1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 ，矩阵 A=E-T，B=E+2 T，则 AB= ( )（A）O（B） -E（C） E（D）E+ T2 A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)-1=(A-1)2（B） (A+B)-1=A-1+B-1（C） (A+B)(A-B)=A2-B2（D）(kA) -1=kA-1(k0)3 已知 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1+B-1)-1 等于 ( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B
2、（D）(A+B) -14 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆，且 A-1=B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 A-B 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆5 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=O，则 ( )（A）A 不可逆，且 E-A 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2-A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=O6 设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，B0，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） B 0（C） B*
3、=0（D）A *=07 A 是 n 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则A *= ( )（A）A（B） A-1（C） An-1（D）A n二、填空题8 设 =1，0 ，1 T，A= T，n 是正数，则aE-A n=_9 设 A 是 m 阶矩阵B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，C= ，则C =_10 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，A0，则A-E=_11 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_12 设 =1， 2，3 ，= ，A= T，则 An=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A=13 证明：当 n3 时，
4、有 An=An-2+A2-E；14 求 A10014 设 A=15 计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 表出；16 设 A 是二阶方阵，当 k2 时，证明：A k=O 的充分必要条件为 A2=O17 证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵18 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)T=(AT)*19 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A *=(-A) *(n2)20 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A2-3A-2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵A-121 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=O 试证明
5、：矩阵 E-A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)22 设 M= 可逆，其中 A，D 皆为方阵，求证： A，D 可逆，并求 M-123 设矩阵 A= ，矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，其中 B 为 3 阶单位矩阵求矩阵 X24 假设 A= ，求 A 的所有代数余子式之和24 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵25 计算并化简 PQ；26 证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b27 设(2E-C -1B)AT=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A
6、 的转置矩阵，求 A28 设 A= ，求 An29 已知 A= ，求 An考研数学一（线性代数）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T)=E+T-2TT=E+T-2T(T)，其中故 AB=E+ T-2. T=E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 (A 2)=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2(B)不成立，例：B=-A，A+B 不可逆.(C)中，ABBA， BA-ABO(D) 中，(kA) -1=【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 方法一验
7、算 (A -1+B-1)A(A+B)-1B=(E+B-1A)(A+B)-1B =B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E， 故 (A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B 方法二直接计算 (A-1+B-1)-1=B-1(BA-1+E)-1=B-1(B+A)A-1-1=A(A+B)-1B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 不可逆，则A=0，B =0， AB=AB=0，AB 不可逆(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 A= ，则 AB=E，但 A，B 均无逆可言(B)中，取 B=-A，则 A+B=A-A=O 不可逆(C) 中，取 A= 均不可逆，但 A-B
8、=E 是可逆阵【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O，有 E 3+A3=(E+A)(A2-A+E)=E， E 3-A3=(E-A)(A2+A+E)=E，故 A2-A+E 及 A2+A+E 均可逆，由以上两式知，E-A ，E+A 也均可逆，故(A) ，(B)不成立，同时(D) 不成立，例： A=【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 AB=O ，不一定有 BA=O，故(A) 选项中 (A+B)2=A2+B2，不成立；BO，B可以为零，也可以不为零， B*也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立； BO，AB=O，AX=0 有非零解，故A=0 ，从
9、而A *= A n-1=0 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AE，两边取行列式，得A A *=A n 若A0，A *=A n-1=A n-1；若A=0，则A *=0，故选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 a 2(a-2n)【试题解析】 A= T= An=(T)n=TT T=(T)(T)( T)T=2n-1A，=a(a-2n-1)2-(-2n-1)2=a(a2-a2n)=a2(a-2n)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (-1) mnab【试题解析】 C= =(-1)mnAB=(-1) mnab【知识模块】 线性代数10 【正确答案】
10、 0【试题解析】 A-E=A-AA T=A(E-A)=A(E-A) T=AE-A 由于 AAT=ATA=E，可知A 2=1又由于A0，可知A=1 又由于A 为奇数阶矩阵，故 E-A=-(A-E)=-A-E， 故有A-E=- A-E，可知A-E=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA 得 B=6A(E-A)-1=diag(3，2，1)，其中，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3 n-1A【试题解析】 A= T= An=T(T)(T)( T)=T()T()T( T)=3n-1A【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字
11、说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 用归纳法n=3 时，因 A2= ，验证得A3=A+A2-E，上式成立 假设 n-1 时(n3 时)成立，即 An-1=An-3+A2-E 成立，则An=A.An-1=A(An-3+A2-E)=An-2+A3-A=An-2+(A+A2-E)-A=An-2+A2-E故 An+A2-E 对任意 n(n3)成立【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由上述递推关系可得 A100=A98+A2=E=(A96+A2-E)+A2-E=A96+2(A2-E)=A2+49(A2-E)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案
12、】 A 2= 令解得 x=a+d，y=bc-ad，即 A2=(a+d)A+(bc-ad)E【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 充分性 A2=O Ak=O，k2，显然成立； 必要性 方法一Ak=O A=ad-bc=0，由(1)知 A2=(a+d)A，于是 Ak=(a+d)k-1A=O，故 A=O 或a+d=0，从而有 A2=(a+d)A=O 方法二 A 是 2 阶矩阵，A=0 ，故 r(A) 若 r(A)=0，则 A=O，从而 A2=O； 若 r(A)=1，则 A= T，A 2=TT=(T)A，其中 ，为非零二维列向量， A k=(T)kk-1A=O T=0 或 A=O，从而有 A2=O【
13、知识模块】 线性代数17 【正确答案】 充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换必要性设A= 与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵B= 可交换，即b1a12=b2a12，b 1b2，故a12=0b iaij=bjaij，ij，b ibj，a ij=0，i=1 ，2， n，j=1，2，n，故 A=是对角阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (A *)T=( AA -1)T=A(A -1)T=A(A T)-1=A T(A T)-1=(AT)*【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 A=(aij)nn，A的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则A 的元素-a
14、 ij 的代数余子式为 B ij=(-1)n-1Aij 于是(-A) *=(-1)n-1(Aji)nn=(-1)n-1A*，所以 (-A)*= (-1)n-1A*=(-1) n-1nA *=A *【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A 2-3A-2E=O，则【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 E=E-A k=E-Ak=(E-A)(E+A+Ak-1)，所以 E-A 可逆，且(E-A) -1=E+A+Ak-1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 M 可逆 ，D 可逆设 M 的逆矩阵为 M-1= 所以 M-1=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AX+E=A2+X，则(A-
15、E)X=(A-E)(A+E)又A-E=-10，故【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 先计算出 A-1= ，由于A =1，所以A 的所有代数余子式之和即为 A*所有元素之和，为0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由(1)得P.Q=PQ= A 2(b-TA-1) Q= A(b- TA-1)Q 可逆 TA-1b【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由(2E-C -1B)AT=C-1，有 A=(2C-B)T-1=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A= =E+B，又 EB=BE，所以【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 对 A 分块为，则 B=3E+J，于是 【知识模块】 线性代数
