1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=0 2 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A 的秩为 3，则 A 相似于3 矩阵 相似的充分必要条件为（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意常数（C） a=2，b=0（D）a=2 ，b 为任意常数二、填空题4 设 A 为 n 阶矩阵，A0，A *为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶
2、单位矩阵若 A 有特征值 ，则(A *)2+E 必有特征值是_5 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_6 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维向量，A 1=0，A 2=21+2，则 A 的非零特征值为_7 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 已知矩阵 (1)求 x 与 y；(2)求一个满足P1AP=B 的可逆矩阵 P9 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：(1) 为 A1 的特征值；(2)为 A 的伴随矩阵 A*的特征值10 设
3、 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为(1)将 用 1， 2， 3 线性表出 (2)求 An(n 为自然数 )11 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 A。的特征向量为1=(0，1，1) T，求 A12 已知 的一个特征向量 (1)试确定参数a、b 及特征向量 所对应的特征值； (2)问 A 能否相似于对角阵 ?说明理由13 设矩阵 其行列式A =一 1，又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为 0，属于 0 的一个特征向量为 =(一 1，一 1，1) T，求 a、b、c 和 0 的值14 某试验性生产线每年一月份进行熟
4、练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量 (1)求(2)验证是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；(3)当15 设 A，B 为同阶方阵， (1)如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等(2)举一个二阶方阵的例子说明(1) 的逆命题不成立(3)当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立16 设矩阵 矩阵 B=P1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，
5、E 为 3 阶单位矩阵17 设矩阵 A= 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化18 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解 (I)求 A 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A19 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，且 1=(1，一 1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (I)验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的
6、全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B20 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 (I)求 A 的所有特征值与特征向量(II)求矩阵 A21 证明 n 阶矩阵 相似22 设矩阵 A= (I)求 a，b 的值；(1I)求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角矩阵23 设 3 阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，1，相应的特征向量分别为 (1，一 1，1)T， (1，0，一 1)T，(1，2，一 4)T，求 A10024 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，一 1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若B=A2 一 2A+3E，试求 B1 的特征值和特征向量。25 3 阶矩阵 A 的特征值
7、分别为 1，2，一 3，B=A 4 一 7A+5E，求矩阵 B26 3 阶矩阵 A 与对角阵 相似，证明：矩阵 B=(A1E)(A2E)(A3E)=027 设 A 为 n 阶非零矩阵，存在某正整数 m，使 Am=O，求 A 的特征值，并证明 A不与对角阵相似28 下列矩阵是否相似于对角阵?为什么?29 已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 A= 的逆矩阵 A1 的特征向量，试求常数 k 的值及 对应的特征值30 设矩阵 相似(1)求 x 和 y 的值；(2)求可逆矩阵 P，使 P1AP=B考研数学一（线性代数）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
8、要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 12 及特征值的性质知 1， 2 线性无关显然，向量组1， A(1+2)=1， 11+22等价于向量组 1， 22当 20 时，它线性无关，当 2=0 时，它线性相关，故 1，A( 1+2)线性无关 20【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 设 为 A 的特征值且 为对应的特征向量，则有Am=m(m=1，2，)，故有 (A 2+A)=O=0， 即 ( 2+)=0， 因 0，得 +=0，从而有 =0 或 =一 1，又因 r(A)=3，所以 A 的非零特征值有 3 个，有 1 个特征值为 0，即 A 的全部特征值为：一 1，一 1，一
9、1，0 ，所以只有选项(D) 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，b，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有由此得 a=0当 a=0 时，矩阵 A 的特征多项式为由此得 A 的全部特征值为2，6，0以下可分两种情形： 情形 1：若 6 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似于 B综上可知，A 与 B 相似的充分必要条件为a=0，6 为任意常数所以只有选项(B)正确 情形 2：
10、若 6 是任意复数而不是实数，则 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，因此 A 必相似于对角矩阵 B只有选项(B)正确【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 因 为 A 的特征值，故存在非零列向量 X，使 AX=X 两端左乘 A*并利用 A*A=AE，得 AX=A *X【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 1=n， 2=3= n=0【试题解析】 由=( 一 n)n1=0 即得 A 的特征值为 1=n， 2=3= n=0【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 1【试题解析】 由 1， 2 线性无关，知 21+20，又由已知条件知 A(21+2)=21+A2=0+
11、21+2=21+2=1.(21+2)，于是由定义知 =1 为 A 的一个特征值且21+2 为对应的一个特征向量【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2【试题解析】 由于 T=2，故 0，且有 ( T)=(T)=2， 于是由特征值与特征向量的定义，知 2 为方阵 T 的一个特征值且 为对应的一个特征向量下面还可证明方阵 T 只有一个非零特征值首先可证方阵 T 的秩为 1；由 TO 知r(T)1，又由 r(T)r()=1，知 r(T)=1，故 0 为 T 的特征值其次可证 0 为T 的 2 重特征值：由于齐次线性方程组(0 一 T)x=0 的基础解系所含向量的个数即方阵 T 的属于特征值 0 的
12、线性无关特征向量的个数 =3 一 r(T)=31=2，所以 0 至少是 T 的 2 重特征值，但不会是 3 重特征值 (否则 T=0)既然 3 阶方阵 T 有 2 重特征值 0，因此其非零特征值就只能有一个【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 因 A 与 B 相似，故E 一 A=E 一 B，即亦即 ( 一 2)(2 一 x 一 1)=( 一 2)2+(13，) 一 y，比较上式两端关于 的同次幂的系数，得 x=0，y=1【试题解析】 本题主要考查特征值与特征向量的定义亦可利用特征方程证明(1)：若 为可逆方阵 A 的特征值，则有E 一 A=0
13、，故必有 0(否则 =0则有A=0，即A=0，这与 A 可逆矛盾)，于是有 E 一 A=0=0，因此 A与 A1 的特征值按“倒数”关系形成一一对应【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (1)由已知，有非零向量 满足 A=，两端左乘 A1，得 =A1因 0，故 0，于是有 A1= 为 A1 的一个特征值( 为对应的一个特征向量) (2)由于 A1=为 A*的特征值【试题解析】 本题主要考查特征值与特征向量的定义亦可利用特征方程证明(1)：若 为可逆方阵 A 的特征值，则有E 一 A=0，故必有 0(否则 =0则有A=0，即A=0，这与 A 可逆矛盾)，于是有 E 一 A=0=0，因此 A 与
14、 A1的特征值按“倒数”关系形成一一对应【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 设 =x11+x22+x33，即得唯一解 x1=2，x 2=一 2，x 3=1，故 =21 一 22+3 (2)A n=An(21 一 22+3)由于 Ai=1i，A ni=ini，(i=1，2，3)故 A n=2An1 一 2An2+An3=21n1 一22n2+3n3=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 对应于 2=2=3=1 有两个线性无关的特征向量 2， 3，它们都与1 正交，故可取【试题解析】 本题考查实对称矩阵的性质、齐次线性方程组的基础解系的求法及方阵对角化的应用.现再对几个有关问题加以说明：
15、 (1)关于属于 2=2=3=1 的特征向量的求法：设 为属于 2=2=3=1 的特征向量，则由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交的性质，有 1X，即 0x1+x2+x3=0，其系数矩阵为0 1 1，它的秩为 1，因此对应齐次线性方程含 1 个约束未知量，若取 x2 为约束未知量，则余下来的未知量 x1 和 x2 就是自由未知量，分别令 x1=1，x 3=0 和 x1=0，x 3=一 1，代入由自由未知量表示的通解 x2=0x1 一 x3，即得基础解系；2 和 3 就是属于 2=3=1 的线性无关特征向量不少考生由方程 x2+x3=0 只能求到一个非零解，常常求不出 1，其原因就在于没
16、有掌握上述“先选取约束未知量，从而选取自由未知量，进而求出基础解系”的方法 (2)如果令矩阵 P=1 2 3，则 P 可逆(但不是正交阵)，使 P1AP=D，于是可由 A=PDP1解出 A 来，但需要求一个逆矩阵，因此不如题解中的解法简单【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)由从而 =一 1 对应的线性无关特征向量只有 1 个，故 A 不能相似于对角阵【试题解析】 本题主要考查特征值与特征向量的定义，特征值的计算及方阵相似于对角阵的条件注意，如果方阵 A 的特征值都是单特征值，则 A 必相似于对角阵；如果 A 有重特征值，则 A 相似于对角阵 对应于 A 的每个特征值的线性无关特征向
17、量个数，正好等于该特征值的重数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由题设，有 A *=0 两端左乘 A，并利用 AA*=AE=一 E(已知A= 一 1)，得一 =0A解之得0=1，b= 一 3，a=c 由A= 一 1 和 a=c，有 =a 一 3=一 1 故a=c=2因此 a=2，b= 一 3，c=2， 0=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)由题设，有(2)由于 1 与 2的对应分量不成比例，故 1 与 2 线性无关因 A1= =1，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值为 1=1因【试题解析】 本题综合考查由实际问题建立数学关系式的能力，以及矩阵运算、特征值与特征向
18、量的概念、方阵相似于对角阵的概念及其应用本题首先要能正确写出矩阵 A 来计算的重点是求 An，若 A 能相似于对角阵，则 An 易于计算，而本题(2)相当于已经指出 A 可相似对角化，并且相似变换矩阵及相似对角阵实际上已从(2)的验证中得到【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)由 A， B 相似知，存在可逆方阵 P，使 P1AP=B，故 E 一B=E 一 P1AP= P 1EP 一 P1AP = P1(E 一 A)P=P 1E一 AP = P 1P E 一 A= E 一 A (2)令A= ，则有 E 一 A= 2=EB，但 A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B=O。
19、从而 A=POP1=O，这与 AO 矛盾 (3)由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，则 A 与 B 有相同的特征值，设 A(B)的全部特征值为 1， 2， N，则 A，B 都相似于对角阵于是有 (PQ 1)1A(PQ1)=B 由 PQ1 可逆知 A 与 B 相似【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 经计算可得得 B+2E 的特征值为 1=2=9， 3=3 对于 1=2=9，由所以对应于特征值 1=2=9 的全部特征向量为 k 11+k22=k1(一 1，1，0) T+k2(一 2，0，1) T 其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数 对于 3
20、=3，对应的一个特征向量可取为 3=(0，1，1) T 所以对应于特征值 3=3 的全部特征向量为 k33=k3(0，1，1) T，其中k3 是不为零的任意常数【试题解析】 本题是三阶方阵的一系列常规计算问题，按部就班也不难作出来但如果利用相似矩阵及矩阵特征值的一些常用性质(例如：(1)若 A 与 B 相似，则对任意多项式 f，有 f(A)与 f(B)相似(2)相似矩阵有相同的特征值等等)，则本题运算还可简化【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A 的特征多项式为(1)若 =2 是f()的二重根，则有( 2 一 8+18+3a) =2=22 一 16+18=3a 一 3a+6=0，解得 a
21、=一 2 当 a=一 2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 2EA= 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化 (2)若=2 不是 f()的二重根，则 2 一 8+18+3a 为完全平方，从而 18+3a=16，解得 a=一 当 a=一 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 的秩为 2，故 A 的对应于特征值 4 的线性无关特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (I)由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以因为 A1=0，A 2=0，即 A 1=01，A 2=02 故由定义知1=2=0 是 A 的二
22、重特征值， 1， 2 为 A 的属于特征值 0 的两个线性无关特征向量；3=3 是 A 的一个特征值， 3=(1，1，1) T 为 A 的属于特征值 3 的特征向量 总之，A 的特征值为 0，0，3属于特征值 0 的全体特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为 k33(k30) ()对 1， 2 正交化令1=1=(一 1，2，一 1)T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (I)记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 Ak=iki(i=1，2，3，k=1，2，)，于是有 B 1=(A5 一4A
23、3+E)1=(15413+1)1=一 21 因 10，故由定义知一 2 为 B 的一个特征值且 1为对应的一个特征向量类似可得 B 2=(25 一 423+1)2=2 B3=(35 一 433+1)3=3 因为 A 的全部特征值为 1， 2， 3，所以 B 的全部特征值为 i5 一4i3+1(i=1，2，3)，即 B 的全部特征值为一 2，1，1 因一 2 为 B 的单特征值，故B 的属于特征值一 2 的全部特征向量为 k11，其中 k1 是不为零的任意常数 设x=(x1，x 2，x 3)T 为 B 的属于特征值 1 的任一特征向量因为 A 是实对称矩阵，所以 B 也是实对称矩阵因为实对称矩阵
24、属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x1，x 2，x 3)1=0，即 x 1 一 x2+x3=0 解得该方程组的基础解系为 2=(1，1，0)T， 3=(-1，0，1) T 故 B 的属于特征值 1 的全部特征向量为 k23+k33，其中 k2，k 3为不全为零的任意常数 ()由(I) 知 1， 2， 3 为 B 的 3 个线性无关的特征向量，令矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (I)由于 A 的秩为 2，故 O 是 A 的一个特征值由题设可得所以，一 1 是 A 的一个特征值，且属于一 1的特征向量为 k1(1，0，一 1)T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值
25、，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 A 的属于 0 的特征向量，由于 A 为实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T，于是属于 0 的特征向量为k3(0，1 ，0) T，其中 k3 为任意非零常数() 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 所以 A与 B 有相同的特征值 1=n， n=0(n1 重) 由于 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 因为 r(EB)=r(B)=1，所以 B 的对应于特征值 2=0有 n1 个线性无关的特征向量于是
26、由方阵相似于对角矩阵的充要条件知 B 也相似于 A再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A 与 B 也相似【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (I)由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹 (主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a+3=b+2，2a3=b 解得 a=4，b=5 ()由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： E 一 A=E 一 B=( 一1)2( 一 5)由此得 A 的特征值为 1=2=1， 3=5 对于 1=2=1，解方程组(E 一 A)x=0，有【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由条件知 3 阶方阵 A 有 3 个线性无关的特征
27、向量，故 A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使 P1AP=diag(一 1，1，1)，A=Pdiag(一 1，1，1)P 1，A 100=Pdiag(一 1，1 ，1) 100P1=Pdiag(一 1)100，1 100，1 100)P1=PEP1=E【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对于 A 的特征值 i，有 Ami=imi(i=1，2，3；m=1，2，)，故B1=(A2 一 2A+3E)=A212A1+31=(12 一 21+3)1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 一 E B 的特征值为一 1，一 1，一 1，由 A 相似于对角阵，知B 相似于对角阵，故有可逆阵 P，使
28、 P1BP=一 E，B=P( 一 E)P1=一 E【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 存在可逆阵 P，使 P1AP=D，故 A=PDP1，B=(PDP 1 一1PP1)(PDP1 一 2PP1)(PDP1 一 3PP1)=P(D1E)P1P(D2E)P1P(D3E)P1=P(D1E)(D2E)(D3E)P1=P1=0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则有 Ax=x，两端左乘 A，得 A2x=Ax=2x，再左乘 A，得 A3x=3x，一般地可得 Amx=mx，因Am=0，得 mx=0，因 x0，得 =0，故 A 的特征值全为 0因 r
29、(OEA)=r(A)1，故(OEA)x=0 的基础解系最多含 n 一 1 个向量，故 A 没有 n 个线性无关的特征向量亦可用反证法证明 A 不相似于对角阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)是因该 3 阶方程有 3 个两两不同的特征值 1，2，3；(2)否因该 4 阶方阵 A 的线性无关特征向量只有 2 个：特征值为 1=2=3=4=1，而EA 的秩为 2，故(E A)x=0 的基础解系含 2 个向量，即 A 的线性无关特征向量只有 2 个【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由条件有 A1=，两端左乘 A，得 A=，即 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)由条件知 A 的特征值为 1=一 1， 2=2， 3=y，故有 0=E A=(一 1)3 E+A=一 E+A=一 =2x，x 一 0又由特征值的性质，有一 1+2+y=一 2+x+1，解得 y=一 2所以，x=0，y=一 2(2)对于 1=一 1，由一 E 一 AE+A= ，得对应于 1=一 1 的线性无关特征向量可取为 1=(0，2，一 1)T；类似可求出对应于 2=2， 3=一 2 的线性无关特征向量分别可取为 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，一 1)T因此，令矩阵 P=1 2 3=则有 P1AP=B【知识模块】 线性代数
