1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 128 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知线性方程组 则 ( )（A）若方程组无解，则必有系数行列式A=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式A0（C）若系数行列式A=0，则方程组必无解（D）系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件2 设 A 是 n(n2)阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则A *= ( )（A）A（B） A1 （C） An1 （D）A n3 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s 使 k11+k22+kss=0（B
2、） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的 k1，k 2，k s 使 k11+k22+kss04 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )5 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆，且 A1 =B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆（D）若 A，B 均为
3、n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆6 设有两个 n 维向量组() 1， 2， s() 1， 2， s，若存在两组不全为零的数 k1，k 2，k s， 1， 2， s，使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 1)1+(ks s)s=0，则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1 1， s x 线性相关（B） 1， s 及 1， ， s 均线性无关（C） 1， s 及 1， ， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1 1， s x 线性无关7 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n 且 A0（B） AX=0 有唯一
4、零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出8 设 其中与对角矩阵相似的有 ( )（A）A，B，C（B） B，D（C） A，C ， D（D）A，C9 设 A，B 均是 3 阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 则 ( )（A）a= 1 时，必有 r(A)=1（B） a1 时，必有 r(A)=2（C） a=2 时，必有 r(A)=1（D）a2 时，必有 r(A)=2二、填空题10 设 a，b， a+b 均非零，则行列式 =_11 设 则 B1 =_12 已知 则 A1 =_13 设 vB=(E+A)1 (EA)
5、，则(E+B) 1 =_14 设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E =0，则A+4E=_15 设 f(x)=x36x 3+11x5，则 f(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)T=(AT)*17 设 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明 AE 可逆，并求(A E) 1 18 已知方程组 及方程组()的通解为k11， 1，1，0 T+k22，1，0，1 T+2，3， 0，0 T求方程组()，()的公共解19 设 (1)证明当 n3 时，有 An=An2 +A2E
6、；(2)求 A10020 设 证明 A=E+B 可逆，并求 A1 21 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表达式的系数全不为零证明： 1， 2， s， 中任意 s 个向量均线性无关22 设线性方程组 则当 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解23 设 Amn，r(A)=m ，B n(nm) ，r(B)=nm，且满足关系式 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=24 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 1+3)，A( 3+
7、1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵25 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2=A，且 r(A)=r(0rn)证明： 其中Er 是 r 阶单位矩阵25 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=4x223x 32+4x1x24x1x3+8x2x326 写出二次型 f 的矩阵表达式；27 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵28 已知二次曲面方程 x 2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换化为椭圆柱面方程 2+42=4，求 a，b 的值和正交矩阵 P29 设线性方程组添加一个方程 ax1+2x2+bx35x 4=0 后，成为方程组(1)求方程组(*
8、)的通解；(2)a，b 满足什么条件时，(*)(*)是同解方程组考研数学一（线性代数）模拟试卷 128 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解，则有A=0(反证，若A 0 ，用克拉默法则，方程组必有解)；B 方程组有解，A可能为零，也可能不为零； CA=0，方程组也可能有解；D 若A0，则方程组有唯一解，若方程组如果有唯一解，则A一定不为零，二者互为充要条件【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AE，两边取行列式，得A A *=A n 若A0，则A *=A n1 =A n1 ；若A=0，则
9、A *=0，故选C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明必要性：假设有一向量(如 s)可由1， 2， s1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性：假设 1， 2， s 线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1， 2， s 线性无关A 对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论B 必要但不充分，如1=0，1，0 T， 2=1，1，0 T， 3=1，0，0 T 中任意两个向量均线性无关，但1， 2， 3 线性相关D 必要但不充分如上例 1+2+30，但 1， 2， 3 线性相关
10、【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解 21( 2+3)=2，3，4，5 T，对应齐次方程组的基础解系仅有 43=1 个向量，故选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 不可逆，则A=0，B=0 ，故AB= AB=0，AB 不可逆，D 正确A 中 AB=E，但未指出是方阵，若 则 AB=E，但 A，B 均无逆可言B 中，取B=A，则 A+B=AA=0 不可逆C 中，取 均不可逆，但 AB=E 是可逆矩阵【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为零的数 k1，k 1，k s， 1， 2， s 使得 (k 1+
11、1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 1)1+(k2 2)2+(ks s)s=0， 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 1)+2(2 2)+ s(s s)=0， 从而得1+1， ， s+s， 1 1， s s 线性相关【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出，即为 r(A)=r(Ab)=n，故AX=b 有唯一解(A)是充分条件，但非必要条件，(B) 是必要条件，但非充分条件(可能无解) ， (C)是必要条件，但非充分条件(b 由 1， 2， n 线性表出，可能不唯一)【知识模块】 线性代数8 【正
12、确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩所以，=2 只对应一个线性无关的特征向量，因而矩阵 J5不能相似对角化矩阵 C 是实对称矩阵，故必可相似对角化矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩所以，=2 对应有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 A 是非零矩阵，r(A)0 AB=O ，r(A)+r(B)3，故 r(B)2 当 a=1 时，r(B)1=r(A)=1 或 2，(A) 不成立 当 a
13、1 时，必有 a=2，r(b)=2=r(A)=1，(B)不成立 当 a2时，必有 a=1，r(B)=1=r(A)=1 或 2，(D)不成立 由排除法，故应选 C当 a=2 时r(B)=2=r(A)=1 ，故 C 正确【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 2(a 3+b3)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的1 倍加至 0 第 2，3 列，得到=2(A+b)(a 2+abb 2)=2(a 3+b3)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线
14、性代数13 【正确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) 1 (EA) (E+A) 1 (E+A+EA)=2(E+A) 1 E，故 (E+B) 1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 47.6【试题解析】 由A+E =A+2E =A+3E=0，知 A 有特征值=1， 2， 3，于是 A+4E 有特征值 1=3，2，1，故A+4E=6【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 E【试题解析】 因 A，可知存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=，A=PP 1 f(A)=(PP1 )3 6(PP1 )2+11PP1 一 5E =P(36 2+115E)P 1=PEP1=E【知识模块】 线性代
15、数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (A *)T=( AA 1 )T=A (A 1 )T=A(A T)1 =A T(A T)1 =(AT)*【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 AB=A+B，即 ABAB=O，ABAB+E=E，A(B E)(BE)=E， 即 (A E)(BE)=E， 故 AE 可逆，且(AE) 1 =BE【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 将方程组()的通解 k11，1，1，0 T+k22，1，0，1T+ 2，3，0，0 T=2k 1+2k2，3+k 1k 2， k1，k 2T 代入方程组()，得化简得 k 1=2k2+6将上
16、述关系式代入() 的通解，得方程组() ，()的公共解为： 2(2k 2+6)+2k2， 3+2k2+6k 2，2k 2+6，k 2T=8，k 2+3，2k 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)用数学归纳法当 n=3 时，因验证得 A3=A+A2E ，成立 假设n1(n 3) 时成立，即 An1 =An3 +A2E 成立，则 An=A.An1 =A(An3 +A2 E=An2 +A3A =A n2 +(A+A2E)A=A n2 +A2E 故An=An2 +A2E 对任意 n(n3)成立(2)由上述递推关系可得 A100=A98+A2E=(A 96+A2E)+A 2E
17、 =A96+2(A2E)=A 2+49(A2E)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故 (E+B)(EB+B 2B 3)=EB 4=E，故 A=E+B 可逆，且 A 1 =(E+B)1 =EB+B 2B 3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 用反证法设 1， 2， 3 ， 中存在 s 个向量1， 2， i1 ， i+1， ， s， 线性相关，则存在不全为零的数k1，k 2，k i1 ，k i+1，k s，k，使得 k11+ki1 i1 +ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设有 =l11+l22+lii+lss，
18、其中 li0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki1 +kli1 )i1 +klii+(ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0 因1， 2， s 线性无关，从而有 kli=0，l i0，得 k=0，从而由 式得k1，k 2，k i1 ，k i+1，k s 均为零，矛盾 故 1， 2， s， 中任意 s 个向量均线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 方程组等价于齐次线性方程组故当 2 且 2 时，有唯一零解；当 =2 时，有无穷多解，其解为 k11， 1，0，0 T+k21，0，1，0 T+k31，0，0 ，一1 T，k 1，k
19、2，k 3 为任意常数；当 =2 时，方程为 有通解 k1，1，1，1T， k 为任意常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=1， 2， nm ，因已知 AB=O，故知B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=nm 知， 1， 2， nm 是AX=0 的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系1， 2， nm 线性表出，且表出法唯一，即=x11，x 22，x nm nm =1， 2， nm =B，即存在唯一的考，使 B=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关 11+22，
20、 22+33， 33+11 线性无关 11+22， 22+33， 33+11=1， 2， 3 的秩为 3A= 1230，A 是可逆矩阵(因为1， 2， 3 线性无关， =2123)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方法一 由 A2=A，知 A 的特征值的取值为 1，0，由AA 2=A(E A)=O 知 r(A)+r(EA)n ， r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n， 故r(A)+r(EA)=n ，又 r(A)=r，从而 r(EA)=nr 对 =1，(E A)X=0 ，因 r(EA)=nr，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1， 2， ， r； 对 =0，(0EA)X=【
21、知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 二次型的矩阵 则二次型 f 的矩阵表达式为c=xTAx【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 的特征多项式EA=(6+)(1)(6)，则 A 的特征值1=6， 2=1， 3=6经计算可得， 1=6 对应的正交单位化特征向量 p1=2=1 对应的正交单位化特征向量 p2= 3=6 对应的正交单位化特征向量 p3= 令正交矩阵 P=p1，p 2，p 3=所求正交变换为 二次型 f 的标准形为f=6y 12+y22+6y32【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型的矩阵 其特征值 1=0， 2=1， 3=4由可知 a=3，b=1属于 1=0 的单位化特征向量p1= 属于 2=1 的单位化特征向量 p2= 属于3=4 的单位化特征向量 p3= 则所求正交矩阵 P=p1，p 2，p 3【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)得方程组(*)的通解为 k3，5，1，0 T，k 是任意常数(2)方程组(*)(*) 是同解方程组方程组(*)的通解满足方程组(*) 的第 4 个方程，代入得 3ka+(5k).2+bk+0=0，即(3a+b)k=10k因 k 是任意常数，故得3a+b=10【知识模块】 线性代数
