1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，其中 a110，A ij=aij(i=1，2，3，j=1 ，2，3)，则2A T=( )（A）0。（B） 2。（C） 4。（D）8。2 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1+ 与 2+( )（A）线性无关。（B）线性相关。（C）既线性相关又线性无关。（D）不确定。3 非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（A）无法确定方程组是否有解。（B）方程组有无穷多解。（C）方程组有唯一解。（D）方
2、程组无解。4 设 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是( )（A） 1+2。（B） k1。（C） k(1+2)。（D）k( 1-2)。5 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（A）A T。（B） A2。（C） A-1。（D）A-E。6 已知 P-1AP= ， 1 是矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵 A 属于特征值 =5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A）( 1，- 2， 3)。（B） (1， 2+3， 2-23)。（C） (1， 3， 2)。（D）(
3、 1+2， 1-2， 3)。7 二次型 f(x1，x 2，x 3)= -4x1x2+2x2x3 的标准形可以是 ( )二、填空题8 在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= ，则平面曲线与 x 轴的交点坐标是_。9 如果 A= (B+E)，且 B2=E，则 A2=_。10 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_。11 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A2-2A-8E=O，则 r(4E-A)+r(2E+A)=_。12 向量组 1=(1，-2 ，0，3) T， 2=(2，-5，-3，6) T， 3=(0，1，3，0) T， 4=(2，-1，4，7
4、) T 的一个极大线性无关组是_。13 已知方程组 总有解，则 应满足的条件是_。14 已知方程组(1) 与方程(2)x 1+5x3=0，则(1)与(2)的公共解是_。15 设 =(1， -1，a) T，=(1，a，2) T，A=E+ T，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 A：3 的特征向量是_。16 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩阵为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 计算 D2n= ，其中未写出的元素都是 0。18 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j
5、 行对换后得到的矩阵记为 B。 ()证明 B 可逆； ()求 AB-1。19 已知 m 个向量 1， m 线性相关，但其中任意 m-1 个向量都线性无关，证明：()如果等式 k11+kmm=0 成立，则系数 k1，k m 或者全为零，或者全不为零；( )如果等式 k11+kmm=0 和等式 l11+lmm=0 都成立，则其中 l10。20 已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵B= (k 为常数)，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解。21 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=(1，1，2，3) T， 2=(-1，1，4，-1) T， 3=(5，
6、-1，-8， 9)T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基。22 设 A 为正交矩阵，且A=-1 ，证明：=-1 是 A 的特征值。23 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(-1，2，-3) T 都是 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。24 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2(1+a)x1x2 的秩为 2。()求 a 的值；()求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；()求方程f(x1，x 2，x 3)=0 的解。25 二次
7、型 f(x1，x 2，x 3)= -2x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2。()求参数 c及此二次型对应矩阵的特征值；()指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面。26 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 2+42=4，求 a，b 的值和正交矩阵 P。考研数学一（线性代数）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2A T=2 3A T=8A，且由已知故A*=AT。 又由 AA*=AAT=AE，两边取行列式，得 AA T=
8、A 2=AE= A 2， 即A 2(A -1)=0 ，又 a110，则 A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a13v0， 故 A=1，从而2A T=8，所以应选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 例如，令 1=(1，1) ， 2=(0，2)，=(-1，-1)，则 1， 2 线性无关，而 1+=(0，0) 与 2+=(-1，1)线性相关。如果设 =(0，0)，那么 1+ 与 2+ 却是线性无关的。故选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程
9、组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1-2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1-2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k(1-2)。选 D。 此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1=0，则选项 B 不正确；若 1=-20，则 1+2=0，此时选项C 不正确。【知识模块】 线性代数
10、5 【正确答案】 A【试题解析】 由于E-A T=(E-A) T= E-A，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 AT 有相同的特征值。 由 A=，0 可得到 A 2=2，A -1=-1， (A-E)=(-1)， 说明 A2、A -1、A-E 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)。所以应选 A。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-1AP=A= ，P=( 1， 2， 3)，则有 AP=PA，即 (A1，A 2，A 3)=(11， 22， 33)， 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可
11、逆，因此 1， 2， 3 线性无关。 若 是属于特征值 的特征向量，则- 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确。 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 与 的线性组合仍是属于特征值 的特征向量。本题中， 2， 3 是属于 =5 的线性无关的特征向量，故 2+3， 2-23 仍是 =5 的特征向量，并且 2+3， 2-23 线性无关，故选项 B 正确。 对于选项 C，因为 2， 3均是 =5 的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确。故选项 C 正确。 由于1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1-2 不再是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 错误。所以应选 D。【知识
12、模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法，有 f= =(x1-2x2)2+(x2+x3)2， 可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 (2，0) ，(3，0)【试题解析】 曲线 y= 与 x 轴(即 y=0)的交点为方程组的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有 y=(3-2)(x-2)(x-3)=0，解得 x=2 或 3，故曲线与 x 轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 已知 A= (B+E)且 B2=E，则即 A2=A。【知识模块】 线性代数10
13、 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A，并把等式 AA*=AE 代入已知矩阵方程，得AX=E+2AX，移项可得(AE-2A)X=E，因此 X=(A E-2A) -1。已知A=4，所以【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 n【试题解析】 已知 A2-2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O ，根据矩阵秩的性质可知 r(4E-A)+r(2E+A)n， 同时 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此 r(4E-A)+r(2E+A)=n。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1， 2， 4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等
14、行变换，则有(1， 2， 3， 4)因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4 列，所以 1， 2， 4 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1 且 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 k(-5 ，3，1) T，k 为任意常数【试题解析】 将方程组(1)和方程(2) 联立，得到方程组(3) (3)的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得由于 A 的秩为 2，所以自
15、由变量有一个，令自由变量 x3=1，代入可得 x2=3，x 1=-5，所以(3)的基础解系为=(-5，3，1) T。因此(1) 和(2)的公共解为 k(-5，3，1) T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 k(1，-1 ，1) T，k0【试题解析】 令 B=T，则矩阵 B 的秩是 1，且 T=a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 B=( T)=(T)=2， 即 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也是矩阵 A
16、 属于特征值 =3 的特征向量。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。 按第一行展开，得将以上两个行列式分别按最后一行展开，得=andnD2n-2-bncnD2n-2。由此得递推公式 D2n=(andn-bncn)D2n-2。按递推公式逐层代入得【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 () 设 E(i，j)是由 n 阶
17、单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E(i，j)A，因此有 B = E(i，j) A =-A0， 所以矩阵B 可逆。 ()AB -1=AE(i，j)A -1=AA-1E-1(i，j)=E -1(i，j)=E(i，j) 。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 () 假设存在某个 kI=0，则由 k11+Kmm=0 可得 k 11+ki-1i-1+ki+1i+1+kmm=0。 (1) 因为任意 m-1 个向量都线性无关，所以必有k1=ki-1=ki+1=km=0，即系数 k1，k m 全为零。 所以系数 k1，k m 或者全为零，或者全不为零。 ()由() 可知，当
18、 l10 时，系数 l1，l m 全不为零，所以 将其代入(1)式得又因为任意 m-1 个向量都线性无关，所以 ，即【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 AB=O 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3。 (1)若 k9，则 r(B)=2，于是 r(A)1，显然 r(A)1，故 r(A)=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为： x=k1(1，2，3) T+k2(3，6，k) T，k 1，k 2 为任意常数。 (2)若 k=9，则 r(B)=1，从而 1
19、r(A)2。 若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解为：x=k1(1，2，3) T，k 1 为任意常数。 若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为x=k1 ，k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 r(B)=2，所以解空间的维数是 4-r(B)=4-2=2。 又因 1， 2 线性无关，所以 1， 2 是解空间的一组基，将其正交化，令 1=1=(1，1，2，3) T，再将其单位化，令则 1， 2 为所求的一个标准正交基。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 要证 =-1 是 A 的特征值，需证A+
20、E=0。 因为A+E=A+A TA=(E+A T)A=E+A TA=-A+E，所以A+E=0，故 =-1 是 A 的特征值。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。 因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关。 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系 =(-1，1，1) T。 根据A(1， 2， 3)=(61，6 2，0)得 A
21、=(61，6 2，0)( 1， 2，) -1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 二次型矩阵 A= 。二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而A= =-8a=0，因此 a=0。()由()中结论 a=0，则 A= ，由特征多项式E-A= =(-2)(-1)2-1=(-2)2 得矩阵 A 的特征值1=2=2， 3=0。 当 =2，由(2E-A)x=0 得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1)T。 当 =0，由(0E-A)x=0 得特征向量 3=(1，-1，0) T。 容易看出 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化：那么令 Q=(1， 2， 3)=，
22、则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTy= ()由 f(x1，x 2，x 3)=所以方程f(x1，x 2，x 3)=0 的通解为 k(1，-1，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为2，可得A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2。又因所以特征值为1=0， 2=4， 3=9。( )由特征值可知，f(x 1，x 2，x 3)=1 表示椭圆柱面。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 根据题意，矩阵 A= 是相似的，则E-A=E-B ，即 解得a=3，b=1。此时，矩阵 A= ，特征值为 1=0， 2=1， 3=4。由( iE-A)x=0，可得属于特征值 1=0， 2=1， 3=4 的特征向量分别为 1=(1，0，-1)T， 2=(1，-1，1) T， 3=(1，2，1) T。将 1， 2， 3 单位化，得到【知识模块】 线性代数
