1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充分必要条件是 ( )（A）存在一组不全为 0 的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出（D） 1， 2， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 2 设 A 是 4 阶矩阵，且 A 的行列式A=0，则 A 中( )（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线
2、性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合 3 已知向量组 1=(1，2，3，4)， 2=(2，3，4，5) ， 3=(3，4，5，6)，4=(4， 5，6， 7)，则该向量组的秩是_4 设 其中 ai0，b i0(i=1，2，n)，则矩阵 A 的秩r(A)=_5 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1，线性无关（B） 12， 23， 34， 4 一 1，线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+44 一 1，线性：无关（D） 1+2， 2+3， 34， 4 一 1，线性：无关6 设矩阵（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合
3、（D）异面 7 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有行列式AB0（B）当 mn 时，必有行列式AB=0（C）当 nm 时，必有行列式AB0（D）当 nm 时，必有行列式AB=08 设 n 维列向量组 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， m 线性无关的充分必要条件为( )（A）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（C）向量组 1， m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵 A=1， m与矩阵 B=1， m等价 9 设向量组 I： 1， 2， s 可由向量组： 1， 2， s 线性表示
4、，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关（D）当 rs 时，向量组 I 必线性相关10 设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 11 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2，
5、s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关 12 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 12， 23， 31（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 122， 223， 321（D） 1+22， 2+23， 3+21 13 设 1， 2， 3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基 1， 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为14 设 1= ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量
6、组线性相关的为（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 415 设 A，B，C 均为行阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 16 设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充
7、分也非必要条件二、填空题17 已知三维线性空间的一组基底为 1=(1，1，0)， 2=(1，0，1)， 3=(0，1，1)，则向量 u=(2，0，0)在上述基底下的坐标是 _18 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 则 r(AB)=_19 从 R2 的基 1= 的过渡矩阵为_20 设 1=(1， 2，一 1，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T若由1， 2， 3 生成的向量空间的维数为 2，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 2， 3， 4 线性无关，问： (1) 1
8、能否由2， 3 线性表出 ?证明你的结论 (2) 4 能否由 1， 2， 3 线性表出?证明你的结论22 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nmI 是 n 阶单位矩阵若 AB=I，证明 B 的列向量组线性无关23 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=(1，1，23) T， 2=(一 1，1，4，一 1)T， 3=(5，一 1，一 8，9) T 都是齐次线性方程组 BX=0 的解向量求 BX=0 的解空间的一个标准正交基24 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak10证明：向量组 ，A，A 1是线性无关的25 已知 3 阶矩
9、阵 A 与 3 维向量 x使得向量组 x， Ax，A 2x 线性无关，且满足A3x=3Ax 一 2A2x (1) 记 P=(x Ax A2x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP1； (2)计算行列式A+E26 )设 、 均为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置证明： (I)秩 r(A)2；(II) 若 ， 线性相关，则秩 r(A)227 )设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，l，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，) T 线性表示 (I) 求 a 的值； (II) 将1，
10、2， 3 用 1， 2， 3 线性表示28 设向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基， 1=21+2k3， 2=22， 3=1+(k+1)3 (I)证明向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基； ()当 k 为何值时，存在非零向量 在基1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同，并求所有的 考研数学一（线性代数）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是该组中至少存在一个向量，它可以用该组中其余 s 一 1 个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此
11、立即知(D) 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 对于方阵 A，由于A=0 A 的列(行)向量组线性相关，由向量组线性相关的充要条件即知(C)正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 2【试题解析】 由于矩阵的秩等于其行向量组的秩，所以由 1， 2， 3， 4 为行向量组成矩阵 A，通过求 A 的秩即得所求向量组的秩对 A 作初等行变换：由此可知 r(A)=2，故1， 2， 3， 4 的秩为 2【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 的第 1 行非零，又 A 的第 2，3，n 行都可由 A 的第 1行线性表出，故 A 的行秩为 1，即 r(A
12、)=1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 若记备选项(A)中的 4 个向量依次为 1， 2， 3， 4，则可以看出它们满足 12+34=0，故 (A)组线性相关同样通过观察可知(B)组、(D)组都是线性相关组，由排除法即知只有备选项(C)正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 L 1 的方向向量为 1=(a1 一 a2，b 1b2，c 1 一 c2)，L 2 的方向向量为2=(a2 一 a3，b 2b3，c 2 一 c3)对矩阵 A 作初等行变换：因为 A 是满秩的，故 B 也是满秩的注意 B 的前 2 个行向量分别就是 1 和 2，故 1 与 2 不共
13、线取 L1 上的点 P(a3，b 3，c 3)，取L2 上的点 Q(a1，b 1，c 1)由于混合积故 L1 与 L2 共面，它们又不平行，故必交于一点【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 作为单项选择题，可以用排除法： 因此，只有(B)正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 记向量组(I)： 1， m，向量组()： 1， m，由于 mn，故当( )线性无关时， (I)与( )之间不一定存在线性表示例如，向量组 1=，二者都是线性无关组，二者的秩都是2，但二者之间不存在线性表示故备选项(A)、(B)及(C) 都不对，因此只有(D)正确【知识模块】 线性代数
14、9 【正确答案】 D【试题解析】 本题的正确结论，几乎在每本线性代数教材中都是作为定理的可以这样来理解和记忆这个结论：记由向量组生成的子空间为 W，则的极大无关组和秩分别是 W 的基与维数，因此有 dim(W)s若 I 可由线性表示，则 IW由于 W 中线性无关的向量不会超过 s 个，所以当 I 所含向量个数，rs时，I 必是线性相关的【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1 2 n，由 B0 知至少有一列非零，设 B的第 j 列(b 1j，b 2j，b 3j)TO，则 AB 的第 j 列为 1 2 n =O，即 b1j1+b2j2+b3jn=O，因
15、为常数 b1j，b 2j， b3j 不全为零，故由上式知 A 的列向量组线性相关，再由 AB=0 取转置得 BTAT=O，利用已证的结果可知 BT 的列向量组即 B 的行向量组线性相关，故(A)正确【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+kss=0 两端左乘矩阵 A，得 k11+k22+kss=0 因 k1，k 2，k s 不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1 一 2)
16、+(2 一 3)+(3 一 1)=0 即选项(A)中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组从而知选项(A)正确【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 如果 3 维向量空间的一组基(I)： 1， 2， 3 与另一组基()：1， 2， 3 之间有如下关系： j=a1j1+a2j2+a3j3(j=1，2，3)，写成矩阵形式，就是2， 3=1， 2， 3 其中 aij 为常数(i ，j=1，2，3)，则称矩阵A=(aij)33 为由基(I) 到基() 的过渡矩阵，现在容易得到 1+2， 2+3， 3+1=因此所求过渡矩阵为 A= 只有选项(A)正确【知识模块】 线性代数14 【正确
17、答案】 C【试题解析】 用排除法：当 c10 时，A 组、B 组都线性无关；当 c3+c40 时，D组线性无关因此，只有选项(C)正确【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 B【试题解析】 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A【试题解析】 记向量组(I)： 1+k2， 2+k3； 向量组()： 1， 2， 3(I)是由()线性表出的，写成
18、矩阵形式即是： 1+k3， 2+k3=1， 2， 3 当()线性无关时矩阵 1， 2， 3为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为 2，从而知向量组(I)线性无关，所以，(I) 线性无关是()线性无关的必要条件 但(I)线性无关不是(II)线性无关的充分条件，例如当 k=l=0 时，(I)线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无关【知识模块】 线性代数二、填空题17 【正确答案】 (1，1，一 1)【试题解析】 设 u 在基底 1， 2， 3 下的坐标为(x 1，x 2，x 3)，即x1
19、1，x 22，x 33=u，或 解此方程组得唯一解：x 1=1，x 2=1，x 3=一 1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 2【试题解析】 因为 B 为满秩方阵，而用满秩方阵乘矩阵，不改变矩阵的秩，所以有 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 设由基 1， 2 到基 1， 2 的过渡矩阵为 A，则有 1 2=1 2A 因为矩阵 1 2为 2 阶可逆方阵，故由上式得 A=1 211 2=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 6【试题解析】 由 1， 2， 3 生成的向量空间的维数等于该向量组的秩，而由下列矩阵的初等变换：【知识模块】 线性代数
20、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 (1) 1 能由 2， 3 线性表出因为已知 2， 3， 4 线性无关，所以2， 3 线性无关又因为 1， 2， 3 线性相关，故证得 1 能由 2， 3 线性表出 (2)4 不能由 1， 2， 3 线性表出用反证法设 4 可由 1， 2， 3 线性表出，即 4=11+22+33 由(1) 知，设 1=l22+l33，代入上式，得 4=(2+1l1)2+(3+1l3)3 即 4 可由 2， 3 线性表出，从而 2， 3， 4 线性相关，这和已知矛盾因此，4 不能由 1， 2， 3 线性表出【试题解析】 本题考查向量线性相关与
21、线性无关的基本概念，特别是部分组与整体组的线性相关性之间的关系(1)的解直接利用了有关结论注意由(1)实际上已说明 2， 3 是向量组 1， 2， 3 的一个最大无关组，由于在线性表出问题中，最大无关组可以代替向量组本身，注意到这一点，(2)的结论则是显然的【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 B=1 2 n，其中 j 是 B 的第 j 个列向量(j=1，2，n)若数 x1，x 2，x n 使得 x 1+x22+xnn=0 即 1， 2， n =BX=0 两边左乘 A，得 ABX=0，即 IX=0，亦即 X=0 所以1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因
22、r(B)=2，故 BX=0 的解空间的维数为 42=2又 1， 2 线性无关，故 1， 2 是解空间的基取 1=1=(1，1，2，3) T即是所求的一个标准正交基【试题解析】 本题考查齐次线性方程的解空间、向量空间的标准正交基等概念及线性无关向量组的正交规范化方法注意，正交规范化过程必须是先正交化，再规范(单位 )化【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设有常数 1， 2， k，使得 1+2+ kA=0 两端左乘Ak1，得 1Ak1+22Ak+ kA2k2=0 由于 Ak=0，有 Ak+l=0(l为任意正整数)，从而有 1A=0 因为 Ak10，所以 1=0类似可证得 2=3= k=0，因
23、此向量组 ， A， ，A 线性无关【试题解析】 本题考查如何根据已知条件，利用定义证明向量组线性无关注意，若 为数，向量 0，则 =0=0因此，要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为 0，就需要把它变形成 =0 的形式，当 0 时就有 =0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)设 则由 AP=PB，得 (Ax A 2x A3x)=(Ax A2x 3Ax 一 2A3x)=(x Ax A2x) 上式可写成 Ax=a1x+b1Ax+c1A2x (1) A2x=a2x+b2Ax+c2A2x (2) 3Ax2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x (3)由于 x，Ax，A 2
24、x 线性无关，故 由(1)式可得 a1=c1=0，b 1=1 由(2)式可得 a 1=b2=0，c 2=1 由(3)式可得 a3=0，b 3=3，c 3=一 2 从而 B= (2)由(1)有 A=PBP1，故 A+E=PBP 1+E=P(B+E)P1 两端取行列式，得A+E =PB+EP 1=B+E=一 4【试题解析】 本题综合考查按列分块矩阵的运算向量用基向量的线性表示、满秩方阵的概念、方阵乘积的行列式等注意，当 3 维向量组 x，Ax ，A 2x 线性无关时，该向量组就可作为 3 维向量空间的基，因而任一 3 维向量都可由该向量组线性表示；另一方面，欲求 B 使 AP=PB，按列表示就是
25、Apj=Pj(其中 pj 为 P 之第 j 列，j=b1j，b 2j，b 3jT 为 B 之第 j 列(j=1，2，3)，或 Apj=(p1 p2 p3)=b1jp1+b2jp2+b3jp3 由于 P 可逆，P 之列向量组 p1，p 2，p 3 为 3 维空间的基，而上式说明 B 之第 j 列(b 1j，b 2j，b 3j)T 就是向量 Apj 在这个基下的坐标，故以上两方面说明，本题(1)求矩阵 B 的本质是求 AP 的列向量在基 p1，p 2，p 3 下的坐标列向量 本题(1)实际上已说明 A 与 B 是相似的，从而知 A+E 与 B+E 相似，而相似矩阵有相同的行列式，因而由 B+E 的
26、行列式就可求出 A+E 的行列式注意，一般地有：若 A 与 E 相似，则对于任何多项式 f(x)，有 f(A)与 f(B)相似【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (I)r(A)=r( T+T) r(T)+r(T) (利用 r(P+Q)r(P)+r(Q) r()+r() (利用 r(PQ)minr(P)，r(Q) 2 (利用矩阵的秩不大于其行数、列数) ()由于， 线性相关，不妨设 =k(k为常数)，于是 r(A)=r( T+T)=r(1+k2)T =r(T)r()12【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (I)4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1 ，2，3)，若
27、1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 于是a=5此时， 1 不能由向量组 1， 2， 3 风线性表示 ()令矩阵 A=1 2 3 1 2 3，对 A 施行初等行变换从而， 1=21+42 一 3， 2=1+22， 3=51+10223【试题解析】 本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算注意，3 个线性无关的 3 维向量必可作为 3 维向量空间的基，从而可线性表示任一 3维向量，由此立即可知题给的向量组 1， 2， 3 风线性相关，于是由矩阵 1 2 3的秩小于 3 或行列式 1 2
28、 3=0，便可求出 a 来【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 将已知的线性表示式写成矩阵形式，得 ( 1， 2， 3)=(21+23，2 2， 1+(k+1)3)=(1， 2， 3)P 其中矩阵 P= ，由于 P的行列式P 0，所以 P 可逆，故向量组 1， 2， 3(线性无关)可作为 R3 的基( )解设非零向量 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标(列)向量为 x，则 =(1， 2， 3)x=(1， 2， 3)X=(1， 2， 3)Px 由此得 (1， 2， 3)Px 一(1， 2， 3)x=(1， 2， 3)(Px 一 x)=(1， 2， 3)(PE)x=0 因为矩阵( 1， 2， 3)可逆，所以(PE)x=0，其中 E 为 3 阶单位矩阵，因为 x0，所以 PE 是降秩矩阵，对 PE 施行初等行变换： 可见，当且仅当k=0 时方程组(P E)x=0 有非零解，且所有非零解为 x= ，c 为任意非零常数故在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同的所有非零向量为 =(1， 2， 3)=c(a1 一 as)，c 为任意非零常数【知识模块】 线性代数
