1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似 2 设矩阵 A= ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似3 设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3 4 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22 一 y3
2、2，其中P=(e1，e 2，e 3)若 Q=(x1，x 2，x 3)，则 f(x1，x 2， x3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为（A）2y 12y22+y32（B） 2y12+y22 一 y32（C） 2y12y22y32（D）2y 12+y22+y32 二、填空题5 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+41x2+41x3+42x3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y12，则 a=_6 若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y12+4z12=4，则a=_7 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x
3、12 一 x22+2ax1x2+4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是_8 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x2x3+2x1x3 经正交变换化成了标准形 f=y22+2y32，其中 P 为正交矩阵，则=_，=_ 9 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32+2x1x22x2x3+4x1x3 为正定二次型，则 的取值范围是_10 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2x3)2+(x3+x1)2 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求一个正交变换，化二次型 f=x
4、12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 成标准形12 设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 113 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax1x2(a0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32，求参数 a 及所用的正交变换矩阵14 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx32 一 21x2+61x362x3 的秩为 2 (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值 (2) 指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面15 已知二次曲面方程 x2+a
5、y2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 2+42=4，求 a、b 的值和正交矩阵 P16 设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n17 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)1x2 的秩为 2 (I) 求a 的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形； (III)求方程f(x1，x 2，x 3)=0 的解18 )设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=
6、ax12+axx22+(a 一 1)xx32+21x222x3 (I)求二次型 f 的矩阵的所有特征值； (II)若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值19 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第 3 列为( )T (I)求矩阵 A； (II)证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵20 已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2(I)求实数 a的值；(II)求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+
7、a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记(I)证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T (II)若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22考研数学一（线性代数）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，且易求出 A 的特征值为 1=4， 2=3=4=0，所以必有正交矩阵 P，使得 P1AP=PTAP= =B 即 A 既相似于 B，也合同于 B，所以(A)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方程得 A
8、 的全部特征值为 1=2=3， 3=0，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知 3元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩及正惯性指数均为(二次型 f=xTAx 经适当的正交变换可化成标准形 f=3y12+3y12，再经可逆线性变换可化成规范形 f=z12+z12，而 f 的矩阵 A 与 f 的规范形的矩阵 B=diag(1，1，0)是合同的)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为 1x2 一2y23z2=1，其中 i 0(i=1
9、，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 A 的特征值为： 10，一 20，一 30，因此A 的正特征值的个数为 1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，一 1即有 Ae1=2e1，Ae 2=2e2，Ae 3=2e3 从而有 AQ=A(e 1，e 3，e 2)=(Ae1，Ae 3，e 2)=(2e1，(e 3)，e 2)=(e1， e3，e 2) 矩阵 Q 的列向量 e1，e 3，e 2 仍是 A 的标
10、准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，一 1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q1=QT，上式两端左乘 Q1，得 Q1AQ=QTAQ= 从而知 f 在正交变换 x=Py 下的标准形为 f=2y12 一 y22+y32于是选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 由题设条件知，f 的矩阵为 由于在正交变换下化 f 所成的标准形中，变量平方项的系数为 A 的全部特征值，故由 f 的标准形知 A 的特征值为 6，0，0再由特征值的性质：A 全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 6+0+0=a+a+a 便得 a=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 1【试
11、题解析】 由题设条件知二次曲面方程左端的二次型的秩为 2，即矩阵 A=内秩为 2，于是有 0=det(A)= =一(a 一 1)2 所以，a=1 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 一 2，2【试题解析】 对 f 配方，可得 f=(x 1+ax3)2 一(x 22x3)2+(4 一 a2)x32 于是 f 可经可逆线性变换 化成标准形 f=z 12 一 z22+(4 一 a2)z32 若 4 一 a20，则f 的负惯性指数为 2，不合题意； 若 4 一 a20，则 f 的负惯性指数为 1因此，当且仅当 4 一 a20，即a2 时，f 的负惯性指数为 1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】
12、 0【试题解析】 =0A= 的秩=f 的秩=2，A=0，=，又=，又 0=EA= 一 22，=0【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 一 21【试题解析】 由 A= 的各阶顺序主子式均大于 0，即 1=10， 2=4 一 20， 3=A=一 4(+2)( 一 1)0，一 2 1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 f 的矩阵 A= 的秩为 2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 f 的矩阵得 A 的全部特征值为 1=2=0， 3=9 对于 1=2=0，求方程组(0EA)X=0 的基础解系，由 下，二次型 f 化成为
13、f=9y32，此即为 f 的标准形【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 A 是正定阵，故存在正交阵 Q，使从而 A+E1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 二次型 f 的矩阵为A 的特征值为1=1， 2=2， 3=5将 =1(或 =5)代入特征方程，得 a2 一 4=0，a=2 ，又 a0，故 a=2这时，【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)f 对应的矩阵为故所求特征值为 1=0， 2=4， 3=9(2)由上述特征值可知，f(x 1，x 2，x 3)=1 表示椭圆柱面【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 解之得到a=3，b=1计算可得，矩阵 的对应于特征值
14、1=0， 2=1， 3=4 的单位特征向量分别可取为【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则对任意的实 n 维列向量 x0，有 xT(BTAB)x0，即 (Bx) TA(Bx)0 于是 Bx0因此，取=0 只有零解，从而有r(B)=n 充分性：因 (BTAB)T=BTATB=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意实 n 维列向量 x0有 Bx0又A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)=xT(BTAB)x0于是当 x0 时，xT(BTAB)x0故 BTAB 为正定矩阵【知识模
15、块】 线性代数17 【正确答案】 (1)f 的秩为 2，即 f 的矩阵可知 A 的特征值为 1=2=2， 3=0 A 的属于 1=2 的线性无关的特征向量为 1=(1，l，0) T， 2=(0，0，1) T A 的属于 3=0 的线性无关的特征量为 3=(-1，1，0)T 易见 1， 2， 3，两两正交将 1， 2， 3 单位化得取 Q=(e1，e 2，e 3)，则 Q 为正交矩阵作正交变换 x=Qy，得 f 的标准形为 f( 1， 2， 3)=1y12+2y22+3y32=2y12+2y12 (3) 在正交变换 x=Qy 下，f( 1， 2， 3)=0 化成2y12+2y12=0，解之得 y
16、1 一 y2=0，从而得所求方程的解为x=Q =y3e3=k(-1，1，0) 2，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (I)=( 一 a)(一 a)2+( 一 a)一 2=( 一 a)(a+2)( 一 a 一 1)=0，得 A 的特征值为 1=a， 2=a一 2， 3=a+1 () 由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0若 1=a=0，则 2=一 20， 3=1，不合题意；若 2=a 一 2=0，则 a=2， 1=2， 3=3，符合题意；若 3=a+1=0，则 a=一1， 1=一 10，
17、 2=30，不合题意故 a=2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (I)由题设，A 的特征值为 1，1，0，且(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设(x 1，x 2，x 3)T 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以(x 1，x 2，x 3) =0，即 x1+x3=0，取()T、(0 ，1，0) T 为 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量令正交矩阵 ()由(I)知 A 的特征值为 1，1，0，所以 A+E 的特征值为 2，2，1，又 A+E 为实对称矩阵，所以A+E 为正定矩阵【知识模块】 线性代数20 【正
18、确答案】 (I) 因为 r(ATA)=r(A)，对 A 施以初等行变换可见当 a=一 1 时，r(A)=2，所以 a=一 1()=( 一 2)(2 一 6)=(一 2)( 一 6)于是得 ATA 的特征值为 1=2， 2=6， 3=0对于 =2，由求方程组(2EATA)x=0 的一个非零解，可得属于 1=2 的一个单位特征向量 (1，一 1，0)T；对于 2=6，由求方程组 (6E 一 ATA)x=0 的一个非零解，可得属于 2=6 的一个单位特征向量 (1，1，2) T；对于 3=0，由求方程组(A TA)x=0 的一个非零解，可得属于 3=0 的一个单位特征向量 (1，1，一 1)T令矩阵
19、 Q= 则f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 f=2y12+6y22【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (I)记 x= ，由于 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=A321(x1，x 2，x 3) =2xT(T)x+xT(T)x =xT(2T+T)xT，又 2T+T 为对称矩阵，所以二次型 f 的矩阵为 2T+T ()记矩阵 A=2T+T由于 ， 正交且为单位向量，即T=1， T=1， T=T=0，所以 A=(2 T+T)=2， A=(2+)= ，于是1=2， 2=1 是矩阵 A 的特征值又 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)2，所以 3=0是矩阵 A 的特征值由于 f 在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+6y22【知识模块】 线性代数
