1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B、A+B、A 1+B1 均为 n 阶可逆方阵，则 (A1+B1)1=( )（A）A 1+B1（B） A+B（C） A(A+B)1B（D）(A+B) 1 2 设 n 维行向量 =( )，矩阵 A=IT，=I+2，其中 I 为 n 阶单位矩阵，则 AB( )（A）0（B）一 I（C） 1（D）I+ T 3 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且
2、a+2b04 设矩阵 B= ，已知矩阵 A 相似于 B，则秩 (A 一 2E)与秩(A E)之和等于( )（A）2（B） 3（C） 4（D）55 设 其中 A 可逆，则 B1 等于( )（A）A 1P1P2（B） P1A1P2（C） P1P2A1（D）P 2A1P1 6 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11， a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )（A）（B） 3（C）（D）二、填空题7 设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E 一 T 的秩为_8 设 A=(aij)是 3 阶非零
3、矩阵， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 A=_9 设 则秩(AB)=_10 设 B0 满足 BA=0，则 t=_11 设 矩阵 B 满足 A2 一 AB=2B+4E，则 B=_12 设 n(n3)阶方阵 的秩为 n1，则 a=_13 设 的伴随矩阵为 A*，且 A*BA=2BA 一 8E，则矩阵B=_14 设 n2 为正整数，则 An 一 2An1=_15 设 A、B 分别为 m 阶和 n 阶方阵，且A=a ，B=b，则行列式=_16 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_17 设 A、B 均是 n 阶矩
4、阵，且A=2，B=一 3，A *为 A 的伴随矩阵，则行列式2A *B1=_18 设 B=(E+A)1(EA)，则(E+B) 1=_19 设 为 3 维列向量， T 是 的转量若 T= ，则T_20 设三阶方阵 A、B 满足 A2BAB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A=，则行列式B=_21 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 位 n 阶单位矩阵，矩阵 A=ET，B=E+ T，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_22 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵已知 AB=2A+B，B= ，则(A E)1=_23 设 A= ， B=P1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则
5、 B20042A2=_24 设 A=(aij)33 是实正交矩阵，且 a11=1，b=(1，0，0) T，则线性方程组 Ax=b 的解是_25 已知 1， 2 均为 2 维向量，矩阵 A=21+2， 1 一 2，= 1， 2，若行列式A=6，则B =_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2=E，B 2=E，A+B=0，证明：A+B=027 设 (1)求 An(n=2，3，)； (2)若方阵 B 满足 A2+AB一 AE，求矩阵 B28 设 A、B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，证明 AE 可逆，并求(A E)129 设有矩阵
6、Amn，B nm，已知 Em 一 AB 可逆，证明：E n 一 BA 可逆，且(E n 一BA)1=Emn+B(Em 一 AB)1A30 设 A 为 mn 矩阵，证明：r(A)=n 存在 nm 矩阵 C，使得 CA=En31 设 A=(aij)为 n 阶方阵，证明：对任意的 n 维列向量 X，都有 XTAX=0 A 为反对称矩阵32 设实方阵 A=(aij)44 满足：(1)a ij=Aij(i，j=1，2， 3，4，其中 Aij 为 aij 的代数余子式)；(2)a 110求A33 设 A*是 A33 的伴随矩阵，A= ，求行列式(3A) 1 一 2A*的值34 设 A*为 A 的伴随矩阵，
7、矩阵 B 满足 A*B=A1+2B，求B35 设 3 阶矩阵 A 的逆阵为 A*为 A 的伴随矩阵，求(A *)136 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，I 为 n 阶单位矩阵 (1)计算并化简 PQ； (2)证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1b37 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位阵求 X考研数学一（线性代数）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由(A 1+B1)A(A+B)1B=
8、(E+B1A)CA+B)1B=B1(B+A)(A+B)1B=B1B=E，或 A(A+B)1B=B1(A+B)A11=(B1AA1+B1BA1)1=(B1+A1)1=(A1+B1)1 即知只有(C)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(I T)(I+2T)=I+2T 一 T2TT 一 I+T 一2T(T)，而 T= ，故得 AB=I【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1，知 A*至少有一个元素 Aij=(一 1)ijMij0，其中 Mij 为 A的(i，j)元素的余子式 即 A 的一个 2 阶子式，故 r(A)2，又由0= A*=
9、 A *，知A=0，故得，r(A)=2 由 0=A =(a+2b)(a 一 b) 2 得a=b 或 a+2b=0，若 a=b，则显然有 r(A)1，与 r(A)=2 矛盾，故 ab 且 a+2b=0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B故有 P1(A 一 2E)P=P1AP 一 2E=B 一 2E=【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 利用初等变换与初等矩阵的关系，可得 B=AP2P1，故 B1=P11P21A1=P2P2A1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由比较 A*=AT 对应元素知 a=
10、Aij(i，j=1 ，2，3)，其中 Aij 为A中aij 的代数余子式，利用行列式按行展开法则得A= =3a1120又由 A*=AT 两端取行列式得A 2=A，A=1，故得 3a112=1，a 11= 【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 若取单位向量 =(1，0，0) T，则矩阵 E 一 T= 的秩为 2，本题作为填空题，要求一般成立的结果，自然应对个例成立，所以矩阵 ET 的秩为 2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 A0，不妨设 aij0，由已知的 Aij=aij(i，j=1，2，3)，得及 A=一(A *)T，其中 A*为 A
11、的伴随矩阵以下有两种方法： 用 AT 右乘 A=一(A *)T 的两端，得 AA T=一(A *)AT=一(AAT)T=一( AI) T，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得 A T=(1)3A 3，或A 2(1+A)=0，因A0，所以A =一 1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2【试题解析】 秩(AB)=秩(A)=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 t=一 3【试题解析】 BA=O 且 B0 时，必有A=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 B=(A+2E) 1(A2 一 4E)=(A+2E)1(A+2E)(A 一 2E)=A 一 2E=【知
12、识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 =n 一 1A=1+(n 一 1)a(1a)n10a= 或a=1，而当 a=1 时，有 r(A)=1；而当 a= 时，有 r(A)=n 一 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 B=8(2E A*)1A1=8A(2EA*)1=8(2AAA*)1=8(2AAE) 1=8(2A+2E)1=4(A+E)1=。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 因 A2=2A，故当 n=2 时，A n 一 2An1=A2 一 2A=O；当 n2 时，An 一 2An1=An2(A22A)=An2=O=O，故恒有 An 一 2
13、An1=0(n2)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 可用行列式的拉普拉斯展开法则或经 mn 次相邻两列的互换，得 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 0【试题解析】 当 r(A44)=2 时，A 中 3 阶子式全为零A *=0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 一【试题解析】 2A *B1=2 nA *B 1=2nA n1B 1=一 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) 1(E 一 A)，两端左乘 E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+EA=2E (E+A)(E+B)=E(E+B) 1=【知识模块】
14、 线性代数19 【正确答案】 3【试题解析】 3设故 T=a12+a22+a32=1+1+1=3【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 由题设方程解得(AE)B=E，两端取行列式，得 2B=1，故B = 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 T=2a2，及【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 由题设方程得(AE)B 一 2A=O，(AE)B 一 2(AE)=2E，(A E)(B 一 2E)一 2E，(AE) 1= 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【试题解析】 由于 A2= ，A 4 一(A 2)2=E，A 2004=(A4
15、)501=E501=E，故 B2004 一 2A2=P1A2004P 一 2A2=E 一 2A2=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【试题解析】 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A=，又 A1=AT，故方程组 Ax=b 的解为 x=A1b=ATb=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 一 2【试题解析】 A=2 1+2， 1 一 2=1， 2 ，两端取行列式，得A=B( 一 3)，因A=6，得B=一 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 由条件知A=1，B=1，且A=一B AB =一 1，故A+B= AE+
16、EB=AB 2+A2B=A(B+A)B=AB+A B= 一A+BA+B=0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)A 2=4E，故 A2k=(A2)k=(4E)k=4kE，A 2k+1=A2kA=4kA(k=1，2，) (2) 由 A2=4EA 1= AB=A 1(E+AA2)=A1+EA=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (AE)(BE)=E=(A E)1=BE【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (E n 一 EA)En+B(Em 一 AB)1A=En【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 若 r(A)=n，则存在可逆矩阵 Pmn 及 Qmn，使 PAQ=，两端左乘Q
17、 O ，得Q OPA=En，故 C=Q OP，使得 CA=En 反之，若存在 Cnm，使得 CA=En，则 n=r(En)=r(CA)r(A)nr(A)=n【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 必要性：取 X=j =(0，0，1， 0，0) T(第 j 个分量为 1，其余分量全为零的 n 维列向量)，则由 0=jTAj=aij，及 ij 时，有 0=(i +j)TA(i+j)=iTAi+iTAi+jTAi+jTAj=0+aij+aij+0=aij+aji，可知 A 为反对称矩阵充分性：若AT=一 A，则 XATX=一 XTAX，又 XTATX 为 1 阶方阵，其转置不变，因而有XTATX=
18、(XTATX)T=XTAXX TAX=一 XTAX2X TAX=0X TAX=0【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A+1【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 由 A*= AA 1=【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 利用 AA*=A E=4E，用 A 左乘方程两端，得4B=E+2AB，(4E 一 2A)B=E，B=(4E 一 2A)1=【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 (A *)1=【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 (1)PQ= (2)由(1)得PQ= A 2(b 一TA1)，而PQPQ，且由条件知 P=A0Q =A(b一 TA1)，因而 Q 可逆 bTA1【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 由题设等式得(AB)X(AB)=E，故 X=(AB)1(AB)1=【知识模块】 线性代数
