1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 4 阶行列式 的值等于( )（A）a 1a2a3a4 一 b1b2b3b4（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4（C） (a1a2 一 b1b2)(a3a2b3b4)（D）(a 2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4) 2 行列式 =( )（A）(adbc) 2（B）一 (adbc)2（C） a2d2 一 b2c2（D）b 2c2 一 a2d23 设对方阵 A 施行初等变换得到方阵 B，且A0，则( )（A）必有B= A （B） B A（C） B 0（D）B=0 或B
2、0 依赖于所作初等变换二、填空题4 n 阶行列式 =_5 =_6 =_7 =_8 =_9 Dn= =_10 Dn= =_11 行列式 的第 4 行元素的余子式之和的值为_12 方程 f(x)= =0 的全部根是_13 方程 f(t=)= =0 的实根为_14 方程 f(x)= =0 的全部根是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设有行列式 已知 1703，3159，975，10959 都能被 13 整除，不计算行列式 D，证明 D 能被 13 整除16 求下列行列式的值：17 计算下列 n 阶行列式：18 设 ab，证明：考研数学一（线性代数）模拟试卷 17 答案与解析一
3、、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 按第 1 行展开所求行列式 D4，得 D4=(a2a3一 b2b3)(a1a4 一 b1b4)解法 2 如果读者学过行列式的拉普拉斯展开法则，则可将该行列式 D4 按第 2、3 两行展开，得 D4= =(a2a3b2b3)(a1a4 一 b1b4)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于 D=一 ad(ad 一 bc)+bc(ad 一 bc)=一(adbc) 2【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 若互换 A 的某两行(列)，则
4、有B=一A ；若用非零数 k 乘 A的某行(列) ，则 B=kA；对第 3 种初等变换，则有B= A故由A0，知B0 ，而且作 1 次初等变换的结果如此，作若干次初等变换的结果还是如此【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 2 n+1 一 2【试题解析】 从第 n 列提取公因子 (一 2)，得行列式为按第 1 行展开，得所求行列式为 D=一 2一2n+1(一 1)1+n(一 1)n+1=2n+1 一 2解法 2 记该行列式右下角的 k(k2)阶子行列式为Dk，则 假设 D n1=2n 一 2 则(将 Dn 按第一行展开)有 D n=2Dn1+2(一 1)1+n(一 1)n1=2Dn1
5、+22(2n 一 2)+2=2n+1一 2 于是由数学归纳法得所求行列式 Dn=2n+1 一 2【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 a 1a2a3a4 一 b1b2b3b4【试题解析】 按第 1 列展开【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 1 一 x2 一 y2 一 z2【试题解析】 将第 2 列的(一 x)倍、第 3 列的(一 y)倍、第 4 列的(一 z)倍都加到第1 列上去，则得上三角行列式【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 x 4【试题解析】 将第 2、3、4 列都加至第 1 列，并提出第 1 列的公因子 z，再将第1 列的 1 倍、(一 1)倍、1 倍分别加至第 2、3、4
6、 列，然后按第 4 行展开【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1 一 a+a2 一 a3+a4 一 a5【试题解析】 先把第 2、3、4、5 行都加至第 1 行，再按第 1 行展开，得 D5=1 一aD4，一般地有 Dn=1 一 aDn1(n2)，并应用此递推公式【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 n!(2 一 n)【试题解析】 从第 j 列提出公因子 j，再将第 j 列的(一 1)倍加至第 1 列(j=2，3，n)，则得上三角行列式【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a n+(一 1)n+1bn【试题解析】 按第 1 列展开【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一 28【试
7、题解析】 可直接计算亦可利用按第 4 行的展开法则，得所求值等于行列式【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1，2，3【试题解析】 由范德蒙行列式得f(x)=(21)(31)(x 一 1)(32)(x 一 2)(x 一 3)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 t=6【试题解析】 注意行列式各行元素之和均等于(6 一 t)， f(t)=(t 一 6)(t2+3)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 x=0，x=1【试题解析】 f(x)=5x(x 一 1)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将 D 的第 1 列的 1000 倍、
8、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列上去，则所得行列式第 4 列各元素有公因子 13【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)一 9(2) 一 10【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)(一 1)n1(n 一 1)xn2先将第 2 行的( 一 1)倍加至第 i 行(i=3，n)，再按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n 一1 列都加到第 1 列，则得上三角行列式 (2)(x 一 1)(x 一 2)(x 一 n+1)把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，则得上三角行列式 (3)n!(1+z+)先把第 1 行的
9、(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，1) ，再把第 j 列的倍加到第 1 列(j=2，3， ，n) ，则得上三角行列式 (4)n+1按第 1 行展开，并将(1 ，2) 元素的余子式按第 1 列展开，得递推公式 Dn=2Dn1 一 Dn2，D n 一Dn1=Dn1Dn2，由此可得 Dn 一 Dn1=Dn1 一 Dn2=D2 一D1=1，D n=1+Dn1=2+Dn2=(n 一 2)+D2=n+1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 先按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 Dn=(a+b)Dn1 一 abDn2，D n 一 aDn2=b(Dn1aDn2)，D n 一 aDn1=bn2(D2 一 aD1)=b”，对称地有 Dn=bDn1=an，解联立方程组亦可用数学归纳法证之【知识模块】 线性代数
