1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 四阶行列式 的值等于( )（A）a 1a2a3a4-b1b2b3b4。（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4。（C） (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)。（D）(a 2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。2 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（A）A+B = A+B。（B） AB=BA。（C） AB =BA。（D）(A+B) -1=A-1+B-1。3 设 A=，则 B=( )（A）P 1P3A。（B） P2P3A。（C） AP3P2。（D）AP 1P
2、3。4 向量组 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，-1，-3，4) T， 3=(6，4，4，6)T， 4=(7，7，9，1) T， 5=(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（A） 1， 2， 5。（B） 1， 3， 5。（C） 2， 3， 4。（D） 3， 4， 5。5 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解。（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解。（D）若 Ax=b 有无穷
3、多个解，则 Ax=0 有非零解。6 已知四阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中1， 2 线性无关，若 1+22-3=， 1+2+3+4=，2 1+32+3+24=，k 1，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( )7 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P -1。（B） PT。（C） P。（D）(P -1)T。8 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特
4、征向量。（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。9 下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )二、填空题10 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则D= =_。11 已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= 则C3=_。12 设三阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_。13 任意一个三维向量都可以由 1=(1，0，1) T， 2=(1，-2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 _。14 齐次方
5、程组 有非零解，则 =_。15 设 A= 有二重特征根，则 a=_。16 设 =(1， -1，a) T 是 A= 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中 r(A*)=3，则 a=_。17 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx= +4x1x2+8x2x3-4x1x3 的规范形是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 已知 A= ，求 An。19 设 A= ，问 k 为何值，可使： ()r(A)=1；()r(A)=2；()r(A)=3。20 设向量组() ：b 1，b r 能由向量组( )：a 1，a s 线性表示为 (b 1，b r)=(1， ， s)K， 其中 K 为 s
6、r 矩阵，且向量组( )线性无关。证明向量组()线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r。21 已知方程组 有解，证明：方程组无解。22 已知方程组 的一个基础解系为(b11，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2，2n )T，(b n1，b n2，b n，2n )T。试写出线性方程组 的通解，并说明理由。23 设矩阵 A 与 B 相似，且 A= 。求可逆矩阵P，使 P-1AP=B。24 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 ()求 A 的所有特征值与特征向量；()求矩阵 A。25 设矩阵 A= 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使(AP)T(A
7、P)为对角矩阵。考研数学一（线性代数）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 将此行列式按第一行展开，所以选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为AB=AB= B A= BA，所以 C 正确。 取 B=-A，则A+B=0，而A+B不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因(A+B)(A -1+B-1)E，故 D 也不正确。 所以应选 C。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2，AP 1
8、P3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2 倍加至第三行也可得到 B。而 P2P3A 正是后者，所以应选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行变换，有( 1， 2， 3， 4， 5)可见秩r(1， 2， 3， 4， 5)=3。 又因为三阶子式 所以 2， 3， 4 是极大线性无关组，所以应选 C。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r(
9、A)=n 或r(A)n，以此均不能推得r(A)=r(A： b)，所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b 有无穷多个解可知， r(A)=r(A：b)n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 1+22-3= 知 即1=(1，2，-1，0) T 是 Ax= 的解。同理 2=(1，1，1，1) T， 3=(2，3，1，2) T 均是AX= 的解，则 1=1-2=(0，1，-2，-1) T， 2=3-2=(1，2，0，1) T 是导出组 Ax=0的解，并且它们线性无关。于是 Ax=0 至少有
10、两个线性无关的解向量，则 n-r(A)2，即 r(A)2，又因为 1， 2 线性无关，故 r(A)=r(1， 2， 3， 4)2。所以必有r(A)=2，从而 n-r(A)=2，因此 1， 2 就是 Ax=0 的基础解系。所以应选 B。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵 (PTAP)T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵AT=A，有 (P -1AP)=，即 PTA(P-1)T=。 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即 左端=P TA(P-1)T(PT)=PTA=PT=PT=右端。 所以应选 B。【知识模块】 线性
11、代数8 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。由于(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量。例如 上例还说明当矩阵 A 不可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A 的特征向量。所以应选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 合同的定义：C TAC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是： r(A)=r(B)且行列式A 与 B同号。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同，故排除。C 选项
12、中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为1，3，0，所以二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数，因此 A 和 B 合同。而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为-1，-2，-2，因此 xTAx 与 xTBx正、负惯性指数不同，故不合同。所以选 C。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 根据拉普拉斯展开式，得【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA-2AB=C-B，得 2CA-C=2AB-B，因此有 C(2A-E)=(2A-E)B。因为 2A-E= 可逆，所以 C=(2A-E)B(2A-E)-1
13、，于是 C 3=(2A-E)B3(2A-E)-1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 在等式 A-1BA=6A+BA 两端右乘 A-1，可得 A-1B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(E-A)B=6A，即 B=6(E-A)-1A，且【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个三维向量都可以用 1=(1，0，1) T， 2=(1，-2，3)T， 3=(a，1， 2)T 线性表示，即对于任意的向量 ，方程组 x11+x22+x33= 有解，也就是对于任意的 ，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3，)=3，因此 1， 2，
14、3=2(a-3)0， 即 a3。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 -3 或-1【试题解析】 系数矩阵的行列式A= =-(+3)(+1)，所以当=-3 或-1 时，方程组有非零解。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 E-A = =(-2)2-2-2(a-2)=0。如果 =2 是二重根，则 =2 是 2-2-2(a-2)=0 的单根，故 a=2。如果 2-2-2(a-2)=0 是完全平方，则有=4+8(a-2)=0，满足 =1 是一个二重根，此时 a=【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 -1【试题解析】 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A*=0
15、，该等式两端同时左乘 A，即得 AA*=A= 0A，即展开成方程组的形式为因为 r(A*)=3，A *0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 a=-1。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵 A= ，特征多项式E-A=(-6)(-2)(+4)，所以矩阵 A 的特征值是 2，6，-4，即正交变换下的二次型的标准形是 ，因此其规范形是【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 将矩阵 A 分块，即 A=将 B 改写成B=3E+P，于是将 C 改写成 C= (3-1)，则 C2=6C，C N=6N-1C，所以【知识
16、模块】 线性代数19 【正确答案】 对 A 作初等变换，即()当 k=1 时，r(A)=1；()当 k=-2 时， r(A)=2；( )当 k1 且 k-2 时，r(A)=3。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 必要性：令 B=(b1，b r)，A=(a 1，a s)，则有 B=AK，由定理 r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)， 结合向量组()：b 1，b 2，b r 线性无关知 r(B)=r，故 r(K)r。 又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，sr。 综上所述 rr(K)r，即 r(K)=r。充分性：已知 r(K)=r，向量组()线性无关，r(A)=s，因
17、此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK=由矩阵秩的性质 r(B)=r(PB)= =r(K)， 即 r(B)=r(K)=r，因此向量组()线性无关。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 用 A1， 分别表示方程组 (1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则 。已知方程组(1)有解，故 r(A1)= 。 又由于(b1，b 2，b m，1) 不能由(a 1，a 2，a m1，0)， (a12，a 22，a m2，0)，(a 1n，a 2n，a mn， 0)线性表示，所以【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由题意可知，线性方程组(2)的通解为 y=c 1(a1，a
18、12，a 1,2n)T+c2(a21，a 22，a 2,2n)T+c。(a n1，a n2，a n,2n)T， 其中 c1，c 2，c n 是任意的常数。 这是因为： 设方程组(1)和(2) 的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 ABT=O，因此 BA T=(ABT)T=O， 可见 A 的 n 个行向量的转置为(2)的 n 个解向量。由于刀的秩为 n，所以(2)的解空间的维数为 2n-r(B)=2n-n=n，又因为 A 的秩等于2n 与(1)的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成(2)的一个基础解系。【知识模块】 线性代数23 【正确答案
19、】 由 AB 有 于是得 a=5，b=6。 且由 AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1=2=2， 3=6。 当 =2时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0 得到基础解系为 1=(1，-1，0) T， 2=(1，0，1)T，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。 当 =6 时，解齐次线性方程组(6E-A)x=0，得到基础解系是(1，-2 ，3) T，即属于 =6 的特征向量。令 P=(1， 2， 3)=，则有 P-1AP=B。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 由 即特征值 1=-1， 2=1 对应的特征向量为 又由 r(A)=23 可知，A有一个特征值为
20、 0。设 3=0 对应的特征向量为 两两正交，于是得 是特征值 0 对应的特征向量。因此后k11， k22， k3 是依次对应于特征值-1，1，0 的特征向量，其中 k1，k 2，k 3 为任意非零常数。() 令【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3E-A=8(3-y-1)=0 ，解得 y=2。于是由于 AT=A，要(AP) T(AP)=PTA2P=，而 A2= 是对称矩阵，即要 A2 ，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形。由配方法，有其中y1=x1， y2=x2，y 3=x3+ x4，y 4=x4，即于是(AP) T(AP)=PTA2P=【知识模块】 线性代数
