19(4EA)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2E，又 A 可逆，则有 B=(A2E)A 1 =AA 1 故【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 不能由 1， 2， 3 线性表出 方程组 x11+x22+x33=无解又因为 a=1 时方程组无解，所以 a=1 时 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)=r(X)，从而 r(B)=2， |B|=0于是 =0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试
12、题解析】 由于( 1， 2， 3) 按过渡矩阵定义，知由1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵是【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 45【试题解析】 对任意 b1， b2，b 3，方程组有解 r(A)=3 |A|0而由=(5+4)(1)0，可知 1且 45【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i=b 若 c11+c22+ctt 是 Ax=b的解，则 A(c 11+c22+ctt)=c1A1+c2A2+ctAt =(c1+c2+ct)b=b 故c1+c2+ct=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 =0；nr(A)【
13、试题解析】 r(A) |A|=0 =0必是 A 的特征值由 r(A)n Ax=0 有非 0解设 1， 2， nr(A) 是 Ax0 的基础解系，则 Aj=0=0j，即j(j=1，2，n r(A)是 =0的特征向量因此 =0有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 =0至少是矩阵 A 的 nr(A)重特征值注意：k 重特征值至多有 k个线性无关的特征向量【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (45，0)【试题解析】 二次型矩阵 顺序主子式 1=1，2= =1 t20， 3=|A|=5t 24t0，所以 t(45
14、，0)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 设原来行列式的列向量依次为 1， 2， s，记=(1，1，1) T则改变后的行列式为| 1+， 2+， s+|对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，)分为 2n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 j，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， |1+， 2+， s+|是 n+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是 (这样的有 n 个)，还有一个是| 1， 2， s|即原来行列式于是| 1+， 2+， s
15、+| 1， 2， s|【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (E+BA)EB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB) 1 ABAB(E+AB)1 A =E+BA B(E+AB)(E+AB)1 A=E+BABA=E【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性因为 1， 2， s 线性相关，故有不全为 0 的k1，k 2，k s，使 k 11+k22+kss=0 设 ks，k s1 ，k 2，k 1 中第一个不为0 的是 ki(即 ki0，而 ki+1=ks1 =ks=0)，且必有 i1(若 i=1 即k10，k 2=ks=0，那么 k11=0于是 1=0 与 10 矛盾)，从而k1
16、1+k22+kii=0，k i0那么 i=1k i(k11+k22+ki1 i1 ) 充分性设有 i 可用 1， 2， i1 线性表示，则 1， 2， i1 ， i 线性相关，从而1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有()当 a0，且 b3时，方程组有唯一解(2a，1，0) T()当 a=0 时， b 方程组均无解()当a0，b=3 时，方程组有无穷多解(2a，1，0) T+k(0，3，2) T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 =BE ，而 r(B)=1，则有|E B|=36 2所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0故矩阵 A
17、的特征值是5，1，1又行列式|A|=5，因此 A*的特征值是 1，5，5矩阵 B 属于 =6的特征向量是 1=(1，1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(1，1，0) T 和3=( 1，0， 1)T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =5 的特征向量是 k22+k33(k2，k 3 不全为 0)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量，即 A( 1+2+3)=(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是 ( 1)1+( 2)2+( 3)3=0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 1=0， 2=0， 3=0 即 1=2=3【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因 A 正定，所以 AT=A那么(A 1 )T=(A1 )1 =A1 ，即 A1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A1 的特征值是1 1，1 2，1 n，由 A 正定知 i0(i=1，2，n)因此 A1 的特征值1 i0(i=1，2，n)从而 A1 正定 A *=|A|A1 ，|A|0，则 A*也是实对称矩阵，并且特征值为 |A| 1，|A| 2，|A| n 都大于 0从而 A*正定【知识模块】 线性代数
