1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 为( )（A）24（B）一 24（C） 48（D）一 482 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2为( )（A）0（B） 54（C） -2（D）-243 设 n 维行向量 ，A=E T，B=E+2 T，则 AB 为( )（A）0（B）一 E（C） E（D）E+ T4 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则
2、 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 AB 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆5 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A-1+B-1 为对称矩阵（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵6 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0（B） AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0（C） AB=0 且 r(A)=n，则 B=0（D）若 AB0，则A0 或B07 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）A=B（B） AB
3、 （C）若 A=0 则B=0（D）若A0 则B08 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1 （D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定9 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm10 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)=411 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（A
4、）r(B)=n（B） r(B)n（C） A2 一 B2=(A+B)(AB)（D）A=012 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )13 （A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P114 （A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P2-1AP1（D）B=P 1-1AP2-1二、填空题15 16 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a 一 1，则 a=_17 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且 =_.18 设 A=(1， 2， 3)
5、为三阶矩阵，且A=3 ，则 1+22， 233， 3+21=_19 设三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且A=3，B =4，则5A 一 2B=_20 设 =(1，一 1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 An=_21 22 23 A2 一 B2=(A+B)(AB)的充分必要条件是_24 设 A 是三阶矩阵，且A=4，则 =_25 26 27 设 A 为三阶矩阵，且A=3，则( 一 2A)*=_28 29 30 31 32 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*-1=_(用 A*表示)33 34 设 n 维列向量 =(
6、a，0，0，a) T，其中 a0，又 A=E-T， ，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_35 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A-1BA=6A+BA，且 ，则B=_36 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_37 38 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。39 40 41 42 考研数学一（线性代数）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=0，所以
7、 A 有特征值一 1，于是 2E+A2 的特征值为 18，3，于是2E+A 2=54 ，选(B)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB= A B，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得 A-1+B-1 为对称矩阵；由(ka) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)【知识模块】
8、 线性代数部分6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P s，Q 1， ，Q t，使得 B=PsP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q 1，Q 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0 ，选(C)【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(A
9、B)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=41=3，选(C) 【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是A=0，选(D)【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B
10、=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分二、填空题15 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x2 项的系数为 23【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 1【试题解析】 由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一 1)=0 得 a=1【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 (-1) mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A
11、的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 -33【试题解析】 1+22， 233， 3+21 = 1， 233， 3+21+2 2， 233， 3+21 = 1， 2-33， 3+2 2，-33， 3+21 = 1， 2， 3一 6 2， 3， 3+21= 1， 2， 3一6 2， 3，2 1 = 1， 2， 3一 12 2， 3， 1= 1， 2， 3一12 1， 2， 3=一 33【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A 一 2B=(5，5 1，5 2)一(2，2 1，2 2)=(
12、5 一 2，3 1，3 2)，得 5A 一 2B= 5 一 2，3 1，3 2=95 一2， 1， 2 =9(5， 1， 2一 2， 1， 2)=63【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 0【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n-1A，A n-1=2n-2A，所以 An 一 2An-1=0【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2 一 B2=(A+B)(A 一 B)=A2+BAAB 一 B2 的充分必要条件是AB=BA【知识模块
13、】 线性代数部分24 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *=8，所以 A*=A 3=8，于是A=2又 AA*=AE=2E，所以 A*=2A-1，故【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 576【试题解析】 因为(一 2A)*=(一 2)2A*=4A*，所以 (一 2A)*= 4A*=4 3A 2=649=576【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线
14、性代数部分30 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分31 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分32 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分33 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分34 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分35 【正确答案】 【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA，得 A-1B=6E+B，于是(A -1-E)B=6E，【知识模块】 线性代数部分36 【正确答案】 2【试题解析】 因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数部分37 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又因为 B0，所以 r(B)1，从而有r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。39 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分40 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分41 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分42 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分
